阶段复习课(八)　向量的数量积与三角恒等变换 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

阶段复习课(八)　向量的数量积与三角恒等变换 一、三角函数的求值 三角函数求值主要有三种类型，即： (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． [训练1]　求值：coscoscos. 解　原式＝ ＝＝ ＝＝＝. [训练2]　已知α是第一象限的角，且cos α＝，则的值为____________． －　[因为α是第一象限的角，cos α＝， 所以sin α＝， 所以＝ ＝＝＝＝－.] 二、三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简． 三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的． [训练3]　证明：－＝32sin 10°. 证明　∵左边＝－ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝32sin 10°＝右边． ∴原等式成立． [训练4]　化简：sin(α＋β)cosα－[sin(2α＋β)－sin β]． 解　sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β] ＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋β＋α)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β－α)＝sin β. 三、三角恒等变形的综合运用 与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质． (2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查． [训练5]　已知向量a＝(sin x,1)，b＝. (1)当a⊥b时，求|a＋b|的值； (2)求函数f(x)＝a·(2b－a)＋cos2x的单调区间． 解　(1)当a⊥b时，|a＋b|＝＝＝. (2)f(x)＝2a·b－a2＋cos2x＝2sin xcos x－1－sin2x－1＋cos2x ＝sin 2x＋cos 2x－2＝sin－2， 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)； 当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)时，f(x)单调递减，解得kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)． ∴函数f(x)的单调增区间为，k∈Z. 单调减区间为，k∈Z. [训练6]　已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－， f＝，求cos(α＋β)的值． 解　(1)T＝＝10π，所以ω＝. (2)f＝2cos ＝2cos＝－2sin α＝－，所以sin α＝， f＝2cos＝2cos β＝， 所以cos β＝.因为α、β∈， 所以cos α＝ ＝，sin β＝＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. $$