专题02 三角恒等变换（期中复习知识清单）高一数学下学期苏教版

专题02 三角恒等变换 知识点1 两角和与差公式的正用 1、两角和的余弦公式： 2、两角差的余弦公式： 3、两角和的正弦公式： 4、两角差的正弦公式： 5、两角和的正切公式：. 6、两角差的正切公式：. 知识点2 两角和与差公式的逆用 在两角和与差的公式中，，可以是 角，也可以是 ，在运用公式时长将两角的和或差视为一个整体。除此之外，常常结合诱导公式进行化简。 知识点3 二倍角公式的正用 1、二倍角的正弦（）：；变形 2、二倍角的余弦（）：. 3、二倍角的正切（）： 知识点4 二倍角公式的逆用 升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点5 积化和差与和差化积 1、积化和差公式 2、和差化积公式 、 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是 方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式， 如 知识点6 半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 3、利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的 ，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围； （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。 （4）下结论，结合（2）求值。 知识点7 三角恒等变换给角求值 给角求值问题，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式。 知识点8 三角恒等变换给值求值 “给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 知识点9 三角恒等变换给值求角 三角函数给值求角问题实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选 皆可； 若角的范围是，选 较好； 若角的范围是，选 较好. 知识点10 辅助角公式综合应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 两角和与差的余弦公式 【例1】已知锐角，满足，，则___________． 【变式1】已知，且，，则值是______． 【变式2】已知，，则______，若，，则______． 两角和与差的正弦公式 【例1】若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（   ） A． B． C． D．1 两角和与差的正切公式 【例1】已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2】化简： (1)； (2)． 二倍角的正弦公式 【例1】（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则（   ） A． B．2 C． D．-2 【变式2】已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二倍角的余弦公式 【例1】若为钝角，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，.则__________. 二倍角的正切公式 【例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2】下列各式计算结果为1的是（   ） A． B． C． D． 降幂公式及其应用 【例1】以正方形的边长为底，向外作4个等腰三角形，腰长为2，则该图的面积最大为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且满足，则，则______． 【变式2】已知，则__________. 辅助角公式 【例1】已知函数的最大值为2，则______. 【变式1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 三角恒等变换的化简求值问题 【例1】已知向量，，． (1)若，求． (2)记． ①求的值域； ②求的单调递增区间． 【变式1】已知函数（），. (1)求； (2)设函数， ①求函数在的最大值和最小值 ②求函数的单调递减区间. 【变式2】已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 半角公式及万能公式 【例1】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知sin α＝－，且180°<α<270°，则下列结论正确的是（    ） A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 【变式2】已知，，则（    ）（是的半角） A． B． C． D． 给角求值 【例1】（1）求的值； （2）若，求的值； （3）已知，求的值. 【变式1】下列各式中值为1的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则___________. 给值求角 【例1】已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为锐角，且，则角等于__________. 【变式2】已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 给值求值 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则___________． 利用三角形恒等变换判断三角形的形状 【例1】在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定 【变式1】若满足条件，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【变式2】在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 积化和差与和差化积 【例1】求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【变式1】已知，，求的值． 【变式2】在中，求证：． 恒等式证明 【例1】已知，求证：． 【变式1】已知，求证：. 【变式2】求证： ． 易错点1 两角和与差的余弦公式应用错误（弄混了中间连接号） 【例1】.( ) 【变式1】（   ） A． B． C． D． 【变式2】（   ） A． B． C． D． 易错点2 辅助角公式化简错误 【例1】已知，则 . 【变式1】若，，则 . 【变式2】当函数取得最大值时， ． 易错点3 求角时忽略了角的范围　 【例1】已知. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【变式1】已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【变式2】已知函数， (1)求函数的单调递增区间； (2)求在上的最小值和最大值及相应自变量x的值. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 知识点1 两角和与差公式的正用 1、两角和的余弦公式： 2、两角差的余弦公式： 3、两角和的正弦公式： 4、两角差的正弦公式： 5、两角和的正切公式：. 6、两角差的正切公式：. 知识点2 两角和与差公式的逆用 在两角和与差的公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的和或差视为一个整体。除此之外，常常结合诱导公式进行化简。 知识点3 二倍角公式的正用 1、二倍角的正弦（）：；变形 2、二倍角的余弦（）：. 3、二倍角的正切（）： 知识点4 二倍角公式的逆用 升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点5 积化和差与和差化积 1、积化和差公式 2、和差化积公式 、 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式， 如 知识点6 半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 3、利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围； （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。 （4）下结论，结合（2）求值。 知识点7 三角恒等变换给角求值 给角求值问题，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式。 知识点8 三角恒等变换给值求值 “给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 知识点9 三角恒等变换给值求角 三角函数给值求角问题实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好； 若角的范围是，选正弦较好. 知识点10 辅助角公式综合应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 两角和与差的余弦公式 【例1】已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 【变式1】已知，且，，则值是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的余弦公式求解即得. 【详解】由，，则，，； 根据，所以， 因此. 又因为，则，， 所以. 【变式2】已知，，则______，若，，则______． 【答案】 / /0.625 【分析】根据两角和与差的余弦公式求出，，利用同角三角函数关系即可求出；对已知条件平方，结合同角三角函数关系及两角和与差的余弦公式即可求出. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 已知，， 所以，， 所以， 即，所以. 所以. 两角和与差的正弦公式 【例1】若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角公式可得，再结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】因为，且是第四象限角，则， 所以. 【变式1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以. 【变式2】（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】逆用两角和的正弦公式计算. 【详解】. 故选：B． 两角和与差的正切公式 【例1】已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 【变式1】已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 又为锐角，，则. （2）由题意知： . 【变式2】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由两角和的正切公式，可得. （2）解：由， 可得， 所以 ． 二倍角的正弦公式 【例1】（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 【变式1】已知，，则（   ） A． B．2 C． D．-2 【答案】D 【详解】由 ，，得 . . . 【变式2】已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，，得，，则，故A正确； 由，两边平方可得，， 则，故B正确； ，，， 则， ，故C错误； 联立，解得，则； ，故D正确． 二倍角的余弦公式 【例1】若为钝角，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，故， 而为钝角，故为锐角，故. 【变式1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由二倍角余弦公式可知， 即. 【变式2】已知，.则__________. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的性质和基本不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 二倍角的正切公式 【例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 【变式1】已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式求出，再利用同角三角函数的关系求出； （2）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式求出的值. 【详解】（1）因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 则， 因为，所以， 因为，所以. 【变式2】下列各式计算结果为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式和两角和的正切即可求出. 【详解】， ， ， ，， . 故选：BD. 降幂公式及其应用 【例1】以正方形的边长为底，向外作4个等腰三角形，腰长为2，则该图的面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设题设中的等腰三角形底角为，利用的正、余弦表示出图形的面积，再借助三角变换即可计算得解. 【详解】如图，是正方形，是等腰三角形，它们的底边为正方形相应的边，腰长均为2， 设等腰的底角，，则有等腰底边上的高为，底边， 于是得图形面积， 因，即，则当，即时，取最大值1，， 所以该图的面积最大为. 故选：C 【变式1】已知，且满足，则，则______． 【答案】/ 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 【变式2】已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 辅助角公式 【例1】已知函数的最大值为2，则______. 【答案】 【分析】根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解. 【详解】， 其中，，， 所以，，得. 【变式1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角公式，辅助角公式，正切的两角和公式求解即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 【变式2】已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据零点，可得a值，结合辅助角公式，可得解析式，根据平移变换的原则，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以， 则为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度. 三角恒等变换的化简求值问题 【例1】已知向量，，． (1)若，求． (2)记． ①求的值域； ②求的单调递增区间． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由向量平行的坐标表示列方程，结合三角恒等变换化简求得，再应用二倍角正切公式求值； （2）①由向量数量积的坐标表示及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质求值域；②由正弦函数的性质求单调增区间. 【详解】（1）由题设，可得，则， 又，则， 由； （2）由， ①由，得， 所以，则； ②令，，则，， 而，则，所以的递增区间为. 【变式1】已知函数（），. (1)求； (2)设函数， ①求函数在的最大值和最小值 ②求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2)①最大值，最小值；②， 【分析】（1）根据余弦函数值求出. （2）①先根据和差的余弦公式化简，然后求出余弦函数的最值 ②根据余弦函数的单调性的性质求的单调递减区间. 【详解】（1），， （2）①， ，， 当时，即时， 当时，即时， ②， 的单调递减区间为，. 【变式2】已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性求解. （2）（i）分析函数在上的性质，结合函数图象与直线交点个数求出范围；（ii）求出的值及的范围即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递减区间为. （2）（i）由，得，则当时，函数单调递增， 函数值从增大到，当时，函数单调递减，函数值从减小到， 方程在上有两个不同的实根， 即直线与函数在上的图象有两个交点，则， 所以的取值范围是. （ii）由（i）知，，因此， 所以的取值范围是. 半角公式及万能公式 【例1】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得． 【详解】由已知，，则， 又，，，， 即，， 所以. 故选：B． 【变式1】（多选）已知sin α＝－，且180°<α<270°，则下列结论正确的是（    ） A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 【答案】BCD 【详解】 因为180°<α<270°，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－)×(－)＝，故A错误；因为90°<<135°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，则tan＝＝－2.故选BCD. 【变式2】已知，，则（    ）（是的半角） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用半角公式求解即可 【详解】∵，∴， ∴． 故选：A 给角求值 【例1】（1）求的值； （2）若，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2）（3） 【分析】利用诱导公式和三角恒等变换分析运算. 【详解】（1）原式 ， 故. （2）原式， ∵，则. （3）∵， ∵，则， 可得，则， 且 故. 【变式1】下列各式中值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由三角恒等变换逐一判断即可. 【详解】A：，符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意 故选：AC 【变式2】若，则___________. 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 给值求角 【例1】已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【变式1】已知为锐角，且，则角等于__________. 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 【变式2】已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 给值求值 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换元法以及倍角公式求解即可. 【详解】令，则，所以. 则. 【变式1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法表示，再 由二倍角公式计算可得. 【详解】令，，， ， 由题可知，， 所以. 故选：C. 【变式2】已知，则___________． 【答案】 【分析】先讨论的情况，结合同角三角函数的平方关系排除矛盾，再运用同角三角函数的基本关系（切弦互化），并根据两角差的正切公式化简，最后代入求解即可. 【详解】由题意得，即， （若 ，则 ，与 矛盾，故 .） 所以两边同除以 ：， 所以，即 ， 又因为， 代入 和 ： 所以. 故答案为：. 利用三角形恒等变换判断三角形的形状 【例1】在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定 【答案】A 【分析】三角形的内角和为，利用诱导公式可知，与已知联立，利用两角和与差的正弦即可判断的形状； 【详解】解：在中，， ， 即， ， ， ． 一定是等腰三角形． 故选：． 【变式1】若满足条件，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式解题即可. 【详解】因为，且不能同为负数， 所以，故为锐角， 又在三角形中， 又因为，所以， 故为锐角.所以为锐角三角形. 故选：A. 【点评】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 【变式2】在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】直接利用两角和的正弦公式化简求解，即可判断三角形的形状． 【详解】由， 可得， 即， 可得，， 三角形是直角三角形． 故选：． 积化和差与和差化积 【例1】求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【变式1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】利用和差化积公式求解. 【详解】，， ，， 两式相除得． 【变式2】在中，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由诱导公式、和差化积、积化和差公式及二倍角公式即可得证. 【详解】证明：由，得， 即，所以， 又， 所以 ． 综上所述，. 恒等式证明 【例1】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【详解】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 【变式1】已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用差角的正切公式、二倍角的正余弦公式、弦化切化简等式两边，由此可证得结论成立. 【详解】左边， 右边， 因此，. 【变式2】求证： ． 【答案】证明见解析. 【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边. 【详解】证明：因. 则， . 故左边 右边. 易错点1 两角和与差的余弦公式应用错误（弄混了中间连接号） 【例1】.( ) 【答案】正确 【分析】利用两角差的余弦公式判断即可. 【详解】，所以正确；（易错点） 学生极易记混符号，出现「和差不分」的概念性错误，是该题型最高频的丢分点。 故答案为：正确 【变式1】（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 【变式2】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】. 故选:D 易错点2 辅助角公式化简错误 【例1】已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【详解】， ∴，则，故，（易错点） 对辅助角公式的结构、系数与特殊角三角函数的对应关系掌握不牢，属于公式熟练度不足的高频丢分点。， 故答案为： 【变式1】若，，则 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式求出，再利用特殊角的三角函数求解即可. 【详解】若，则，即， 而，故，可得，解得， 故得， 故答案为： 【变式2】当函数取得最大值时， ． 【答案】 【分析】便于求最大值的三角函数式是，利用辅助角公式将函数转化为所需要的形式，进而就可以求得最大值及取得最大值时的值. 【详解】， 又，， 当，即时，. 故答案为：. 易错点3 求角时忽略了角的范围　 【例1】已知. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)（）； (2) 【分析】（1）由，再利用正弦函数的性质求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：，（易错点） 辅助角公式应用错误，将2sin(2x-)-1的系数或角度配错。 由（）得， ∴的单调减区间为（）； （2）由题意得， ∵，∴，（易错点） 题中忽略2x的范围，会导致值域计算错误 ∴， ∴在上的值域为. 【变式1】已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求出其周期. （2）由指定区间求出相位的范围，再利用正弦函数性质求出值域. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期 （2）当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 因此函数在上递增，在上递减，， 而，，则， 所以的值域为. 【变式2】已知函数， (1)求函数的单调递增区间； (2)求在上的最小值和最大值及相应自变量x的值. 【答案】(1) (2)时，取得最小值；时，取得最大值. 【分析】（1）先化简，再求解，即可； （2）根据的范围，确定的范围，将看成整体，结合的单调性、最值求解即可. 【详解】（1）， ， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，即时，取得最小值， 当时，即时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $