精品解析：天津市第四十五中学2025-2026学年度第二学期高一年级数学学科第一次考查

2025-2026学年度第二学期高一年级数学学科第一次考查 一、单项选择题： 1. 已知向量，且点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 设复数，，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 6. △ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为 A. 19 B. 14 C. -18 D. -19 7. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ） A. B. C. D. 8. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题： 10. 是虚数单位，则的值为________. 11. 在中，，，则________. 12. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则边______． 13. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数_________． 14. 已知两座灯塔A和与海洋观察站的距离都等于，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔在观察站的南偏东20°，则灯塔A与灯塔的距离为______km. 15. 已知平行四边形的面积为，，，为线段的中点，若为线段上的一点，且，则________；的值为______. 三、解答题： 16. 设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求|z1|． 17. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 19. 如图，在中，，，P为AB边上一点，且． （1）设，求实数x，y的值； （2）若与的夹角为，求的值． 20. 在锐角中，内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级数学学科第一次考查 一、单项选择题： 1. 已知向量，且点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求解即可. 【详解】因为，点，所以点的坐标为. 故选：A 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D. 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分. 3. 如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线， 都可作为平面向量的基底， 而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底. 故选:D. 4. 设复数，，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出的值，即可找出虚部. 【详解】， 则其虚部是。 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，以及复数的定义，属于基础题. 5. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定最大角，再利用余弦定理可求答案. 【详解】因为，，，所以为最大角， ，因为，所以. 故选：B 6. △ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为 A. 19 B. 14 C. -18 D. -19 【答案】D 【解析】 【分析】 运用余弦定理，求得，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值． 【详解】解：由于，，， 则， 则 ． 故选：． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题． 7. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造矢量图来解. 【详解】由题意画出矢量图如下： 为船速及航行方向，， 为水速及方向，为实际航行速度及方向， 由此. 故选：C. 【点睛】考查向量的运算和向量的实际应用.难度较易. 8. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 9. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设， 因此， 因此，设 所以 当时，最小值为选B. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 二、填空题： 10. 是虚数单位，则的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题得. 11. 在中，，，则________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为A=2π3，a=√3c， 所以， 则 ，即， 所以， 设​，则， 解得，（不符合边长比例，舍去）， 所以. 12. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则边______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据已知利用余弦定理可求的值． 【详解】，， 解得， ， 由余弦定理可得． 故答案为：． 13. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，求解即可. 【详解】向量在上的投影向量为， 则，于是， 所以，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知两座灯塔A和与海洋观察站的距离都等于，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔在观察站的南偏东20°，则灯塔A与灯塔的距离为______km. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理运算求解. 【详解】在中，由题意可知：， 由余弦定理可得：， 所以（km）. 故答案为：3. 15. 已知平行四边形的面积为，，，为线段的中点，若为线段上的一点，且，则________；的值为______. 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，则，即可求出答案. 【详解】解：因为平行四边形的面积为， 所以，得， 又，所以, 所以， 如图，连接，则, 由， 所以 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以 故答案为：；9 【点睛】此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题. 三、解答题： 16. 设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求|z1|． 【答案】（1）a=4（2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a值； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0且虚部不为0求得a值，再由复数模的计算公式求|z1|. 【详解】解：（1）∵z1=1-ai（a∈R），z2=3+4i， ∴z1+z2=4+（4-a）i， 由，得4-a=0，即a=4； （2）由=是纯虚数， 得，即， ∴|z1|=||=． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题． 17. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用数量积为0可求参数； （3）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【小问1详解】 由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由已知，得， ， 又向量与向量垂直，所以， 即，解得． 【小问3详解】 由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）先由正弦定理求出，然后由三角形内角的关系求出，再由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 又， 【小问2详解】 且，则， ，由正弦定理有，即，解得. ， ， 的面积. 19. 如图，在中，，，P为AB边上一点，且． （1）设，求实数x，y的值； （2）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1），． （2）-8 【解析】 【分析】（1）根据和向量减法法则得到，得到答案； （2）根据（1）和，利用向量数量积乘法法则计算出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，故，． 【小问2详解】 ， 故 ． 20. 在锐角中，内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 根据题意，由正弦定理得 ， 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 所以 ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $