专题01 四边形的基础证明（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

专题01 四边形的基础证明 题型1 利用平行四边形的性质进行证明（常考点） 题型6 利用菱形的性质进行证明（常考点） 题型2 证明四边形是平行四边形（常考点） 题型7 证明四边形是菱形 题型3 利用三角形的中位线进行证明 题型8 利用正方形的性质进行证明 题型4 利用矩形的性质进行证明（重点） 题型9 证明四边形是正方形（重点） 题型5 证明四边形是矩形（常考点） 题型10 四边形的综合证明（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用平行四边形的性质进行证明（共4小题） 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，将 绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到 使得点 B 的对应点E 恰好落在边上，点 F，G分别为点C，D 的对应点，与的交点为H． (1)求证： 平分 ． (2)若 求 的度数． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，使得点的对应点恰好落在边上，点、分别为点、的对应点，与相交于点，求证：． 题型二 证明四边形是平行四边形（共4小题） 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 8．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 题型三 利用三角形的中位线进行证明（共4小题） 9．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在Rt中，，是边上的中线，求证：．下面是小红和小光两位同学的证明思路： 小红：如图，由题目的已知条件，若延长至点，使，连接，，即可证明． 小光：如图，由题目的已知条件，若取的中点，连接，即可证明． 请你选择一位同学的证明思路，完成证明． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，点为边的中点，，，求证：四边形的面积等于面积的一半． 12．（25-26九年级上·北京·期中）在中，，于点，是线段上的动点（不与点，，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上，求证：； (2)如图2，若在线段上，在射线上存在点满足，连接，，，依题意补全图形，并证明：． 题型四 利用矩形的性质进行证明（共4小题） 13．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 14．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 15．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在的上方，连接、、、，，求证：． 题型五 证明四边形是矩形（共4小题） 17．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 18．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 20．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 题型六 利用菱形的性质进行证明（共5小题） 21．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 22．（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 24．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：． 题型七 证明四边形是菱形（共3小题） 25．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 26．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形． 27．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 28．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 题型八 利用正方形的性质进行证明（共4小题） 29．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 30．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 31．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 32．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 题型九 证明四边形是正方形（共4小题） 33．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 34．（24-25八年级下·全国·单元测试）两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上（如图①所示），，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点，重合时，连接（如图②所示），求点到的距离． (2)当时（如图③所示），求证：四边形是正方形． 35．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 36．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 题型十 四边形的综合证明（共4小题） 37．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图1，矩形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接，是的中点，连接． (1)试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，则四边形的面积为______． 38．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 39．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接，交于点F， (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，若，，点G、H分别是、边中点，连接、、，不添加其它字母和辅助线，直接写出图中与全等的所有三角形． 40．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知：如图，正方形中，点是对角线上的一个动点． (1)求证：； (2)如图2，点为边的中点，当点运动到线段上时，连接，相交于点． ①请你根据题意在图2中补全图形； ②猜想与的位置关系，并证明此猜想． $专题01 四边形的基础证明 题型1 利用平行四边形的性质进行证明（常考点） 题型6 利用菱形的性质进行证明（常考点） 题型2 证明四边形是平行四边形（常考点） 题型7 证明四边形是菱形 题型3 利用三角形的中位线进行证明 题型8 利用正方形的性质进行证明 题型4 利用矩形的性质进行证明（重点） 题型9 证明四边形是正方形（重点） 题型5 证明四边形是矩形（常考点） 题型10 四边形的综合证明（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用平行四边形的性质进行证明（共4小题） 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，将 绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到 使得点 B 的对应点E 恰好落在边上，点 F，G分别为点C，D 的对应点，与的交点为H． (1)求证： 平分 ． (2)若 求 的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，则可得，进而可得，即可得证 平分． （2）先求出，再根据旋转角相等可得，再由平行四边形的性质可得． 本题主要考查旋转的性质和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：∵将 绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到 ∴， 又∵点 B 的对应点E 恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴ 平分． （2）解：∵，且， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【详解】解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，使得点的对应点恰好落在边上，点、分别为点、的对应点，与相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，再证明，进一步可证明． 【详解】证明：由旋转的性质可得， ． 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 题型二 证明四边形是平行四边形（共4小题） 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】证明：是平行四边形， ，， ∴, 又， ∴，即， 四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 8．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据平行线的性质可得，，利用线段和差关系等量代换证得得到，根据全等的性质得到，从而得证． 【详解】证明：，， ，， ， ，即． 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型三 利用三角形的中位线进行证明（共4小题） 9．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在Rt中，，是边上的中线，求证：．下面是小红和小光两位同学的证明思路： 小红：如图，由题目的已知条件，若延长至点，使，连接，，即可证明． 小光：如图，由题目的已知条件，若取的中点，连接，即可证明． 请你选择一位同学的证明思路，完成证明． 【答案】见解析 【分析】小红：延长至点E，使，连接，，根据，，和，得，，    得四边形是平行四边形，是矩形，即得； 小光：取的中点，连接，根据三角形中位线性质，得，由，得，根据线段垂直平分线性质，得． 【详解】证明：小红的证明思路：如图，延长至点E，使，连接，， ∵在中，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∴ 小光的证明思路：如图，取的中点，连接， 则， ∵在中，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则 ， ，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，点为边的中点，，，求证：四边形的面积等于面积的一半． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定、三角形中位线定理及相似三角形的性质，灵活运用中位线定理和相似三角形的面积关系是解题的关键．根据中位线定理得到三角形的相似关系，再结合全等三角形的面积相等，进而推导出四边形与原三角形的面积关系． 【详解】证明：如图，过点作，， ，，点为边的中点， 四边形为平行四边形，点为边的中点， ， 又，， ， 为中点， ， ． 12．（25-26九年级上·北京·期中）在中，，于点，是线段上的动点（不与点，，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上，求证：； (2)如图2，若在线段上，在射线上存在点满足，连接，，，依题意补全图形，并证明：． 【答案】(1)见解析 (2)补图见解析，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识和作出合适的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，作于点，得，可证明，从而可得结论； （2）由三角形中位线定理可得，，由可证，可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：延长交于点，作于点，如图， 由旋转得，且 ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：补全图形如图， 证明：延长至点N，使，连接、， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四 利用矩形的性质进行证明（共4小题） 13．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 14．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 15．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在矩形中，，，由平行线的性质可得，由题意可得，再利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ． 在中，， ∴ ． 16．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在的上方，连接、、、，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ． 题型五 证明四边形是矩形（共4小题） 17．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用中位线性质和平行关系证明矩形，再通过矩形性质和线段关系构造直角三角形求解． (1)中由分别为中点得，结合证平行四边形，再由得矩形， (2)中由矩形性质得，由中位线性质得，则，在中用勾股定理求，再 由为中点得． 【详解】（1）解：分别为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 由(1)知，是的中位线，四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 为的中点， ． 18．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明： 中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 20．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 题型六 利用菱形的性质进行证明（共5小题） 21．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，继而得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用旋转的性质得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）利用，可得，再利用， 可得，最后由可得答案； （3）利用四边形是菱形得到，，则，可判断为等腰直角三角形，得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵绕点按顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为； （3）∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质和判定、菱形的性质、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用． （1）首先证明，证出四边形是平行四边形，然后结合，即可证明四边形是矩形． （2）如图，连接，首先证明，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】（1）四边形是菱形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形； （2）如图，连接 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形 ∴四边形是平行四边形 与互相平分 ∴． 题型七 证明四边形是菱形（共3小题） 25．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 26．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先根据，，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的性质证明，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形． 27．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 28．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型八 利用正方形的性质进行证明（共4小题） 29．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2）解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得， ． 30．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）过点C作交于点H，根据正方形的性质得到，即可得到，进而得到结论； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由：过点C作交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 如图2，过点A作直线于H， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)2或或4 【分析】（1）过Q作于H，利用证明；即可求解； （2）过Q作于H，连接，由（1）知：，则，进而得出，可求，，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶如图，过Q作于H， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1； （2）证明：过Q作于H，连接， ∵正方形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴； （3）解：①当时，过Q作于H，于M， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）知：， ∴； ②当时，过Q作于H，于M， ∵， ∴， ∴， 设，则 由①知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当时，A、P重合，如图， 符合题意， ∴； ③当时，过Q作于H，于M， 由②知：， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，当的值为2或或4时，为等腰三角形． 32．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型九 证明四边形是正方形（共4小题） 33．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 34．（24-25八年级下·全国·单元测试）两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上（如图①所示），，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点，重合时，连接（如图②所示），求点到的距离． (2)当时（如图③所示），求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定． (1)过点作于点，根据等边三角形的性质可知，可以求出，根据三角形内角和定理可知，根据直角三角形的性质可以求出的长度，即为点到的距离； (2)根据旋转角为，可证四边形是矩形，根据矩形的性质和等腰三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点到的距离是； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 矩形是正方形． 35．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 36．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 题型十 四边形的综合证明（共4小题） 37．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图1，矩形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接，是的中点，连接． (1)试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，则四边形的面积为______． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形斜边中线的定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，判定出垂直平分线段，得出，再利用直角三角形斜边中线定理得出相等的边，最后得出，即可得出结论； （2）根据正方形的性质得出直角和三角形的面积，然后得出四边形是正方形，即可求出面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴正方形的面积为， 故答案为：8． 38．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 39．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接，交于点F， (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，若，，点G、H分别是、边中点，连接、、，不添加其它字母和辅助线，直接写出图中与全等的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，推出，于是得到结论； （2）根据已知条件得到菱形是正方形，求得，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， 菱形是正方形， ，， 是的中点，是边中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中与全等的三角形有，，，． 40．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知：如图，正方形中，点是对角线上的一个动点． (1)求证：； (2)如图2，点为边的中点，当点运动到线段上时，连接，相交于点． ①请你根据题意在图2中补全图形； ②猜想与的位置关系，并证明此猜想． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的应用；熟练掌握正方形的性质并准确找出全等三角形是解决本题的关键． （1）由正方形的性质得出，，由证明； （2）①根据题意补全图形即可；②由（1）得：，得出，由证明，得出，再由直角三角形的性质得出，得出，证出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：①补全图形，如图2所示： ②， 理由如下：如图3所示： 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． $