专题04 几个三角恒等式（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题04 几个三角恒等式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 给角求值 题型02 给值求值 题型03 给值求角 题型04 利用半角公式化简求值问题 题型05 三角恒等式的证明 题型06 辅助角公式的应用 题型07 三角恒等变换在实际问题中的应用 题型08 积化和差公式 题型09 和差化积公式 题型10 降幂公式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 半角公式、万能公式 熟记公式推导与符号判定，会用半角、万能公式进行三角求值化简，掌握换元转化，熟练解题。 考查频率较低，多在求值问题中间接使用。 辅助角公式 掌握辅助角公式推导与变形，会合并同角正余弦、求解单调区间与最值，熟练用于三角化简解题。 必考内容，常与三角函数图象性质结合出现。 三角恒等变换用于化简与求值 熟练运用和差、倍半角、辅助角等公式，灵活转化角度与名称，精准完成三角函数化简与求值解题。 高一必考，多在解答题第一问出现，是后续求解函数性质的基础，难度中等偏下。 恒成立与能成立问题 理解恒成立与最值的转化关系；能准确分离参数；熟练处理含参三角函数的临界值，分清“恒成立”与“存在性”的逻辑差异；能正确转化为最值的不等关系 难度较高，常作为压轴问出现，需结合函数图象和区间端点综合分析 降幂公式 运用降幂公式实现升角降次。 高频考点，常在化简求值中作为核心步骤。常与两角和差公式结合考察。 知识点01 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 知识点02 二倍角公式、降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 ； 知识点03 半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 知识点04 积化和差公式 知识点05 和差化积公式 易错点：（1）公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． （2）只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． （3）三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． （4）为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． （5）三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 题型一 给角求值 解｜题｜技｜巧 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【典例1】求值：． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【详解】原式 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【变式2】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意利用三角恒等变换逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ， 所以，故A错误； 对于B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于C、D：因为， 因为为锐角，则，即， 则，解得或（舍去）， 所以，故C正确； 但，所以，故D错误； 故选：BC. 题型二 给值求值 解｜题｜技｜巧 1、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． 2、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④． 【典例1】已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式以及积化和差公式求解即可. 【详解】. 根据积化和差公式，. 因此. 【变式1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，且求解即可 （2）由二倍角公式以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，且， ，，所以. （2）因为，， 所以. 【变式2】已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】（1）由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. （2）因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 题型三 给值求角 答｜题｜模｜板 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【典例1】已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【变式1】在平面直角坐标系中，以为角的顶点、轴非负半轴为始边的锐角与锐角的终边与单位圆分别交于、两点，已知点的横坐标是，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义可得，再利用二倍角的余弦公式可得出的值； （2）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】（1）由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. （2）因为为锐角，且，所以， 因为，，所以， 又因为，故， 所以， 所以 ，故. 【变式2】已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 题型四 利用半角公式化简求值问题 答｜题｜模｜板 1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【典例1】已知，，则____________. 【答案】 【分析】利用已知条件判断的范围，再利用半角公式即可求出. 【详解】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 【变式1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 【变式2】给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足．若图中，且，则（   ） A．55 B．82.5 C．88 D．110 【答案】B 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出，代入公式，求出结果. 【详解】由半角公式得， 由得，解得. 故选：B. 题型五 三角恒等式的证明 答｜题｜模｜板 三角恒等式证明的常用方法 1、执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2、左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3、拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； 4、比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5、分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【典例1】（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 【变式1】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【详解】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而，所以． 【变式2】（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用两角和的正切公式以及二倍角的正弦、余弦公式可证得结论成立； （2）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 题型六 辅助角公式的应用 答｜题｜模｜板 1、进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2、把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【典例1】已知 (1)化简，，求的值； (2)若点为角的终边上一点，求的值； (3)已知在时取得最大值，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）化简，结合诱导公式，即可求解； （2）根据点在角的终边上，求出，即可得到答案； （3）化简函数，根据题意，求得，利用诱导公式，求得的值，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以. （2）因为点是角的终边上的一点， 所以，， 因此. （3）由（1）得，则， 代入得， 利用辅助角公式得，其中， 代入得， 当时，取最大值，此时， 即， 则， ， 因此. 【变式1】已知函数的两个相邻零点之差的绝对值小于，都有，且，则实数的最小值为______ . 【答案】13 【详解】由两个相邻零点之差的绝对值小于可知：， 又由都有可得：又为函数的对称轴， 即有恒等式成立，则当时，有， 又因为，所以， 即， 所以, 再由都有，可得又为函数的最大值点， 所以，可得， 因为，所以当时，实数取到最小值为 【变式2】已知函数． (1)当时，若，求的值； (2)当时，若，求的值； (3)当时，若，求的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) (3)． 【分析】（1）由余弦两角和差公式结合辅助角公式即可求解； （2）由辅助角公式得到，确定最大值，结合列出等式求解即可； （3）由题意通过分离参数得到，再结合换元法构造函数，求得最值即可求解. 【详解】（1）当时， ． 因为，所以， 所以或， 即或， 即或． 又，所以或或， 所以或或． （2）当时， ，其中， ． 因为，所以． 又， 所以． 由， 化简得，解得． （3）当时，． 由，得，即， 即，即． 因为，所以，所以， 所以在上有解． 又 ， 令，则． 因为在上单调递减， 所以当时，，所以． 即的取值范围是. 题型七 三角恒等变换在实际问题中的应用 答｜题｜模｜板 解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【典例1】某手工制作活动，需要在半径为，圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一个平行四边形，如图所示，则这个平行四边形的面积最大值为______． 【答案】 【分析】设，由三角函数知识和平行四边形的面积公式得，由正弦型函数的性质即可求出最大值． 【详解】如图，分别过，作于点，于点， 则四边形为矩形． 设, 由扇形半径为，圆心角为， 得，， 则， 则平行四边形的面积为， 故当时，. 【变式1】某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【答案】(1)，定义域为. (2) (3)米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【分析】（1）利用直角三角形锐角三角函数来表示边，结合勾股定理可得到周长的函数； （2）利用弦化切思想可求解长度； （3）由题意可知只需最小即可，然后利用换元思想，可转化为单调函数求最值. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知，， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得， ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【变式2】如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. （2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 题型八 积化和差公式 答｜题｜模｜板 1、公式右边中括号前的系数都有． 2、括号中前后两项的角分别为和． 3、每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 【典例1】已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】， 所以或， 所以或， 解得：或， 又，所以， 所以A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以， 即， 所以， 所以，故C错误； 对于D， ，故D正确. 【变式1】下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，故不能恒成立，即A错误； 对于B，因，故不能恒成立，即B错误； 对于C，因，则有在其有意义的条件下恒成立，故C正确； 对于D，因，，则 故，即不能恒成立，故D错误. 故选：C. 【变式2】已知 (1)求 (2)求的值 (3)若，求的取值范围 （参考公式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据参考公式将表达式化简可得，代入计算可得结果； （2）利用正弦的二倍角公式循环迭代计算可得； （3）由平方关系以及三角函数值域化简计算，即可求得其取值范围. 【详解】（1）易知 ， 所以； （2）由（1）可知 （3）由题可得， 令，则， 因为，所以， 可得 因此， 即的取值范围为. 题型九 和差化积公式 答｜题｜模｜板 1、在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 2、在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 3、在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 4、两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 【典例1】求值：___________． 【答案】 【详解】 . 【变式1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 【变式2】已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 题型十 降幂公式 答｜题｜模｜板 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 【典例1】如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）利用降幂公式以及辅助角公式化简原式可得：．结合为等边三角形求解即可. 【详解】（1）角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， ，根据三角函数的定义可得：，， ． （2） ， 由题意可得，从而为等边三角形， 则， 由（1）得， 故． 【变式1】已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若方程在有两个根，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得. （3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解. 【详解】（1）函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. （2）由，解得， 所以函数的单调递减区间是. （3）当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围. 【变式2】求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知函数 (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入运算求解即可； （2）根据题意可得，以为整体，结合两角和差公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以. （2）因为，即， 且，则，可得， 所以 . 2．已知函数，，. (1)求的值； (2)求的单调递减区间； (3)函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）代入已知条件即可求出； （2）对题干中的式子利用公式化成正弦型函数，再利用其性质即可； （3）根据题干结合正弦函数的性质列出不等式即可. 【详解】（1），.因为，所以. （2） 于是. 设，.解得，. 因此的单调递减区间为，. （3）因为，所以. 因为函数在上的零点个数恰为2个，所以. 解得.即. 3．设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】， ， 代入，． 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在中，，求的取值范围． 【答案】 【分析】先求，确定的取值范围，再利用两角和差的正余弦公式对变形整理，将分子和分母化成正弦型函数，令，分子分母同时除以，根据函数的单调性求出值域，求出答案. 【详解】因为，， 所以，所以，，， 因为，所以，且，且， 所以 因为，且，且， 所以，且，且 所以，且， 令， 所以， 令，易知在上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 故， 所以的取值范围为. 2．如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（    ） A．当时，矩形为正方形 B．当时， C．面积的最大值为 D．矩形面积的最大值为 【答案】D 【分析】结合图形，利用三角函数的定义求出相关边长可判断A项；对于B，C，D项，通过表示出相关边长，利用二倍角公式，三角恒等变换进行化简，将其化成正弦型函数，利用正弦函数的图象性质即可求出最值. 【详解】对于A， ， ，则， ， ，则，故A错误； 对于B，当时， ，，， 则，故B错误； 对于C，由B项已得，， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故C错误； 对于D，由B项已得，， 则 ， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故D正确. 故选：D. 3．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量； (2)记向量的相伴函数为，若且，求的值； (3)已知，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合相伴函数定义及反向定义求解； （2）先根据相伴函数定义再结合两角和差公式计算即可； （3）先设点的坐标，再应用函数求解计算可解． 【详解】（1）因为 故函数的相伴特征向量， 则与反向的单位向量为. （2）由题意知，向量的相伴函数为， 由题意， 且， 故. （3）因为， 其相伴特征向量， 故，所以， 则， ， 设点， 又， 所以， 若，则， 即， 因为， 故， 又，故当且仅当时，成立， 故在的图象上存在一点，使得. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几个三角恒等式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 给角求值 题型02 给值求值 题型03 给值求角 题型04 利用半角公式化简求值问题 题型05 三角恒等式的证明 题型06 辅助角公式的应用 题型07 三角恒等变换在实际问题中的应用 题型08 积化和差公式 题型09 和差化积公式 题型10 降幂公式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 半角公式、万能公式 熟记公式推导与符号判定，会用半角、万能公式进行三角求值化简，掌握换元转化，熟练解题。 考查频率较低，多在求值问题中间接使用。 辅助角公式 掌握辅助角公式推导与变形，会合并同角正余弦、求解单调区间与最值，熟练用于三角化简解题。 必考内容，常与三角函数图象性质结合出现。 三角恒等变换用于化简与求值 熟练运用和差、倍半角、辅助角等公式，灵活转化角度与名称，精准完成三角函数化简与求值解题。 高一必考，多在解答题第一问出现，是后续求解函数性质的基础，难度中等偏下。 恒成立与能成立问题 理解恒成立与最值的转化关系；能准确分离参数；熟练处理含参三角函数的临界值，分清“恒成立”与“存在性”的逻辑差异；能正确转化为最值的不等关系 难度较高，常作为压轴问出现，需结合函数图象和区间端点综合分析 降幂公式 运用降幂公式实现升角降次。 高频考点，常在化简求值中作为核心步骤。常与两角和差公式结合考察。 知识点01 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 知识点02 二倍角公式、降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 ； 知识点03 半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 知识点04 积化和差公式 知识点05 和差化积公式 易错点：（1）公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． （2）只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． （3）三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． （4）为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． （5）三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 题型一 给角求值 解｜题｜技｜巧 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【典例1】求值：． 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 题型二 给值求值 解｜题｜技｜巧 1、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． 2、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④． 【典例1】已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 题型三 给值求角 答｜题｜模｜板 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【典例1】已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，以为角的顶点、轴非负半轴为始边的锐角与锐角的终边与单位圆分别交于、两点，已知点的横坐标是，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2】已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用半角公式化简求值问题 答｜题｜模｜板 1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【典例1】已知，，则____________. 【变式1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足．若图中，且，则（   ） A．55 B．82.5 C．88 D．110 题型五 三角恒等式的证明 答｜题｜模｜板 三角恒等式证明的常用方法 1、执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2、左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3、拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； 4、比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5、分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【典例1】（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【变式1】已知，求证：． 【变式2】（1）求证：； （2）已知，，求的值． 题型六 辅助角公式的应用 答｜题｜模｜板 1、进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2、把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【典例1】已知 (1)化简，，求的值； (2)若点为角的终边上一点，求的值； (3)已知在时取得最大值，求的值． 【变式1】已知函数的两个相邻零点之差的绝对值小于，都有，且，则实数的最小值为______ . 【变式2】已知函数． (1)当时，若，求的值； (2)当时，若，求的值； (3)当时，若，求的取值范围． 题型七 三角恒等变换在实际问题中的应用 答｜题｜模｜板 解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【典例1】某手工制作活动，需要在半径为，圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一个平行四边形，如图所示，则这个平行四边形的面积最大值为______． 【变式1】某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【变式2】如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 题型八 积化和差公式 答｜题｜模｜板 1、公式右边中括号前的系数都有． 2、括号中前后两项的角分别为和． 3、每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 【典例1】已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知 (1)求 (2)求的值 (3)若，求的取值范围 （参考公式） 题型九 和差化积公式 答｜题｜模｜板 1、在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 2、在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 3、在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 4、两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 【典例1】求值：___________． 【变式1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） A． B．7 C． D． 题型十 降幂公式 答｜题｜模｜板 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 【典例1】如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 【变式1】已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若方程在有两个根，求的取值范围. 【变式2】求值： (1)； (2)． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知函数 (1)求的值； (2)若，，求的值. 2．已知函数，，. (1)求的值； (2)求的单调递减区间； (3)函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 3．设，则（    ） A．1 B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在中，，求的取值范围． 2．如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（    ） A．当时，矩形为正方形 B．当时， C．面积的最大值为 D．矩形面积的最大值为 3．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量； (2)记向量的相伴函数为，若且，求的值； (3)已知，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $