专题03 解三角形（期中复习知识清单）高一数学下学期苏教版

专题03 解三角形 知识点1 余弦定理解三角形 1、类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 2、类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点2 正弦定理解三角形 已知两角及一边解三角形 方法概要：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； ②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； ③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 知识点3 三角形解的个数判断 方法点拨：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 知识点4 三角形的面积问题 方法点拨：常用的三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） （4） 知识点5 三角形的外接圆问题 方法点拨：利用正弦定理： 可求解三角形外接圆的半径。 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。 知识点6 用正余弦定理判断三角形的形状 方法点拨：根据已知条件（通常是含有三角形的边和角的等式或不等式）判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系。一般有以下两种途径：将已知条件统一化乘边的关系，用 求解；将已知条件统一化成角的关系，用 求解。 知识点7 三角形中的最值范围问题 方法点拨：1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 知识点8 测量距离问题 方法点拨：测量距离问题解决办法 1、两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. 2、两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 3、两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 知识点9 测量角度问题 方法点拨：测量角度问题三个注意事项 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 知识点10 测量高度问题 方法点拨：测量高度问题三个注意事项 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 余弦定理解三角形 【例1】已知在中，，则等于______． 【变式1】在中，内角的对边分别是，若， (1)求边， (2)求． 【变式2】在中角所对的边分别是，若，则边（    ） A． B． C． D． 正弦定理解三角形 【例1】已知分别为的三个内角的对边，若，则角（    ） A．或 B． C． D． 【变式1】如图，圆内接四边形中，， (1)若，求和四边形的面积. (2)若，当四边形面积最大时，求长. 【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 三角形的面积问题 【例1】如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【变式1】在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 【变式2】已知，，分别为三个内角，，的对边． (1)若，，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围． 判断三角形的形状 【例1】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【变式1】在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 【变式2】在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 三角形解的个数问题 【例1】在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【变式1】已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【变式2】在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是_________. 三角形中边长、周长的最值或范围问题 【例1】在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围 (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 【变式1】已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【变式2】在三角形中，角所对的边分别为，且 (1)求的大小； (2)若三角形的面积，求最大值． 三角形中面积的最值或范围问题 【例1】已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 【变式2】三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求面积的最大值. 测量距离问题 【例1】如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【变式2】甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 测量高度问题 【例1】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】为了测量某建筑物的高度，选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得该建筑物顶部的仰角为，则该建筑物的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 测量角度问题 【例1】如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【变式1】重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【变式2】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【详解】 正余弦定理边角互化的应用 【例1】在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2】已知在△ABC中，，则等于（   ） A． B． C． D． 正余弦定理与三角函数性质的综合应用 【例1】在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【变式2】已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 易错点1 三角形中漏解 【例1】在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式1】在中，若，试判断的形状. 【变式2】在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 易错点2 解方程时忽视了而直接将约去 【例1】在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 【变式1】已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【变式2】在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是 ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 知识点1 余弦定理解三角形 1、类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 2、类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点2 正弦定理解三角形 已知两角及一边解三角形 方法概要：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； ②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； ③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 知识点3 三角形解的个数判断 方法点拨：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 知识点4 三角形的面积问题 方法点拨：常用的三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） （4） 知识点5 三角形的外接圆问题 方法点拨：利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。 知识点6 用正余弦定理判断三角形的形状 方法点拨：根据已知条件（通常是含有三角形的边和角的等式或不等式）判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系。一般有以下两种途径：将已知条件统一化乘边的关系，用代数法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解。 知识点7 三角形中的最值范围问题 方法点拨：1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 知识点8 测量距离问题 方法点拨：测量距离问题解决办法 1、两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. 2、两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 3、两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 知识点9 测量角度问题 方法点拨：测量角度问题三个注意事项 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 知识点10 测量高度问题 方法点拨：测量高度问题三个注意事项 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 余弦定理解三角形 【例1】已知在中，，则等于______． 【答案】 【分析】根据题意，设，再结合余弦定理求解即可. 【详解】因为在中，， 所以，设， 所以 【变式1】在中，内角的对边分别是，若， (1)求边， (2)求． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据余弦定理求边. （2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求角. 【详解】（1）由余弦定理，， 所以. （2）因为，所以为直角三角形，，. 【变式2】在中角所对的边分别是，若，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 所以. 正弦定理解三角形 【例1】已知分别为的三个内角的对边，若，则角（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 【变式1】如图，圆内接四边形中，， (1)若，求和四边形的面积. (2)若，当四边形面积最大时，求长. 【答案】(1)，四边形的面积， (2)8 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件求出，结合正弦定理求出四边形的外接圆半径，从而可求出，再结合勾股定理和三角形的面积公式可求出四边形的面积； （2）设,利用余弦定理和基本不等式可求得当时四边形面积取得最大值，然后结合余弦定理和正弦定理可求出长. 【详解】（1）圆内接四边形中，， 由余弦定理得. 设圆内接四边形的半径为，由正弦定理得. 因为，所以为圆内接四边形的直径， 所以. 在中，由勾股定理得， 同理，所以四边形的面积为 （2）四边形面积为：， 要使四边形的面积最大，只要最大. 设,由余弦定理得，即， 又，故，，当且仅当时取等号， 此时. 此时，所以为等边三角形，所以， 所以， 在中，，即， 所以， 所以， 所以，. 【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 【答案】(1)； (2)；BC边上的高为． 【分析】（1）根据辅助角公式及条件，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据条件及正弦定理，可得角B，根据诱导公式及两角和的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，可得c值，进而可得BC边上的高 【详解】（1）由题意得，可得， 根据A为三角形的内角，可得， 所以，可得； （2）由正弦定理及，可得， 因为，所以均不为0， 所以，即，所以， 所以 ， 由正弦定理得，则，解得， 所以中，BC边上的高. 三角形的面积问题 【例1】如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求. （2）在和中，分别利用余弦定理，即可求，进而可得. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则， 即， 因为，所以， 所以，即． （2）不妨令，则，设，则． 在中，由余弦定理得， 即．① 在中，由余弦定理得，即．② ①②联立，解得， 所以． 【变式1】在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得，再根据外心性质和角平分线、数量积的运算律得到，最后根据面积的范围可求前者的范围. 【详解】，设，，，则，则， 再由角平分线定理，，则由定比分点性质，， 又为三角形的外心，所以：； 则三角形的面积，其中为三角形的边上的高， 由题意，当在的垂直平分线上时，此时取得最大值， 为圆心到的距离加上半径即， 且三角形为锐角三角形，不能使或为直角或钝角， 时，为直径，此时取得下确界，为圆心到的距离的二倍，即下确界为， 故的取值范围为，则. 【变式2】已知，，分别为三个内角，，的对边． (1)若，，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （2）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）因为的面积为，即，. 由余弦定理得. 解得.所以周长为. （2）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 判断三角形的形状 【例1】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【分析】根据三角形的性质，和正余弦定理，判断三角函数值的大小，三角形的形状，逐一判断各选项正误. 【详解】根据三角形性质，由可知，根据正弦定理可知，可得，所以A正确； 已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，B错误； 根据三角形性质，，当时，可知， 所以为锐角三角形，C正确； 由得， 边角互化得， 由得， 化简得，即，化简得， 解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 故选：AC. 【变式1】在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，有大边对大角结合余弦函数单调性判断即可；对于B，由余弦定理化简得即可判断；对于C，由正弦定理化简得，故只需求得的范围并验算即可；对于D，由正弦定理判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，所以，则为等腰三角形，故B正确； 对于C，， 因为， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以，而， 所以， 由题意直线和的图象有两个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【详解】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 三角形解的个数问题 【例1】在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 【变式1】已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 【变式2】在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】法一：利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】法一：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以， 即，解得，即. 法二：在中，，，如下图所示：    若使得角有两个解，则，即. 故答案为：. 三角形中边长、周长的最值或范围问题 【例1】在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围 (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算； （2）利用正弦定理将用角表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围； （3）设，将所有未知角用表示，再用正弦定理将表示出来进行化简，最后根据的范围求出的最大值. 【详解】（1）选①根据正弦定理可知:， 即，结合，展开化简得， 故，又，所以； 选②根据正弦定理可得: 根据余弦定理可得:，又，所以； 选③根据向量点乘运算可得:， 又，所以. （2）设周长，由余弦定理：， 由基本不等式， 代入得：，解得，当且仅当时等号成立； 又由三角形三边关系，所以，因此周长：； （3）如图，设，则，， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得:可得， ， 是锐角三角形，所以， 所以， 当时，可得的最大值是. 【变式1】已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 【变式2】在三角形中，角所对的边分别为，且 (1)求的大小； (2)若三角形的面积，求最大值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由三角形的面积公式得到，再结合余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理， 可得， 代入已知等式：， 整理得：， 由余弦定理​，代入得：​， 因为，故. （2）三角形面积公式，代入， ​​得：，又， 得， 又 将代入整理得： ​ 由基本不等式，代入得：， ​ 整理得，即，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 三角形中面积的最值或范围问题 【例1】已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，进而得到的表达式，然后根据基本不等式的性质求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据余弦定理得. 所以. 所以面积. 根据基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当时等号成立，此时取最大值为25， 所以面积的最大值为. 故选：C. 【变式1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得到，再根据余弦定理的推论即可解出； （2）根据邻角互补可得，即可由余弦定理化简得到，再结合题干中角化边得到的，消去可得，，然后根据基本不等式求出的范围，即可得到面积的最大值． 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得，， 则，即， 所以， 又，所以， 因为为锐角三角形，所以， 则，又，即， 则，又，解得， 即a的取值范围为. （2）在中，，， ， 在中，，， ， ∵，所以， 所以，即， 由（1）知，，所以， 即（当且仅当时取等号）， 则， 所以面积的最大值． 【变式2】三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）已知， 由正弦定理：， 则，即. 因为，所以， 根据得：. （2）由余弦定理可得：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 测量距离问题 【例1】如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 【变式1】，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 【变式2】甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 【答案】 / 【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，得到，然后在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近， 则， 在中，由余弦定理得， 所以当，即航行时间为小时时，最小，即甲、乙两船相距最近， 最近距离是． 故答案为：；. 测量高度问题 【例1】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 【变式1】为了测量某建筑物的高度，选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得该建筑物顶部的仰角为，则该建筑物的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】首先得，然后由正弦定理得，解直角三角形即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以由正弦定理有，即， 解得， 因为在点处测得该建筑物顶部的仰角为， 所以。 故选：B. 【变式2】某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可. 【详解】由题可得示意图：平面，，，， 设山顶高于海面的距离为， 由题意，， 在中，，， 由余弦定理得， 即，即， 解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面米. 故选：D. 测量角度问题 【例1】如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 【变式1】重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【分析】在中，米，由余弦定理可得米，在中可求的米，由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得米，即可求解. 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 【变式2】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 正余弦定理边角互化的应用 【例1】在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 【变式1】在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 【变式2】已知在△ABC中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由以及正弦定理得， 故设，则. 正余弦定理与三角函数性质的综合应用 【例1】在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用正弦定理将边转化为角可得，然后计算即可； 利用余弦定理可得，然后将边转化为角可得，然后确定角度范围，使用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； （2）结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【点评】本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 【变式2】已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 易错点1 三角形中漏解 【例1】在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦值相等得到或，即可判断. 【详解】由，又，（易错点） 这是该题型最高频的丢分点，很多同学习惯性只写第一种情况，导致漏掉“直角三角形”的解，最终选错选项D。 所以或，为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 【变式1】在中，若，试判断的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 而，则，即， 因此，又A、B是三角形内角，于是或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 【变式2】在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行关系建立等式，再利用正弦定理边化角，结合二倍角公式推理判断即得. 【详解】依题意，在中，，由正弦定理得， 即，而， 则或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 易错点2 解方程时忽视了而直接将约去 【例1】在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，及正弦定理得， 而，则， 于是，则或，而，因此或，（易错点） 不能直接约去含有变量的因式。 所以为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 【变式1】已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 【变式2】在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是 ． 【答案】等腰或直角三角形 【分析】分类讨论或，时，由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式变形可得． 【详解】若，即，则成立， 若，则由得， 所以，， 所以或（舍去）， 所以三角形为直角三角形或等腰三角形． 故答案为：等腰或直角三角形 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $