6 长方体和正方体-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（苏教版）

六 长方体和正方体 第1课时 长方体 习基础进阶 1.填一填 (1)薇薇用棱长1厘米的小正方体拼成下图 所示的长方体。 这个长方体的长是()厘米，宽是( 厘米，高是()厘米，它的()面和 ()面是正方形，面积都是()平方厘 米，其余()个面是完全相同的长方形，每 个面的面积是()平方厘米。由此推想， 在一个长方体中（不包括正方体），最多有 ()个面是完全相同的长方形，最多有 ( )条棱的长度相等。 (2)(几何直观)如图所示为蓓 蓓用橡皮泥团和长度相等的小 木棒搭成的立体图形。如果要 把它变成正方体，那么还需要( )个这样 的橡皮泥团和()根这样的小木棒。 2.(1)如图所示为一个长方体物体 长、宽、高的数据，这个物体可能 0.8cm 15cm 7cm 是()。 A.橡皮 B.手机 C.文具盒 D.《数学》书 (2)下面的硬纸板各有若干张，选()正 好可以围成一个长方体。（单位：厘米） 3 3① 3② ⑤ 6 3 2③☐ 2④ A.①号2张，③号4张 B.①号2张，②号2张，③号2张 C.①号2张，③号2张，④号2张 D.①号2张，⑤号4张 60 和正方体的认识 团能力攀升 3.(生话应用)萱萱用两根同样长的铁丝分别制 作了一个花灯框架（如图），正方体花灯框架 的棱长是多少厘米？ 4 cm 8cm cm 4.爸爸在网上买了一个长11分米、宽6分米、 高17分米的长方体衣柜。衣柜的框架是用 木条制成的，商家每种尺寸的木条都多发了 一根。商家一共发了多少分米长的木条？ 5.★一个长方体木块正好可以切成两个完全相 同的正方体木块，已知长方体木块的棱长总 和是80厘米，求切成的每个正方体木块的棱 长总和。 六长方体和正方体 第2课时 长方体和正方体的展开图 习基础进阶 能是( 1.填一填。 (1)下面的纸板中，沿虚线折叠后能围成正方 卡宁日 体的有( )张，是( )(填序号)。 能力攀升 3.折叠后围成的长方体的长是( )cm,宽是 ② ⊙ )cm,高是( )cm,最大面的面积是 )cm。 ⑥ 下面 2cm (2)迪迪从一个长方体纸盒上撕下两个相邻 前面 16cm 的面（不完整）后将其展开铺平（如左下图）， -11cm 这个纸盒的底面积是( )cm。 4.下面是轩轩画的长方体展开图，若有缺少部 4 分，则直接在图中补全；若有多余部分，则把 图中多余部分画上阴影以表示去掉，并在图 前面 右面 B C D 中标出“下面”“左面”“右面”和“后面”。（标 6cm 3cm 出的字在长方体的外侧) (3)一个长方体的展开图如右上图所示，如 果前面是F面，从左面看是B面，那么上面 是( )面。（字母在长方体的外侧） 上面 前面 2.选一选。 (1)下面的图形沿虚线折叠后，能围成长方体 5.(思维过程)浩浩在一张长方形纸上画了一个 的是( )。 棱长3厘米的正方体的展开图，这张长方形 纸的面积至少是多少平方厘米？ B 6.*一个正方体的六个面分别写着数字1一6， 如下图所示为三种不同的摆法，其中数字1 的对面是数字( (2)(模型意识)· 左边正方体的展开图可 61 拔尖特训·数学（苏教版）五年级下 第3课时 长方体和正方体的表面积(1) 习基础进阶 团能力攀升 1.求下面立体图形的表面积。 4.(生活应用)如图，轩轩网购了一套 《百科全书》。 wp 百科金书 0.4m 1.2m (1)有下图中三种尺寸的纸箱 0.4m （从里面量，单位：dm),能装下这 6d1.8dm 套书的纸箱有( )。 2.5 ① ② ③ 1.6 6 2.5 2.5 2.5 1.6 1.6 22cm (2)能装下这套书的纸箱中，哪种最节约纸 15cm 8cm 板？制作一个这种纸箱，至少需要多少平方 分米的纸板？ 2.填一填。 (1)一个正方体的底面积是120平方分米， 它的表面积是()平方分米。 (2)一个长方体中相交于同一顶点的三个面 5.某博物院推出“仕女乐队手办盲盒”文创产 的面积分别是16平方米、10平方米、40平方 品，该长方体盲盒的前面和右面分别如下图 米，这个长方体的表面积是()平方米。 所示（单位：cm)。制作这个盲盒至少需要多 (3)萱萱用60厘米长的铁丝正好焊了一个 少平方厘米的纸板？ 正方体框架，给这个框架的表面糊纸，至少需 要()平方厘米的纸。 3.(自然科善)每年的3月22日是“世界水日”。 6 前面 右面 为提高公众的节水意识，同同所在城市的有 关部门在某广场上设了一个长方体广告箱（如 图)。这个广告箱的表面积是多少平方米？ 6.*把一个表面积是150平方厘米的正方体切 成两个完全相同的长方体，每个长方体的表 面积是多少平方厘米？ 4m 请节约用水 5m 0.5m 62 六长方体和正方体 第4课时 长方体和正方体的表面积(2)》 习基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.(生话应用)围棋社对活动室的四面墙壁（如 (1)求制作一个火柴盒内盒至少需要多少硬 下图，单位：米)进行粉刷（不包括上面），社长 纸板，就是求长方体( )个面的面积和；求 了解到某品牌涂料的信息如下表所示。这次 制作它的外盒至少需要多少硬纸板，就是求 粉刷至少要准备多少钱？ 长方体( )个面的面积和。（接头处忽略 规格 可粉刷面积 价格 不计) 30千克/桶 35平方米 378元/桶 (2)一节长方体通风管的长是1.2m,宽和高 都是2dm。制作20节这样的通风管，需要 铁皮()dm。(损耗忽略不计) 窗1.2 窗1.2 (3)一个长8dm、宽5dm、高4dm的长方体 1.5 玻璃缸里装有3dm高的水，跟水接触的玻璃 的面积是( )dm。 2.萱萱发现一本书（如图）的书皮坏了，她想用 家里一张B4的卡纸给这本书包书皮，包得住 吗？(B4的卡纸尺寸为25.7cm×36.4cm) 5.有一个装饼干的长方体铁盒（如下图），高是 2.5cm 19.2 00a 30厘米，底面是周长为80厘米的正方形，在 这个铁盒的侧面贴满一圈包装纸，接头处有 13.8cm 4厘米宽。包装纸的面积是多少平方厘米？ 饼干 3.(生话体验)菲菲和小伙伴们一起制作了一个 抽屉，拉手所在的面比抽屉的后面高5厘米， 6.(思维过程)一个长方体的长是5分米，宽是 制作这个抽屉至少需要多少平方分米的木 2分米，高是3分米。如果要使这个长方体 板？（木板的厚度忽略不计） 的表面积增加20平方分米，宽和高都不变， 60厘米 那么长应增加多少分米？ 15厘米 80厘 63 拔尖特训·数学（苏教版）五年级下 第5课时 团能力攀升 1.填一填。 (1)一个正方体的棱长扩大到原来的4倍， 则其表面积扩大到原来的( )倍。 (2)一个长方体纸箱的底面是周长为20分 米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个 正方形。做这个长方体纸箱至少需要() 平方分米的硬纸板。 (3)(生活应用)王伯伯准备在墙角处搭一个 正方体形状的鸡舍（两面靠墙），搭鸡舍框架 用的3根钢筋一共长12m(如图)。若露在外 面的面用塑料网包裹，则至少需要()m 的塑料网。 (4)用三个棱长为a米的正方体拼成一个长 方体，这个长方体的表面积比原来三个正方 体的表面积之和减少了()平方米。 2.(数形结合)下面两个立体图形都是由棱长 1cm的正方体搭成的。 ① ② 立体图形①的表面积=(4+7十6)×2= 34(cm),其中4cm、7cm2、6cm分别是从 上面、前面和右面看到的图形的面积。 (1)用求立体图形①的表面积的方法，求立 体图形②的表面积，列式并计算为( )。 (2)如果添加同样大的正方体，把立体图形 ②补成一个长方体，那么这个长方体的表面 积至少是( )cm2。 练习课 因思维拓展 3.选一选。 (1)贝贝用棱长为1厘米的小正方体摆成一个 物体，从前面、右面和上面分别观察这个物 体，看到的形状如图所示。这个物体的表面 积是( )平方厘米。 前面 右面 上面 A.13 B.16 C.28 D.26 (2)一个长方体的长、宽、高分别是a厘米、 b厘米、c厘米。如果高增加4厘米，那么它 的表面积增加( )平方厘米。 A.4ab B.64 C.8a+8b D.2ab+2bc 4.妈妈买了一个三层书架（如图），书架外包装 标明“50cm×30cmX150cm”。做这个书 架，至少需要多少平方分米的木板？（木板材 质相同，厚度忽略不计，左面、右面、后面、上 面、底面及中间隔板均为木板) 50cm 5.(思维过程)一个长方体（如图）的长为8厘 米，上面与前面的面积之和为72平方厘米， 右面的面积是上面的一半，求这个长方体的 表面积。 8厘米 4 第6课时 体 习基础进阶 1.填一填。 (1)在冰箱、茶叶盒、草莓三种物体中，( 的体积最大，( )的体积最小。 (2)(地域美食)镇江香醋具有“色、香、酸 醇、浓”的特点。满满一瓶镇江香醋， )的体积就是( )的容 积。（填“镇江香醋瓶”或“镇江香醋”） (3)下面( )号长方体盒子的容积大一 些。（填序号，每个小正方体完全相同》 ① 2.选一选 (1)冷藏冰柜的容积( )它的体积 A.大于B.等于C.小于D无法比较 (2)把一块橡皮泥先捏成长方体，再捏成正 方体，它们的()不变。 A.形状 B.表面积 C.体积 D棱长总和 (3)把同样多的水分别倒入3个不同的杯子 中，情沉如下，( )号杯的容积最大。 1号杯：倒不满4杯。 2号杯：正好倒满4杯。 3号杯：倒满4杯还多一点。 A.1 B.2 C.3 D.无法确定几 3.认真观察水面的变化情况（如图，单位：cm),发 现小球和长方体相比，( )的体积大一些。 放入 放入 9.5 小球 长方体 12 六长方体和正方体 积和容积的意义 团能力攀升 4.通过计算说明购买哪种包装的牛奶更划算。 牛奶 2.4元/瓶 3元/盒 牛奶 00000e 11.4元/桶 5.有甲、乙两个厚度均匀的无盖长方体泡沫箱 (如下图)，从外面量，两个泡沫箱的长、宽、高 都相等。它们的体积相等吗？容积呢？为什 么？（底部厚度与各自的箱壁厚度相同) 5厘米 2厘米 6.(操作探究)给你一个正方体铁块和一个铁 球，请你设计一个实验：比一比，哪个物体的 体积更大一些？ 7.(探索规律)用12个棱长1厘米的小正方体 摆成一个长方体，一共能摆成几种不同形状 的长方体？它们的体积相等吗？为什么？ 65 拔尖特训·数学（苏教版）五年级下 第7课时 习基础进阶 1.在括号里填合适的单位 (1)一瓶墨水约有50()。 (2)一颗奶糖的体积约是2( )。 (3)一个饮用水桶的容积约是19( 倒出一杯水，大约是300( )。 (4)一台冰箱的体积大约是1.2( 容积大约是650( )。 2.选一选。 (1)(生话体验)将一个成年人的拳头浸没在 装满水的盆中，溢出来的水的体积( )。 A.小于1毫升 B.大于1毫升，小于1升 C.大于1立方米 D.大于1升，小于1立方米 (2)要盛2L水，用容器( )最合适。 A.i D. (3)一个果汁瓶的外包装纸上标有“净含量 500mL”的字样，那么该果汁瓶的体积可能 是( )cm3。 A.460B.480 C.500D.520 (4)一个物体的体积大约是300立方厘米， 这个物体可能是( )。 A.《数学》书 B.书包 C.电饭煲 D.橡皮 3.(推理意识)下面的立体图形都是用体积为 1立方厘米的小正方体拼成的，有一部分被 遮住了，它们的体积各是多少？ )立方厘米 )立方厘米 体积单位 团能力攀升 mLc 500 mL 500 E400 F400 -300 -300 200 200 & 100 -100 (1)这块石头的体积是( )cm。 (2)如果再放入一块相同体积的石头，那么 液面所在的刻度是( )mL。 (3)如果不让水溢出来，那么最多能放多少 块这样的石头？ 5.(模型意识)(1)如图，钢块的体积是( )cm3。 钢锭 钢块 cm (2)如右图，左边小 正方体的体积是1立 方厘米，右边物体的 体积大约是( 1立方厘米 立方厘米。 6.(1)*华华用若干个1cm3的小正方体木块 摆了一个物体，下面是从不同方向观察到的 图形。这个物体的体积是( )cm3。 上面 前面 右面 (2)用几个体积是1立方厘米的小正方体摆 成一个物体，下面是从不同方向看到的物体 的形状，这个物体的体积最小是()立方 厘米，最大是( )立方厘米。 上面 左面 6 六长方体和正方体 第8课时 长方体和正方体的体积(1) 习基础进阶 团能力攀升 1.计算下面长方体和正方体的体积。 4.选一选。 (1)从外面量长方体酸奶盒，长5厘米，宽 3.5cm 4厘米，高10厘米。浩浩喝了一半后，盒中 5 cm 6 cm 可能还剩()毫升酸奶。 A.95 B.100C.190D.200 (2)如图，琦琦在一个长方体玻璃容器中摆 了若干个1立方厘米的小正方体，还要 20 dm ( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个 20 dm 20 dm 玻璃容器。 2.填一填。 (1)正方体的底面周长是16厘米，它的体积 A.43 B.56C.61 D.72 是()立方厘米。 5.一个长方体的高截去2分米后就变成一个棱 (2)一个长方体的体积是120立方分米，它 长是4分米的正方体，原来长方体的体积是 的长是5分米，宽是3分米，这个长方体的高 多少立方分米？ 是( )分米 (3)一个长方体容器，从里面 量，长6dm,宽4dm,深5dm。 一天，容器的一个面被打碎了， 6.(恩维过程)如图，把一张边长是12厘米的正 需要把容器倾斜一定角度来盛水（如图）。用 方形纸剪成一个“十”字形图案，并将其折成 这个被打破的容器，最多能盛水( )Lo 一个无盖的正方体纸盒。这个正方体纸盒的 3.(生话应用)一个长方体水箱，从里面量，长 体积是多少立方厘米？ 2.5米，宽0.8米，深1.2米。水箱的壁上有 一个洞（如下图），这个水箱最多能盛水多少 立方米？ 0.2米 7.一个长方体，长14分米，高6分米。如果把 它切成两个小长方体（如下图），那么表面积 增加108平方分米。求原来长方体的体积。 67 拔尖特训·数学（苏教版）五年级下 第9课时 长方体和正方体的体积(2) 习基础进阶 团能力攀升 1.计算下面的长方体或沿虚线折叠的长方体的 4.一个长方体形状的冰箱的容积是200升，如 体积。 果从外面量这个冰箱的底面是一个面积为 25平方分米的正方形，那么这个冰箱的高最 36 cm 有可能是( )分米。 45 dm 6 cm A.6 B.8 C.10 D.32 S=20 dm 16 cm 5.如图，一根2.5米长的长方体木料被锯成 3段后，表面积比原来增加48平方分米。原 来这根木料的体积是多少立方分米？ 2.填一填。 (1)一根长方体钢材，长1.2米，横截面是边 长1分米的正方形。将长切掉6分米后，它 的体积减少()立方分米。 6.如图（单位：分米），长方体的表面积是178平 (2)一个底面积是40平方厘米的容器内盛 方分米，有两个相对的面是边长3分米的正 有5厘米深的水，当把一个铁块浸没在水中 方形，求这个长方体的体积。 时，水面上升了1.8厘米（水未溢出）。这个 铁块的体积是()立方厘米。 (3)一个底面长20米、宽5米的长方体水 池，深2.5米，向其中注入120立方米水后， 水深( )米 7.(生话体验)星期天，贝贝和明明来找丽丽玩， 3.(操作探完)如图（单位：厘米），为了比较土豆 丽丽拿出一瓶646mL的果汁，将其倒入以下 和红薯的体积，典典做了如下试验。请你判 两个杯子（单位：cm,厚度忽略不计）中。你 断一下谁的体积大，并说明理由。 能算出这两个杯子中各有多少毫升果汁吗？ 先放入土豆 再放入红薯 果汁正好倒完，且 两个杯子中果汁 51 8 的高度相等。 120 ←12 ←12 贝贝的杯子明明的杯子 丽丽 68 六长方体和正方体 第10课时 体积单位间的进率 习基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.一个装满水的长方体容器，长 6 dm (1)在括号里填合适的数。 0.6dm,宽0.4dm,高1.2dm。 0.75立方分米=( )立方厘米 枫枫倒出( )mL水后，容器 2060立方分米=( )立方米 中空出的部分如右图所示。 400立方厘米=( )毫升=( )升 5.(生活应用)如图，在一块平坦的水泥地上，用 8立方米40立方分米=( )立方米 砖和水泥砌了一个长3米、宽1.8米、高2米 5.09升=( )升( )毫升 的长方体水泥池，池壁厚10厘米（底面为原 (2)在○里填“>”“<”或“=”。 来的水泥地)。这个长方体水泥池的容积是 9.07m3○9m3700dm 多少立方分米？ 7.2平方米○72平方分米 米 900毫升○900立方厘米 3米 1.8米 456立方厘米()4.56立方分米 (3)一根长方体木料，长9米，宽0.3米，高 0.2米。将它锯成若干个棱长1分米的正方 6.如图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为 体木块，最多可以锯成( )个，将这些正方 28厘米、体积为3500立方厘米的假山石。 体木块排成一排，长( )米。 若以每分钟7升的速度向鱼缸中注水，则至少 2.选一选 多长时间后才能将假山石浸没在水中？ (1)一瓶药水有0.65升，1毫升药水约10滴， 这瓶药水共约( )滴 28厘米 A.6.5B.65 C.650 D.6500 25厘米 (2)(生活体验)用规格是10厘米×6厘米× 45厘米 20厘米的纸质包装盒装( )升的饮料比 较合适。 7.★一个正方体容器的棱长是40厘米，容器内 A.1.1B.1.2C.1.3D.1.4 的水面高35厘米。现将一根长50厘米、横 3.一个长方体油箱，从里面量，长90厘米，宽 截面积是400平方厘米的长方体铁棒竖直插 60厘米，高50厘米。制作这样一个油箱最 入水底，会溢出多少升水？ 少需要多少平方分米铁皮？若每升汽油重 0.72千克，则这个油箱最多能装多少千克汽 油？（铁皮的厚度忽略不计）》 69提分真题集训 1.(1)D解析：根据题意，可知8杯水等于6碗水， 因此4杯水等于3碗水，又加了1碗水，共计4碗水。 (②54解辅：技瓶序写下去，民1子十日子 11411411」 63T63+6-3=0。 2.(1)C解析：只有C运用的是商不变的规律。 (2)D解析：异分母分数不能直接相加减。 3号+号+号得1不真实解析：所有区故所 占面积的分率之和大于单位“1”，显然不真实。 4w名员 (2)2+1=1313、4 5T420207 处于平地部分 解析：根据王叔叔骑行到全程的几分之几来判断他处 于训练路线的哪个部分。 第五单元整合提升 1因路1-子-是子音-号 2+-1-贵 11 2020202120222023 3.20212022 20232024 解析：分数的分子、分 母比较大，分数值接近1且小于1，可以先比较1减去 这个分数的差的大小，再根据“被减数相同，差越大， 减数反而越小”，比较这四个分数的大小。 4.B解析：本题可以分开计算，妈妈给了一杯牛奶， -共加了名+子-是（标）水，周为>1，所以喝的 水多。本题还可以先家隔的流体意整是号十寻 1=号（杯），喝的牛奶堂就是恩来的1杯，放喝水登为 }-1=(杯).>1.放的水多。 1+2 1,1 1+2+3 .12×1+2)=36+1812×1+2+3)=72 高+京+品+霜+动 1,11+2+3+4 2 1+2+3+4+6 1111,1 12X(1+2+3+4+6)=192+96+64+48+32 解析：12的因数有1、2、3、4、6、12，故分子和分母可同 时乘(1+2)，(1+2+3)，(1+2+3+4)，(1+2+3+ 4+6),(1+2+3+4+6+12)。 六长方体和正方体 第1课时 长方体和正方体的 认识 1.(1)433左右941248(2)34 2.(1)B(2)C 3.(8+4+3)×4÷12=5(cm) 4.(11+6+17)×(4+1)=170(分米) 5.80÷(8+8)×12=60(厘米) 解析：根据题意，可画出示意图。从图中 可以看出，原来长方体木块的棱长总和相 当于正方体木块(8十8)条棱长的和，由此可以先求出 正方体木块的棱长，进而求出切成的每个正方体木块 的棱长总和。 方法归纳》 运用转化思想解决求棱长总和的问题 把长方体的棱长总和转化为正方体几条棱 的长度和，就可以求出正方体的棱长，进而求出 正方体的棱长总和。 第2课时 长方体和正方体的 展开图 1.(1)3④⑤⑥(2)18(3)C 2.(1)A(2)C 3.112555 后 面 右面 上面 左面 前面 下面 5.(5×3)×(2×3)=90(平方厘米)解析：当长方 形纸的面积最小时，能画出的正方体的展开图如图所 示。此时这张长方形纸的长是5×3=15（厘米），宽 是2×3=6（厘米），面积是15×6=90（平方厘米）。 6.5解析：根据②③两种摆法可以看出，与数字5 相邻的数字有2、3、4、6，所以数字5的对面是数字1， 即数字1的对面是数字5。 方法归纳>》 运用推理法确定正方体相对面上的数字 先找出正方体中与某一个面相邻的四个面 上的数字，再推出它相对面上的数字。 第3课时长方体和正方体的 表面积(1) 1.0.4×1.2×4+0.4×0.4×2=2.24(m2) (15×8+15×22+8×22)×2=1252(cm) 2.(1)720(2)132(3)150 3.(5×4+4×0.5+5×0.5)×2=49(m) 4.(1)①③(2)2<2.5纸箱③最节约纸板 (2.5×1.6+2.5×2+1.6×2)×2=24.4(dm2) 5.(7×6+7×11+6×11)×2=370(cm2) 6.(6+2)÷2=4(个)150÷6×4=100（平方厘米） 解析：正方体的表面积是6个正方形的面积之和，把 它切成两个完全相同的长方体，增加了2个面（正方 形)，这时两个长方体的表面积之和相当于正方体 6十2=8（个）面的面积之和，因此每个长方体的表面 积相当于正方体8÷2=4（个）面的面积之和。 方法归纳》 厘清关系巧求长方体的表面积 解决此类问题时，不一定要求出长方体的 长、宽、高，只要厘清每个长方体的表面积相当于 原来正方体几个面的面积之和即可解题。 第4课时长方体和正方体的 表面积(2) 1.(1)54(2)1920(3)118 2.13.8×2+2.5=30.1(cm)36.4>30.125.7> 19.2包得住 2 3.80×15×2+80×60+60×15+60×(15+5)= 9300(平方厘米)9300平方厘米=93平方分米 解析：制作抽屉的木板包括一块长60厘米、宽15厘 米的长方形木板（后面），两块长80厘米、宽15厘米 的长方形木板（左、右面），一块长80厘米、宽60厘米 的长方形木板（底面），一块长60厘米、宽(15十5)厘 米的长方形木板（拉手所在的面）。 4.10×3.5×2+8×3.5×2=126(平方米)1.5× 1.2×2+1.5×2=6.6(平方米)126-6.6= 119.4(平方米)119.4÷35≈4（桶）378×4=1512（元） 5.(80十4)×30=2520（平方厘米）解析：接头处有 4厘米宽，说明包装纸的实际面积比铁盒侧面积多了 “4厘米×高”。若把包装纸展开，则它的长是长方体 铁盒的底面周长与4厘米的和，宽是长方体铁盒 的高。 6.解：设长应增加x分米。2x×2+3.x×2=20 x=2解析：增加的表面积就是增加的小长方体上、 下、前、后四个面的面积和，可设长应增加x分米，根 据“上、下两个面的面积和十前、后两个面的面积和= 20平方分米”这一数量关系列方程解答。 第5课时练习课 1.(1)16解析：假设原来正方体的棱长是1，则原 来的表面积是1×1×6=6；当棱长扩大到原来的 4倍时，棱长就变成4，表面积就变成4×4×6=96， 即其表面积扩大到原来的96÷6=16倍。 (2)450解析：长方体的侧面是指前、后、左、右四个 面，根据长方体纸箱的侧面展开图是一个正方形可 知，长方体的高等于长方体的底面周长，即高是20分 米；长方体的底面是正方形，则底面边长是20÷4= 5(分米)，即长方体的长和宽都是5分米，据此求解 即可。 (3)48 (4)4a2解析：三个棱长为a米的正方体拼成的长方 体，长3a米，宽a米，高a米。如图：，每拼 一次，其表面积就减少两个边长是Q米的正方形的面 积之和，一共拼了2次，其表面积就减少了2a×2= 4a2(平方米)。 2.(1)(9+7+7)×2=46(cm2)(2)66 3.(1)D 2 (2)C解析：高增加4厘米，表面积就增加了长是 α厘米、宽是b厘米、高是4厘米的长方体的侧面 面积。 4.50×30×4+30×150×2+50×150=22500(cm) 22500cm2=225dm 5.72÷8=9(厘米)高：8÷2=4（厘米）宽：9一 4=5(厘米)表面积：8×5×2十8×4×2十5×4× 2=184(平方厘米)解析：已知上面的面积十前面 的面积=72平方厘米，则宽与高的和为72÷8=9（厘 米)。因为右面的面积是上面的一半，所以高是长的 一半，即高为8÷2=4（厘米）。 第6课时体积和容积的意义 1.(1)冰箱草莓(2)镇江香醋镇江香醋瓶 (3)① 2.(1)C(2)C(3)A 3.长方体解析：由前两幅图可知，小球放入水中， 水面升高9.5一8=1.5(cm)。由后两幅图可知，长方 体放入水中，水面升高12一9.5=2.5(cm),放入长方 体后水面升高的高度大于放入小球后水面升高的高 度，所以长方体的体积大于小球的体积。 4.2.4÷2=1.2(元)3÷3=1（元）11.4÷12 0.95(元)1.2>1>0.95购买桶装牛奶更划算 5.体积相等，因为从外面量，两个泡沫箱的长、宽、高 都相等乙泡沫箱的容积大一些，因为甲泡沫箱的箱 壁厚一些，所以从里面量，甲泡沫箱的长、宽、高都比 乙泡沫箱短一些，因此乙泡沫箱的容积要比甲泡沫箱 大一些 6.答案不唯一，如将铁块和铁球分别浸没在完全相 同的两个盛满水的桶中，收集溢出的水，溢出的水较 多的，对应桶中浸没的物体的体积就更大一些 7.4种体积相等因为都是由12个棱长1厘米的 小正方体摆成的解析：可以摆成4种不同形状的长 方体：①摆成的长方体长1厘米，宽1厘米，高12厘 米；②摆成的长方体长2厘米，宽1厘米，高6厘米： ③摆成的长方体长3厘米，宽1厘米，高4厘米； ④摆成的长方体长2厘米，宽2厘米，高3厘米。 第7课时体积单位 1.(1)毫升(2)立方厘米(3)升毫升(4)立 2 方米升 2.(1)B(2)C(3)D(4)A 3.3664 4.(1)100(2)300(3)500-100=400(mL) 400÷100=4(块) 5.(1)12(2)15 6.(1)7解析：根据从上面观察到的图形可知，下面 一层摆了5个小正方体木块，再结合从前面和右面观 察到的图形可知，上面一层摆了2个小正方体木块。 由于每个小正方体木块的体积都是1cm3,因此这个 物体的体积是7cm3。 方法归纳>》 运用观察法确定小正方体的个数 根据从不同方向观察到的图形确定小正方 体的个数，可以先由从上面观察到的图形摆出基 本形状，再根据从前面和右面观察到的图形进行 调整。 (2)57解析：根据从上面和左面观察到的形状可 知，这个物体有2排、2层。最少可能是摆放成 211 121 112 共5个这样的 1 222 小正方体；最多是摆放成 ,共7个这样的小 1 正方体。 第8课时长方体和正方体的 体积(1) 1.长方体：6×5×3.5=105(cm3) 正方体：20×20×20=8000(dm3) 2.(1)64(2)8(3)60 3.2.5×0.8×(1.2-0.2)=2(立方米)》 4.(1)A(2)C 5.4×4×(4十2)=96（立方分米）解析：根据题意 可知，原来长方体的长和宽都是4分米，高是4十2= 6(分米)，据此解答。 6.12÷3=4(厘米)4×4×4=64（立方厘米） 7.108÷2:6=9(分米)14×9×6=756（立方分米） 解析：表面积增加的是2个横截面的面积的和，先求 出一个横截面的面积，再用横截面的面积除以高求得 长方体的宽，最后利用长方体的体积计算公式即可求 得原来长方体的体积。 第9课时 长方体和正方体的 体积(2) 1.20×45=900(dm3)16×6=96(cm3) 2.(1)6(2)72(3)1.2 3.红薯的体积大理由：原来的水面高度是5厘米 放人土豆后水面升高了8-5=3（厘米），再放人红 薯，水面又升高了12一8=4（厘米），4>3，所以红薯 的体积大。 4.C 5.2.5米=25分米48÷[(3-1)×2]=12（平方分 米)12×25=300（立方分米）解析：长方体木料被 锯成3段就锯了3一1=2（次），锯一次增加两个横截 面，故增加了2×2=4（个）横截面，对应的面积是增 加的48平方分米，则每个横截面的面积是48÷4= 12(平方分米)，再用横截面面积×长求出木料的 体积。 6.178-3×3×2=160(平方分米) 160÷4=40(平方分米)40×3=120（立方分米） 7.646ml=646cm3646÷(8×5+6×6)=8.5(cm) 贝贝的杯子：8×5×8.5=340(cm3)340cm3= 340mL明明的杯子：6×6×8.5=306(cm3) 306cm3=306mL解析：因为倒好后两个杯子中果 汁的高度相等，所以可以先求出此时两个杯子中的果 汁的总底面积是8×5+6×6=76(cm),再用“果汁 的总体积÷总底面积”求出倒好后果汁的高度，进而 求出各自的果汁体积。 第10课时体积单位间的进率 1.(1)7502.064000.48.04590 (2)<>=<(3)54054 2.(1)D(2)A 3.(90×60+90×50+60×50)×2=25800(平方厘 米)25800平方厘米=258平方分米90×60× 50=270000(立方厘米)270000立方厘米=270立 方分米=270升0.72×270=194.4（千克） 4.72 5.10厘米=0.1米3-0.1×2=2.8（米）1.8 0.1×2=1.6(米)2.8×1.6×2=8.96（立方米） 8.96立方米=8960立方分米解析：计算容积时要 用从里面量的数据计算。 2 6.45×25×28-3500=28000(立方厘米)28000立 方厘米=28立方分米=28升28÷7=4（分） 解析：要将假山石浸没在水中，水面的高度至少是 28厘米。因为假山石占据了鱼缸内的一部分空间， 所以注入的水的体积等于没有假山石时水面高28厘 米的水的体积减去假山石的体积。用注入的水的体 积除以注水的速度，就可以求出注水的时间，注意单 位换算。 7.400×40一40×40×(40一35)=8000（立方厘米） 8000立方厘米=8立方分米=8升解析：正方体容 器内的水面高35厘米，还有40一35=5（厘米）高的 空间没有水。铁棒竖直插入水底后，容器内的水面应 先上升直至填满这部分空间，然后才会溢出。正方体 容器的棱长是40厘米，铁棒浸没在水中的长度最多 只能是40厘米，用40厘米长的铁棒的体积减去原来 正方体容器中没有水的部分的体积，即可求出会溢出 的水的体积。 方法归纳>》 根据体积之差求溢出的水的体积 由于容器内水面以上有空余部分，因此溢出 的水的体积等于浸没在水中的铁棒的体积减去 容器内水面以上空余部分的体积。需要注意浸 没在水中的铁棒的高度是40厘米，不是50厘米。 第11课时练习课 1.(1)①3200②240③3840 (2)23.12解析：选择内腔尺寸进行计算。 2.(1)210解析：该长方体盒子长7厘米，宽6厘 米，高5厘米。 (2)18解析：本题中“长”可放7÷2≈3（个），“宽”可 放6÷2=3（排），“高”可放5÷2≈2（层），最多可放 3×3×2=18(个)。 (3)26h42h解析：表面积增加的是长7厘米、宽 6厘米、高h厘米的长方体的侧面积；体积增加的是 长7厘米、宽6厘米、高h厘米的长方体的体积。 3.(1)50×3=150(升)(2)150升=150立方分米 150÷(5×5)=6(分米)5×5+5×6×4=145（平方 分米) 4.192解析：根据题意可知，露在外面的有上面、前 面以及右面，上面的面积为4×4=16（平方分米），因 1 为露在外面的面积为1.12平方米，即112平方分米， 所以前面与右面的面积和为112一16=96（平方分 米)。因为前面与右面的面积相等，所以前面与右面 的面积都为96÷2=48（平方分米），则体积为48× 4=192(立方分米)。 5.20×20×15÷(30×20)=10(厘米)解析：容器 被碰倒后，水的体积不变，但底面积变了。 6.解：设长方体的宽是x厘米。12x十8x=200 x=1012×10×8=960(立方厘米) 7.60÷4÷(4+1)=3(厘米)4+1+3=8（厘米） 8×3×3=72(立方厘米)解析：减少的表面积可以 看成是长为4十1=5（厘米）的长方体木料前、后、上、 下四个面的面积和，且这四个面的面积相等，据此先 求出长方体木料的宽和高均是60÷4÷5=3（厘米）， 再求出原来长方体木料的长是5十3=8（厘米），最后 求出原来长方体木料的体积。 第12课时整理与练习(1) 1.(1)立方分米立方米平方米(2)0.35 40803.783780(3)192180 (4)4000解析：长方体包装盒的侧面展开图和底面 是正方形，所以长方体的长和宽都是40÷4=10（厘 米)，高是40厘米，包装盒的体积是10×10×40= 4000(立方厘米)。 2.(1)②176(2)8×4×(5.5-5)=16（立方 分米) 3.B解析：三个面上数字之和最大是6十4+2=12。 4.8-5=3(cm)7-3=4(cm)表面积：(3×4+ 4×5+3×5)×2=94(cm)体积：3×4×5= 60(cm3) 5. 40cm cm ←15cm→ (40-15×2)÷2=5(cm) (15×8+15×5+8×5)×2=470(cm2) 6.150÷6=25(平方厘米)25=5×5(110-25× 2)÷4÷5=3(厘米)25×(3+5)=200（立方厘米） 解析：由题意，可画出示意图。表面积是150平方厘 米的正方体，它的一个面的面积是150÷6=25（平方 2 厘米)，棱长就是5厘米（即原来大长方 体的宽和高都是5厘米)。表面积是 110平方厘米的长方体，有两个相对的面是面积为 25平方厘米的正方形，其他四个面是完全相同的长方 形，且一条边的长为5厘米，据此先求出另一条边的 长，再求出原来大长方体的长，最后求出体积即可。 第13课时整理与练习(2) 1.(1)56(2)2.561.446.4 (3)1210解析：24÷6=4(dm),4=2×2,这个正 方体蛋糕的棱长是2dm,将这个正方体蛋糕平均分 成4份，有两种分法。分法①（如图①），表面积之和 比原来增加3×2=6（个）面的面积，所以表面积之和 是24+6×4=48(dm2),每个长方体的表面积是48÷ 4=12(dm)。分法②（如图②），表面积之和比原来 增加2×2=4（个）面的面积，所以表面积之和是24十 4×4=40(dm),每个长方体的表面积是40÷4= 10(dm2)。 1 ② (4)18 (5)40解析：由题意可知，摆成的物体是 这个物体是由5个棱长为2厘米的小正方体摆成的， 则它的体积为2×2×2×5=40（立方厘米）， 2.(1)A(2)C 3.(1)(14-1×2)×(7-1×2)×(5-1)= 240(立方分米)240立方分米=240升解析：求出 水槽内部的长、宽、高，即可求出水槽的容积。 (2)14×7×5-240=250(立方分米)解析：混凝土 的体积=水槽的体积一水槽的容积。 4.30+40+24=94(cm2) 5.2米=20分米(108-24×2)÷20×24=72（立 方分米)解析：用长方体纸箱的表面积减去上、下两 个面的面积和，可得前、后、左、右四个面的面积和。 根据“长方体纸箱前、后、左、右四个面的面积和=底 面周长×高”，可以求出长方体纸箱的高，最后用“长 方体的体积=底面积X高”求出长方体纸箱的体积。 赏表面涂色的正方体 1.(1)8(2)n-212(n-2)(3)(n-2)2 6(n-2)2(4)(n-2)3 2.1dm3的正方体棱长为1dm,1cm3的正方体的棱 长为1cm1dm=10cm(10-2)2×6=384(个) 3.27=3×3×3(3+2)×1=5(厘米) 5×5×5=125(立方厘米) 4.(1)AB(2)B (3)ACC解析：用n表示把大正方体的棱平均 分的份数，则b=12(n-2),c=6(n-2)2,d=(n- 2)3。若要使b=c=d,即12(n-2)=6(n-2)2=(n 2)3,则当n=2时，12×(2-2)=6×(2-2)2=(2 2)3=0,符合题意。若要使b<c,即12(n-2)< 6(n一2)，当n=6时，48<96，符合题意。若要使 b<d,即12(n-2)<(n-2)3,当n=6时，48<64，符 合题意。 5.3个2个解析：一层一层地观察，分层标出每 个小正方体涂色的面数。最上层：5：中间一层： 224 212 33 :最下层：113，然后数出3面涂色和 4 4面涂色的小正方体各有几个即可。 6.3面涂黄色的小正方体：8个2面涂黄色的小正 方体：[(6-2)+(5-2)+(4-2)]×4=36（个） 1面涂黄色的小正方体：[(6-2)×(5-2)+(5 2)×(4-2)+(6-2)×(4-2)]×2=52(个) 解析：长方体上3面涂黄色的小正方体在长方体的 8个顶点处，一共有8个。2面涂黄色的小正方体，在 长的棱上有(6-2)×4=16（个），在宽的棱上有(5一 2)×4=12(个)，在高的棱上有(4一2)×4=8（个）， 共有16十12+8=36（个）。1面涂黄色的小正方体， 上、下面有(6-2)×(5-2)×2=24（个），左、右面有 (5一2)×(4一2)×2=12（个），前、后面有(6一2)× (4-2)×2=16(个)，-共有24十12十16=52（个）。 知识归纳》 长方体表面涂色问题 把长方体的表面涂色（包括底面），然后全部 切成棱长1厘米的小正方体，3面涂色的小正方 体在长方体的顶，点处，2面涂色的小正方体在每条 棱的中间，1面涂色的小正方体在每个面的中间。 2 提分真题集训 1.(1)①20②60③44(2)318 2.(1)B(2)B(3)C 3. 4.(1) (2)140解析：根据切面的形状可以判断出长方体 的长是7厘米，宽是5厘米，高是4厘米。 (3)7×5×2=70(平方厘米)解析：每种切法都会 增加2个面，第一种切法增加的2个面的长是7厘 米，宽是5厘米，面积最大。 第六单元整合提升 1.A 2.5×5×7=175(立方厘米)解析：题图左、中、右 三种纸板中，选择右边规格的2张、左边规格的4张 做成一个长方体，该长方体的长是7厘米，宽是5厘 米，高是5厘米。 3.一共可以焊接成8种不同的水箱，选法如下： 规格① 规格② 规格③ 规格④ 选法一 5张 选法二 3张 2张 选法三 3张 2张 选法四 4张 1张 选法五 4张 1张 选法六 2张 2张 1张 选法七 2张 1张 2张 选法八 1张 2张 2张 4.C解析：图①减少3×3×2=18（平方厘米）：图② 增加8×3×2-3×3×2=30（平方厘米）；图③增加 8×3×4一3×3×2=78（平方厘米），剩余部分的表面