专题01 平面向量的概念及运算（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题01 平面向量的概念及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面向量的概念辨析 题型02 判定相等向量与共线向量 题型03 平面向量的加减运算 题型04 向量加减法运算律的应用 题型05 向量加减法的实际应用 题型06 平面向量的数乘运算 题型07 平面向量的数量积 题型08 向量的模和夹角的计算问题 题型09 与垂直有关的问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的基本概念 1、能准确区分向量与数量的区别； 2、能清晰判断零向量、单位向量、相等向量、相反向量的特征； 3、能正确理解共线向量（平行向量）的定义，区分共线与重合的关系 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低； 易错点：混淆零向量的方向、共线向量与相等向量的关系；忽略单位向量的方向不唯一 平面向量的运算 三角形法则、平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘的几何意义（伸缩与反向）；平面向量运算后模的几何意义。 基础题型，高频考点，与共线、三点共线结合紧密，是基底表示的基础 平面向量的数量积 熟练掌握数量积的两种计算方法；能求向量的夹角与投影；会用数量积证明垂直；处理最值问题 每年必考，是平面向量模块的核心，选择填空多考查夹角、模长。 知识点01 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。 易错点：向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点02 向量的表示法 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 示例：向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 易错点：用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点03 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 易错点：（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 易错点：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 易错点：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点04 向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 易错点：（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． （3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 知识点05 平面向量的运算 1、 平面向量的加法运算 三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线） 2、 平面向量的减法运算 三角形法则（共起点） 3、 平面向量加减法运算律 （1）交换律： （2）结合律： 易错点：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 4、 平面向量的数乘运算 （1）定义：实数与平面向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． （2）运算律：分配律：；结合律：． 知识点06 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 易错点：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 知识点07 平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点08 向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点09 向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 易错点：（1）已知实数、、（），则．但是； （2）在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型一 平面向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧 对概念进行理解： 1、 区别向量与数量的关键点是向量有方向，所以向量是不能比较大小的。但是可以判断相等。 2、 向量是自由向量，可以自由移动，向量可以用有项线段来表示但是不能说有向线段是向量。 3、 对特殊向量的认识，0向量也是向量，它的方向是任意的。单位向量是长度为1的，但是方向是不确定的，所以不是所有的单位向量都相等。 4、对非零向量之间，平行是具有传递性的，若,则相等向量具有传递性。 5、零向量比较特殊，规定它与任意向量都是平行的，所有这导致并不是所有的平行向量都具有传递性。 6、单位向量只有方向相同的时候才能相等。模相等是向量相等的必要条件，模相等且方向相同时向量相等的充要条件。 6、共线向量不一定是相等向量，但是相等向量一定是共线向量。 易｜错｜点｜拨 1、向量不能比较大小，但能判断是否相等。 2、向量的方向任意，注意与0的区别 3、向量是有大小跟方向，但是可以自由移动，没有起点跟终点，跟有向线段不一样。 【典例1】下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 【变式1】下面命题中，正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若//，//，则// D．若，则// 【变式2】已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 题型二 判定相等向量与共线向量 解｜题｜技｜巧 相等向量与共线向量的探求方法 1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【典例1】下列选项中，正确的是（   ） A．若向量，满足，则或 B．若非零向量与相等，则B，C重合 C．在平行四边形ABCD中， D．若与是共线向量，且，则 【变式1】已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知向量，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 平面向量的加减运算 答｜题｜模｜板 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 易｜错｜点｜拨 求作两个向量的差向量的两种思路 1、可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可． 2、可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 【典例1】化简后等于（ ） A．0 B． C． D． 【变式1】在平行四边形ABCD中，，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 向量加减法运算律的应用 答｜题｜模｜板 1、向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 2、向量减法运算律的意义和应用原则 （1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【典例1】设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【变式1】化简______. 【变式2】已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 题型五 向量加减法的实际应用 答｜题｜模｜板 应用向量解决实际问题的基本步骤 1、表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． 2、运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． 3、还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【典例1】如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】向量（   ） A． B． C． D． 题型六 平面向量的数乘运算 答｜题｜模｜板 数乘运算 表示将向量伸缩变换： 当 时，方向不变，长度变为原来的 倍 当 时，方向相反，长度变为原来的倍 当 时，结果为零向量 核心：数乘本质是向量的缩放与反向，不改变向量的方向线（共线性）。 【典例1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列运算正确的是（    ） A．· B． C． D． 题型七 平面向量的数量积 答｜题｜模｜板 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【典例1】已知向量满足，则在方向上的数量投影是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 【变式2】在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 题型八 向量的模和夹角的计算问题 答｜题｜模｜板 1、求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． 2、求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【典例1】已知平面向量，，且 (1)若向量与向量共线，求的值； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【变式1】已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 【变式2】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 题型九 与垂直有关的问题 答｜题｜模｜板 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【典例1】已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式1】（1）如图，在中，是斜边上的高，求证：. （2）已知是平面上的一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，求证：. 【变式2】已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数k的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．关于向量，下列说法正确的有（ ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 2．已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 3．已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当取最小值时， 4．已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏·期中）在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. (1)若在中，，求常数的值； (2)求证：； (3)若，试判断的形状，并说明理由. 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面向量的概念辨析 题型02 判定相等向量与共线向量 题型03 平面向量的加减运算 题型04 向量加减法运算律的应用 题型05 向量加减法的实际应用 题型06 平面向量的数乘运算 题型07 平面向量的数量积 题型08 向量的模和夹角的计算问题 题型09 与垂直有关的问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的基本概念 1、能准确区分向量与数量的区别； 2、能清晰判断零向量、单位向量、相等向量、相反向量的特征； 3、能正确理解共线向量（平行向量）的定义，区分共线与重合的关系 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低； 易错点：混淆零向量的方向、共线向量与相等向量的关系；忽略单位向量的方向不唯一 平面向量的运算 三角形法则、平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘的几何意义（伸缩与反向）；平面向量运算后模的几何意义。 基础题型，高频考点，与共线、三点共线结合紧密，是基底表示的基础 平面向量的数量积 熟练掌握数量积的两种计算方法；能求向量的夹角与投影；会用数量积证明垂直；处理最值问题 每年必考，是平面向量模块的核心，选择填空多考查夹角、模长。 知识点01 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。 易错点：向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点02 向量的表示法 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 示例：向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 易错点：用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点03 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 易错点：（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 易错点：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 易错点：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点04 向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 易错点：（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． （3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 知识点05 平面向量的运算 1、 平面向量的加法运算 三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线） 2、 平面向量的减法运算 三角形法则（共起点） 3、 平面向量加减法运算律 （1）交换律： （2）结合律： 易错点：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 4、 平面向量的数乘运算 （1）定义：实数与平面向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． （2）运算律：分配律：；结合律：． 知识点06 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 易错点：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 知识点07 平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点08 向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点09 向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 易错点：（1）已知实数、、（），则．但是； （2）在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型一 平面向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧 对概念进行理解： 1、 区别向量与数量的关键点是向量有方向，所以向量是不能比较大小的。但是可以判断相等。 2、 向量是自由向量，可以自由移动，向量可以用有项线段来表示但是不能说有向线段是向量。 3、 对特殊向量的认识，0向量也是向量，它的方向是任意的。单位向量是长度为1的，但是方向是不确定的，所以不是所有的单位向量都相等。 4、对非零向量之间，平行是具有传递性的，若,则相等向量具有传递性。 5、零向量比较特殊，规定它与任意向量都是平行的，所有这导致并不是所有的平行向量都具有传递性。 6、单位向量只有方向相同的时候才能相等。模相等是向量相等的必要条件，模相等且方向相同时向量相等的充要条件。 6、共线向量不一定是相等向量，但是相等向量一定是共线向量。 易｜错｜点｜拨 1、向量不能比较大小，但能判断是否相等。 2、向量的方向任意，注意与0的区别 3、向量是有大小跟方向，但是可以自由移动，没有起点跟终点，跟有向线段不一样。 【典例1】下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 【答案】ABC 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 【变式1】下面命题中，正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若//，//，则// D．若，则// 【答案】D 【分析】通过平面向量的基础概念，选出正确的选项. 【详解】A选项，我们规定零向量的方向是任意的，A错误； B选项，向量不能比较大小，B错误； C选项，时得不到，C错误； D选项，时，两者方向相同，大小相等，//，D正确. 【变式2】已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 【答案】 【详解】由,则，所以与向量方向相反的单位向量是 题型二 判定相等向量与共线向量 解｜题｜技｜巧 相等向量与共线向量的探求方法 1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【典例1】下列选项中，正确的是（   ） A．若向量，满足，则或 B．若非零向量与相等，则B，C重合 C．在平行四边形ABCD中， D．若与是共线向量，且，则 【答案】BC 【详解】对于A，向量满足，只说明向量的长度相等，而它们的方向是任意的， 因此向量不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误； 对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点重合，B正确； 对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确； 对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误. 【变式1】已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 【变式2】已知向量，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则显然，若，则，因此由“或”可以推出“”，充分性成立； 若，只能说明两个向量的模相等，但方向可以任意.因此由“”不能推出“或”，必要性不成立. 综上所述，“或”是“”的充分不必要条件. 题型三 平面向量的加减运算 答｜题｜模｜板 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 易｜错｜点｜拨 求作两个向量的差向量的两种思路 1、可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可． 2、可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 【典例1】化简后等于（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】. 【变式1】在平行四边形ABCD中，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量加减法的运算法则求解即可. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 则，， 所以. 【变式2】在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平行四边形中，，,所以. 题型四 向量加减法运算律的应用 答｜题｜模｜板 1、向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 2、向量减法运算律的意义和应用原则 （1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【典例1】设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得. 【变式1】化简______. 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 【变式2】已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【分析】根据向量共线的特征进行求解. 【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则， 当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有. 当与同向时有，反之也成立； 当与反向时有，，反之也成立. 故选:ABD. 题型五 向量加减法的实际应用 答｜题｜模｜板 应用向量解决实际问题的基本步骤 1、表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． 2、运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． 3、还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【典例1】如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 【变式1】如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 【变式2】向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加减法则可得. 【详解】. 故选：A. 题型六 平面向量的数乘运算 答｜题｜模｜板 数乘运算 表示将向量伸缩变换： 当 时，方向不变，长度变为原来的 倍 当 时，方向相反，长度变为原来的倍 当 时，结果为零向量 核心：数乘本质是向量的缩放与反向，不改变向量的方向线（共线性）。 【典例1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 【变式1】已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 【变式2】下列运算正确的是（    ） A．· B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：因，是零向量，而不是，C错误； 选项D：，D正确. 题型七 平面向量的数量积 答｜题｜模｜板 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【典例1】已知向量满足，则在方向上的数量投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在方向上的数量投影计算即可. 【详解】由，得，即， 从而，代入数据得，可得， 从而在方向上的数量投影是 【变式1】已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先通过向量线性变换将，用、表示，再结合数量积运算和夹角公式得到关于的不等式，最后求解不等式得出的取值范围. 【详解】记，， 则，， 因为， 所以， 所以， 设向量，的夹角为， 因为， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 【变式2】在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，， 当时，， 所以当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 题型八 向量的模和夹角的计算问题 答｜题｜模｜板 1、求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． 2、求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【典例1】已知平面向量，，且 (1)若向量与向量共线，求的值； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线定理求解即可. （2）利用向量数量积的运算律及向量的模计算即可. （3）利用两向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由向量与向量共线，得， 所以，解得，故向量与向量共线时的值为. （2）由，得， 即，所以. 所以. （3）. . 设向量与夹角为，则. 【变式1】已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的定义求出，由代入数值得到； （2）由代入数值得到，由代入数值得到，利用向量的数量积公式得到，代入数值得到所求. 【详解】（1），，且与夹角为，， ； （2）， ， . 【变式2】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 题型九 与垂直有关的问题 答｜题｜模｜板 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【典例1】已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义，先求，再结合平面向量数量积的运算法则求值. （2）转化为，再结合平面向量数量积的运算法则求值. 【详解】（1）因为，且与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 即. 【变式1】（1）如图，在中，是斜边上的高，求证：. （2）已知是平面上的一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）先求，，再结合得到，即可证明结论. （2）先表示出，再求的值即可. 【详解】（1）因为 因为 由题图可知，所以 故. （2）因为 所以 所以 . 所以. 【变式2】已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 即，则， 所以，则， 又，则. （2）由，得， 则， 即，解得. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．关于向量，下列说法正确的有（ ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的概念，零向量的定义，以及向量的夹角，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，等边的角均为，则与的夹角为，故C正确； 对于D，向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，所以D错误. 2．已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律有对任意实数恒成立，再由判别式符号及数量积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围. 【详解】由是单位向量，恒成立得， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则，又， 函数在上单调递减，因此， 所以向量的夹角的取值范围为. 3．已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【分析】由恒成立，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出的值.利用向量的模长公式可以判断A；向量垂直的充要条件可以判断B；向量投影向量公式可以判断C；结合绝对值的几何意义，建立平面直角坐标系可以判断D. 【详解】由得：，. 对任意，恒成立，两边平方得： ， 代入，整理得关于的二次不等式： 由对任意实数不等式恒成立，可得： 所以，故A正确； ，则，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图所示， 关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值，此时， 所以当取最小值时，，D正确. 4．已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 【答案】A 【分析】根据垂直关系，可得的值，根据数量积公式，可得，对所求平方，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏·期中）在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. (1)若在中，，求常数的值； (2)求证：； (3)若，试判断的形状，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题设数据先得到，再结合“莱莫恩点”的定义求解即可； （2）结合（1）可得，延长交于点，进而得到，，进而求证即可； （3）由结合（2）可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 连接，将分割为， 根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为. 所以 . 代入已知数据，得，故. （2）由（1）可知，点到三边的距离分别为， 则. 如图，延长交于点，根据面积法可知， 所以. 另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以. 所以. （3）为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由可知， 由（2）知，所以， 展开得， 又因为，所以. 因为，所以有以下两种情况： 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形. 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可. 【详解】如图，取边的中点，连接和，设与交于点， 则由正八边形的性质易得为的中点， 则， 当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值， 因为正八边形的边长为2，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 又， 所以， 所以的最大值为. 34．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件并根据平面向量的模以及数量积公式化简可得，利用可得，分别解不等式并取交集即可得出结论. 【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ， 若 ， ∵ 存在θ使得 成立， 整理可得 ，即（其中不能为2） ，则， 移项并化简可得 由解得，由 解得 综上所述，所以λ的取值范围为 ． 故选：C 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $