第6单元 长方体和正方体 整合提升-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（苏教版）

赏表面涂色的正方体 1.(1)8(2)n-212(n-2)(3)(n-2)2 6(n-2)2(4)(n-2)3 2.1dm3的正方体棱长为1dm,1cm3的正方体的棱 长为1cm1dm=10cm(10-2)2×6=384(个) 3.27=3×3×3(3+2)×1=5(厘米) 5×5×5=125(立方厘米) 4.(1)AB(2)B (3)ACC解析：用n表示把大正方体的棱平均 分的份数，则b=12(n-2),c=6(n-2)2,d=(n- 2)3。若要使b=c=d,即12(n-2)=6(n-2)2=(n 2)3,则当n=2时，12×(2-2)=6×(2-2)2=(2 2)3=0,符合题意。若要使b<c,即12(n-2)< 6(n一2)，当n=6时，48<96，符合题意。若要使 b<d,即12(n-2)<(n-2)3,当n=6时，48<64，符 合题意。 5.3个2个解析：一层一层地观察，分层标出每 个小正方体涂色的面数。最上层：5：中间一层： 224 212 33 :最下层：113，然后数出3面涂色和 4 4面涂色的小正方体各有几个即可。 6.3面涂黄色的小正方体：8个2面涂黄色的小正 方体：[(6-2)+(5-2)+(4-2)]×4=36（个） 1面涂黄色的小正方体：[(6-2)×(5-2)+(5 2)×(4-2)+(6-2)×(4-2)]×2=52(个) 解析：长方体上3面涂黄色的小正方体在长方体的 8个顶点处，一共有8个。2面涂黄色的小正方体，在 长的棱上有(6-2)×4=16（个），在宽的棱上有(5一 2)×4=12(个)，在高的棱上有(4一2)×4=8（个）， 共有16十12+8=36（个）。1面涂黄色的小正方体， 上、下面有(6-2)×(5-2)×2=24（个），左、右面有 (5一2)×(4一2)×2=12（个），前、后面有(6一2)× (4-2)×2=16(个)，-共有24十12十16=52（个）。 知识归纳》 长方体表面涂色问题 把长方体的表面涂色（包括底面），然后全部 切成棱长1厘米的小正方体，3面涂色的小正方 体在长方体的顶，点处，2面涂色的小正方体在每条 棱的中间，1面涂色的小正方体在每个面的中间。 2 提分真题集训 1.(1)①20②60③44(2)318 2.(1)B(2)B(3)C 3. 4.(1) (2)140解析：根据切面的形状可以判断出长方体 的长是7厘米，宽是5厘米，高是4厘米。 (3)7×5×2=70(平方厘米)解析：每种切法都会 增加2个面，第一种切法增加的2个面的长是7厘 米，宽是5厘米，面积最大。 第六单元整合提升 1.A 2.5×5×7=175(立方厘米)解析：题图左、中、右 三种纸板中，选择右边规格的2张、左边规格的4张 做成一个长方体，该长方体的长是7厘米，宽是5厘 米，高是5厘米。 3.一共可以焊接成8种不同的水箱，选法如下： 规格① 规格② 规格③ 规格④ 选法一 5张 选法二 3张 2张 选法三 3张 2张 选法四 4张 1张 选法五 4张 1张 选法六 2张 2张 1张 选法七 2张 1张 2张 选法八 1张 2张 2张 4.C解析：图①减少3×3×2=18（平方厘米）：图② 增加8×3×2-3×3×2=30（平方厘米）；图③增加 8×3×4一3×3×2=78（平方厘米），剩余部分的表面 积按从大到小的颜序排列是③②①。 5.150×2=300(平方厘米) 6.3+3=6(分米)5+5=10（分米）(8×6+8× 10+6×10)×2=376(平方分米)解析：要想使包装 所需的彩纸最少，那么只要把礼盒的最大面相黏合， 且相黏合的面尽可能多就能使大长方体礼盒的表面 积最小。综合考虑，可以先将4个礼盒每2个分成 组，2个礼盒的最大面(8分米×5分米)相黏合，再把 两组礼盒的最大面[8分米×(3十3)分米相黏合（如 图)，这样包装成的大长方体礼盒的表面积比原来 4个礼盒的表面积之和减少得最多，此时包装成的大 长方体礼盒的表面积最小，所需的彩纸最少。 3分米 3分米 5分米 8分米 5分米 7.30厘米=3分米方法一：(15×12×10十3×3× 3)÷(15×12)=10.15(分米)方法二：3×3×3÷ (15×12)+10=10.15(分米)解析：方法一：（水箱 中水的体积十正方体铁块的体积)÷水箱的底面积= 现在水箱中的水深。方法二：正方体铁块的体积÷水 箱的底面积十原来水箱中的水深=现在水箱中的 水深。 8.4.5×3.5+(4.5×1.6+3.5×1.6)×2= 41.35(dm)解析：书桌的抽屉是没有盖的，也就是 少一个与底面相同的面，计算时应少算一个4.5dm× 3.5dm的面。 易错分析》 因脱离实际而出错 本题易因脱离实际，盲目套用长方体的表面 积计算公式而出错。实际上，抽屉的上面不用木 板，只需求出前、后、左、右、下5个面的面积之和。 9.20×20×40=16000(立方厘米)16000立方厘 米=16000毫升=16升解析：铁棒入水的高度最多 和正方体容器的高度相等。 10.(4×4X4+6X6×2)÷(6×6)-酷（分米） <4铁块没有完全浸人水中6×6×2÷(6X6 4×4)=3.6(分米)解析：先判断铁块是否完全浸入 水中，用“（铁块的体积十水的体积）÷容器的底面积” 2 得出水深，再与铁块的高度进行比较。如果水深大于 或等于铁块的高度，那么铁块完全浸入水中，此时水 的深度就是所求；如果水深小于铁块的高度，那么铁 块没有完全浸入水中，此时水的体积不变，容器中水 的底面积=容器的底面积一铁块的底面积，则水深= 水的体积÷（容器的底面积一铁块的底面积）。 11.① 长17cm,宽7cm,高18cm (17×7+17×18+7×18)×2=1102(cm2) ② 长34cm,宽7cm,高9cm (34×7+34×9+7×9)×2=1214(cm) ③ 长21cm,宽17cm,高6cm (21×17+21×6+17×6)×2=1170(cm2) ④ 长51cm,宽7cm,高6cm (51×7+51×6+7×6)×2=1410(cm2) ⑤ 长17cm,宽14cm,高9cm (17×14+17×9+14×9)×2=1034(cm2) ⑥ 长102cm,宽7cm,高3cm (102×7+102×3+7×3)×2=2082(cm) ⑦ 长42cm,宽17cm,高3cm (42×17+42×3+17×3)×2=1782(cm) 包装成长17cm、宽14cm、高9cm的大长方体最省包 装纸，表面积最小时包装纸的面积是1034cm t 分数乘法 第1课时分数与整数相乘 1.6号号六长方体和正方体 第六单元整合提升 副分类提优训练 多少种不同的水箱？每种规格的铁皮各要选 几张？（接头处与铁皮的厚度忽略不计） 类型一正方体展开图问题 可以先确定其中一个面，发挥空间想象力，逐步分析 展开图折成正方体后每个面的特征。也可以将正方 体的展开图剪下来折一折，还原成正方体，再观察它 的6个面的特征解决问题。 1.(模型意识)下面这幅图不可能是正方体( 的展开图。 类型三挖洞后巧求表面积 在正方体或长方体的某一个面上挖去一个小的长方 体或正方体，由于不同的挖法，表面积会出现不同的 变化情况，要根据实际情况进行解答。 4.从一块棱长8厘米的正方体木料上割去一块 长8厘米、宽和高都是3厘米的小长方体木 料，有下面三种方法，剩余部分的表面积按从 类型二选择合适的长方形围长方体 大到小的顺序排列为( 考虑到长方体的长、宽、高，能围成长方体的不同长方 形，通常长、宽的数据有3种或2种。 2.(推理意识)有下面三种规格的纸板各四张， ① ② 从中选六张做成一个长方体，这个长方体的 A.①②③ B.③①② 体积是多少立方厘米？（接头处忽略不计） C.③②① D.②①③ 类型四切拼中表面积的变化 剑 剑 切拼长方体或正方体后，其表面积会增加或减少。计 7厘米 7厘米 5厘米 算切拼后长方体或正方体的表面积时，需要弄清增加 或减少的面积。 5.如图，把一个表面积是150平方厘米的正方 体切成8个完全相同的小正方体，这8个小 正方体的表面积之和是多少平方厘米？ 3.现有四种不同规格的长方形（或正方形）铁皮 各若干张：①长6分米，宽5分米；②长5分 米，宽4分米；③长6分米，宽4分米；④边长 4分米。请你从中选五张铁皮，焊接成一个无 盖的长方体（或正方体）水箱，一共可以焊接成 75 拔尖特训·数学（苏教版）五年级下 6.用彩纸把4个长8分米、宽5分米、高3分米 9.(生活体验)在一个棱长40厘米的盛满水的 的长方体礼盒包装成一个大长方体礼盒，最 正方体容器中，垂直放入一根底面是边长 少需要多少平方分米的彩纸？ 20厘米的正方形、高是60厘米的长方体铁 棒。会溢出多少升的水？ ①素养拓展训练 类型五借助体积不变解决问题 解决有关浸没、熔铸或锻造等实际问题时，关键是要 素养点一利用等积变换巧解物体部分浸入水 抓住体积不变的特征。 中的问题 10.数学实践课上，萱萱先向一个从里面量棱长 7.(思维过程)如图，一个长15分米、宽12分米 为6分米的正方体玻璃容器里倒了2分米 的长方体水箱中有10分米深的水。如果在 深的水，再将一个棱长为4分米的正方体铁 水中浸没一个棱长30厘米的正方体铁块（水 块浸入水中，此时水深多少分米？ 未溢出)，那么现在水箱中的水深多少分米？ 思路提示：解决此类物体部分浸入水中的问题 时，可使用如下公式：水的深度=水的体积÷水 的底面积（容器的底面积一物体的底面积）。 易错点一对表面积的意义理解不透彻 素养点二包装中的数学问题 求立体图形几个面的面积总和时，要先弄清是哪几个 11.(生话应用)林叔叔要把6个长17cm、宽 面，再解答。 7cm、高3cm的长方体包装成一个大长方 体，怎样包装最省包装纸？表面积最小时包 8.*丁丁的书桌抽屉是一个长4.5dm、宽 装纸的面积是多少平方厘米？（重叠处忽略 3.5dm、高1.6dm的长方体，做这样一个抽 不计) 屉至少需要多少平方分米的木板？ 思路提示：想一想，把6个相同的长方体包装成 一个大长方体，有几种包装方法？每一种包装方 法需要的包装纸的面积分别是多少？再选出包 装纸最少的那种，最后思考，按这种包装方法包 装后的大长方体的长、宽、高有什么特点？ 易错点二解决问题时未联系实际情况 解决实际问题时，要联系实际情况，具体问题具体 分析。 76