专题02 平面向量基本定理及坐标表示、向量的应用（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题02 平面向量基本定理及坐标表示、向量的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 用基底表示向量 题型02 平面向量的坐标表示 题型03 向量共线的判定 题型04 利用向量共线的坐标表示求参数 题型05 定比分点坐标公式及应用 题型06 利用向量证明平面几何问题 题型07 利用向量解决平面几何求值问题 题型08 向量在物理中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量基本定理及坐标表示 1、理解平面向量基本定理，掌握坐标运算，能用基底分解向量并借助坐标解题。2、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算； 3、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、坐标运算及共线参数求解； 易错点：记错共线向量坐标公式；基底选择不当导致运算繁琐；忽略向量坐标与点坐标的区别 平面向量在平面几何中的应用 1、能运用向量方法判断平面几何中的平行、垂直关系； 2、能运用向量运算求平面图形中线段的长度、角的大小； 3、掌握向量法解决平面几何问题的“三步曲”（化几何量为向量→进行向量运算→还原几何结论） 中档难度考点，多以大题形式考查，偶尔结合小题； 命题趋势：侧重考查向量的工具性，淡化繁难运算，突出“多想少算”，常与三角形、平行四边形结合； 易错点：无法将几何问题转化为向量问题；向量运算失误导致几何结论错误 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． （1）其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； （2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． （3）当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 易错点：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 知识点02 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 易错点：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 知识点03 平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 易错点：若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识点04 向量在几何中的应用 1、证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 2、证明垂直问题，常用垂直的充要条件 3、求夹角问题，利用 4、求线段的长度，可以利用或 题型一 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧 平面向量基本定理的作用以及注意点 1、根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． 2、基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【典例1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，为中点，，设与交于点，则_____． 【答案】/ 【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解. 【详解】因为， 所以， 由三点共线，可设， 所以. 又三点共线，所以， 又、不共线，所以，解得， 所以，又， ， 所以，即. 故答案为： 【变式1】如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】/0.125 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可． 【详解】，又，所以， 因为， 所以， 所以，所以，即． 故选：A 题型二 平面向量的坐标表示 解｜题｜技｜巧 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【典例1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 【变式1】根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 【变式2】如图所示，在正方形中，E，F分别是AB，BC的中点. (1)求证：； (2)若点E位置不变，点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示推理作答. （2）利用（1）中坐标系，再利用向量夹角的坐标表示求解作答. 【详解】（1）在正方形中，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 令，则，的中点，的中点， 即有，因此，即， 所以. （2）如图，由（1）知，， 而点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，则，， 于是， 所以与夹角的余弦值是. 题型三 向量共线的判定 答｜题｜模｜板 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 【典例1】已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 【答案】AD 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD. 【详解】对于A，任意实数，，则，A正确； 对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误； 对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误； 对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确. 故选：AD 【变式1】已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 【变式2】下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不共线的向量可以作为基底即可逐项判断． 【详解】A选项：，∴不共线，可以作为基底； B选项：，∴不共线，可以作为基底； C选项：，∴不共线，可以作为基底； D选项：，∴共线，不能作为基底； 故选：ABC． 题型四 利用向量共线的坐标表示求参数 答｜题｜模｜板 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1、利用向量共线定理列方程组求解． 2、利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 【典例1】已知，，若，则（   ） A．-1 B．-7 C．1 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得. 【变式1】已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算及向量的共线结论可得. 【详解】因为，，所以，， 由，所以，解得． 【变式2】已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 题型五 定比分点坐标公式及应用 答｜题｜模｜板 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【典例1】已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果. 【详解】设的中点坐标是， 由三点共线可知，即，解得； 所以中点坐标为. 故选：B 【变式1】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 【变式2】已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 题型六 利用向量证明平面几何问题 答｜题｜模｜板 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 （1）利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化． （2）利用坐标运算证明的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化． 【典例1】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 【变式1】如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，，，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确. 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，， 所以 所以，故B不正确； 对于C，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，，故D不正确. 故选：AC. 题型七 利用向量解决平面几何求值问题 答｜题｜模｜板 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【典例1】已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 【变式1】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 【变式2】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 题型八 向量在物理中的应用 答｜题｜模｜板 用向量解决物理问题的一般步骤 1、问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． 2、模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． 3、参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． 4、问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 【典例1】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【答案】D 【分析】设每根绳子上的拉力大小为，根据平衡条件列式求解即可． 【详解】设每根绳子上的拉力大小为， 则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 【变式1】如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得. 【详解】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以， 所以. 故选：D 【变式2】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为． 故选：A． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合数量积的运算律，利用向量垂直条件逐项判断即可. 【详解】A选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； B选项， 当不与垂直时，该结果就不等于0，错误； C选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； D选项，因此这两个向量垂直，正确． 2．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 3．已知向量，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或3 D．若，则与的夹角为 【答案】BCD 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】A：若，则，解得，故A错误；   B：若，则，解得，故B正确；   C：，令，解得或，故C正确； D：若，，， 则， 因为，所以，故D正确. 4．已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算判断AD，根据共线向量得三点共线判断BC． 【详解】由题意， 所以，A错误； 因为，，所以， 所以三点共线，B正确； 又，而，所以不共线，从而三点不共线，C错； ，D错误， 故选：B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 2．已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 3．已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量基本定理及坐标表示、向量的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 用基底表示向量 题型02 平面向量的坐标表示 题型03 向量共线的判定 题型04 利用向量共线的坐标表示求参数 题型05 定比分点坐标公式及应用 题型06 利用向量证明平面几何问题 题型07 利用向量解决平面几何求值问题 题型08 向量在物理中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量基本定理及坐标表示 1、理解平面向量基本定理，掌握坐标运算，能用基底分解向量并借助坐标解题。 2、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算； 3、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、坐标运算及共线参数求解； 易错点：记错共线向量坐标公式；基底选择不当导致运算繁琐；忽略向量坐标与点坐标的区别 平面向量在平面几何中的应用 1、能运用向量方法判断平面几何中的平行、垂直关系； 2、能运用向量运算求平面图形中线段的长度、角的大小； 3、掌握向量法解决平面几何问题的“三步曲”（化几何量为向量→进行向量运算→还原几何结论） 中档难度考点，多以大题形式考查，偶尔结合小题； 命题趋势：侧重考查向量的工具性，淡化繁难运算，突出“多想少算”，常与三角形、平行四边形结合； 易错点：无法将几何问题转化为向量问题；向量运算失误导致几何结论错误 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． （1）其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； （2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． （3）当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 易错点：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 知识点02 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 易错点：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 知识点03 平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 易错点：若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识点04 向量在几何中的应用 1、证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 2、证明垂直问题，常用垂直的充要条件 3、求夹角问题，利用 4、求线段的长度，可以利用或 题型一 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧 平面向量基本定理的作用以及注意点 1、根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． 2、基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【典例1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，为中点，，设与交于点，则_____． 【变式1】如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【变式2】（24-25高一下·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 题型二 平面向量的坐标表示 解｜题｜技｜巧 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【典例1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，在正方形中，E，F分别是AB，BC的中点. (1)求证：； (2)若点E位置不变，点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，求与夹角的余弦值. 题型三 向量共线的判定 答｜题｜模｜板 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 【典例1】已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 【变式1】已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【变式2】下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 题型四 利用向量共线的坐标表示求参数 答｜题｜模｜板 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1、利用向量共线定理列方程组求解． 2、利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 【典例1】已知，，若，则（   ） A．-1 B．-7 C．1 D．7 【变式1】已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 定比分点坐标公式及应用 答｜题｜模｜板 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【典例1】已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 题型六 利用向量证明平面几何问题 答｜题｜模｜板 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 （1）利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化． （2）利用坐标运算证明的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化． 【典例1】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【变式1】如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．    【变式2】在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，，，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 题型七 利用向量解决平面几何求值问题 答｜题｜模｜板 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【典例1】已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 题型八 向量在物理中的应用 答｜题｜模｜板 用向量解决物理问题的一般步骤 1、问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． 2、模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． 3、参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． 4、问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 【典例1】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【变式1】如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【变式2】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 3．已知向量，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或3 D．若，则与的夹角为 4．已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 2．已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 3．已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $