专题01 平面向量（期中复习知识清单）高一数学下学期苏教版

专题01 平面向量 知识点1 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的字母表示法：如等. 3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点3 向量的相关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点4 向量的共线或平行 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 知识点5 平面向量线性运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋(－b) 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa (2)λ(μa)＝(λμ)a (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点6 向量数量积的定义 1、定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； 2、记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 4、向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； 5、平面向量数量积运算的常用公式 知识点7 向量的模长 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 知识点8 向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角． 2、两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 知识点9 平面向量的垂直问题 两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数。 1、如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数； 2、如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数。 知识点10 平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2} 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基 知识点11 平面向量运算的坐标表示 1、向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1). 2、向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). 3、平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 知识点12 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则 知识点13 线段的定比分点与λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () 1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. 2、点的位置与的范围的关系： （1）当时，与同向共线，这时称点为的内分点； （2）当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 知识点14 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点15 向量在物理中的应用 向量在物理应用中的主要解题思路 1、转化问题：将物理问题转化为数学问题； 2、建立模型：建立以向量为载体的数学模型； 3、求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； 4、回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 平面向量的相关概念 【例1】若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线的条件，从充分性和必要性两方面分别论证即可. 【详解】若，则，共线，所以充分性成立； ，共线可能同向共线、也可能反向共线， 所以，共线得不出，所以必要性不成立． 故选：A． 【点评】本题考查了平行向量（共线向量） 【变式1】下列命题中，正确的是（    ） A．若 ，则 或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由向量、单位向量、零向量、相等向量的定义对选项一一判断，即可得出答案. 【详解】对于A，任何单位向量的模长都相等，但它们不全共线，故A错； 对于B，两个向量的模可以比较大小，但是两向量之间不能比较大小，故B错； 对于C，由知，的方向相同，长度相等，故共线即平行，故C正确； 对于D，0为数量，为向量，向量与数量之间不相等，故D不正确. 故选：C 【点评】本题主要考查平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【变式2】给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确. 【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误； 对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确； 对于③，若,，则；显然正确，故③正确； 对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确, 故选：A 【点评】掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键. 平面向量的加减法运算 【例1】如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可. 【详解】 故选：B 【点评】本题主要考查向量加法的法则、向量减法的法则 【变式1】若两个非零向量满足，则向量与的夹角为_____． 【答案】60°． 【分析】首先根据向量模的几何意义，画图表示，得到，再根据数形结合得到向量与的夹角. 【详解】∵，如图，以，为邻边的平行四边形的对角线相等， 所以此平行四边形是矩形，∴， 如图，，， ， 由题意，， ∴， 即向量与向量的夹角为60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查向量加，减法的几何意义，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 【变式2】已知为三角形内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】设中点为，由题意可知,可得三角形的形状. 【详解】设中点为, 则， 又,\ 所以， 故三角形为等腰三角形， 故选：D 【点评】本题主要考查了向量的加法、减法运算，向量垂直，数量积的性质，属于中档题. 向量的数乘 【例1】设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 【点评】本题主要考查了向量线性运算的几何应用 【变式1】已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，结合图像即可求解. 【详解】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 【变式2】在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 向量数量积的运算 【例1】以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意； 对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确； 对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意. 故选：C． 【变式1】已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积运算及充要条件的定义求解即可. 【详解】因为 方向相同， 所以成立的充要条件是：同向. 故选：B. 【变式2】已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可知点是的外心，由向量的几何意义可得：，再代入可得，运算求解即可. 【详解】由可知点是的外心， 且，则， 因为外心是中垂线的交点，则有：， 即，可得，解得：， 所以. 故选：A． 向量的模 【例1】已知向量与的夹角为，且，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用向量数量积公式求出，再通过计算模长的平方，开方求解； （2）先计算与，再代入向量夹角余弦公式​求解. 【详解】（1）因. 则， 故. （2）因， ， 由 因,则. 故与的夹角为. 【变式1】已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 【变式2】设，满足，，，则____________. 【答案】 【分析】根据条件，利用向量的数量积的运算律，得，再求出，即可求解. 【详解】因为，则，又，，所以， 则，所以. 向量的垂直问题 【例1】（1）如图，在中，是斜边上的高，求证：. （2）已知是平面上的一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）先求，，再结合得到，即可证明结论. （2）先表示出，再求的值即可. 【详解】（1）因为 因为 由题图可知，所以 故. （2）因为 所以 所以 . 所以. 【变式1】已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（    ） A．2 B． C．3 D．0 【答案】C 【分析】先根据向量垂直求出，然后对不等式进行平方化简，根据二次函数的性质得到结果. 【详解】因为非零向量，满足，， 所以，即. 所以. 由于对，恒成立，不等式两边平方得. 化简得，设，， 则不等式变为. 要使得不等式恒成立，则判别式， 化简得，解得，即. 【变式2】已知，，． (1)若，求实数k的值． (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的数量积为0，结合数量积的运算律展开，即可求得k的值； （2）根据向量的模长与数量积的关系，展开化简即可求解 【详解】（1）， ， ． （2）， . 向量的夹角问题 【例1】设单位向量，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以， 所以. 【变式1】下列有关平面向量的说法中正确的是（ ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 【答案】AC 【分析】根据相反向量、向量平行、向量数量积及向量夹角判断即可. 【详解】选项A：根据相反向量定义可知，，所以，故A正确. 选项B：等边中，，与的夹角为， 则，故B错误. 选项C：若，则满足，根据向量平行的判定定理可知，，故C正确. 选项D：，则. 但当时，，此时两向量反向共线，夹角不是钝角，故D错误. 【变式2】已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量垂直性质，根据数量积的运算律列方程求解即可； （2）先利用数量积的运算律求解，利用数量积模的运算求解和，然后代入向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）由，得，则，即，所以，解得； （2）因为与的夹角为， 所以， ， ， 所以， 平方化简得，解得. 由夹角为 可知 ，即 ， 所以. 共线向量定理的应用 【例1】如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证； （3）根据向量的线性运算表示，即可根据向量共线列式计算求解； （4）根据向量的线性运算表示，即可根据向量相等计算求解. 【详解】（1）由题意得， ，，， ； （2）证明：， 与平行，又与有公共点C， C，D，E三点共线； （3）， ． 与共线， 存在实数，使得， 即， 即． ，不共线，．解得； （4），， ， ， 所以，； 【变式1】已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 【变式2】在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 平面向量基本定理的应用 【例1】在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得. 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为，所以,所以为中点， 所以， 所以． 因为，， 所以， 又，所以． 在斜三角形中，，所以，则．所以A正确． 【变式1】已知在中，为AB中点，，，. (1)若，求的长； (2)设和的夹角为，若，求； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)0 (3)点为线段NC的中点. 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）由平面向量数量积的定义求解，用基底表示，通过平面向量数量积的运算性质求解即可； （3）因为点在线段上，设，由共线向量求解即可. 【详解】（1）因为，即， 所以，因为，，， 由平面向量数量积的定义得， 所以 . （2）由平面向量数量积的定义可得， 因为为的中点，则， 所以， 又因为、均为非零向量，故，即，所以. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以， 又，且、不共线， 所以，解得，此时，点为线段的中点. 【变式2】在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可. 【详解】 A、P、E三点共线，设，且， 又，所以，，即． 向量的线性运算 【例1】已知向量，，. (1)若，，求的值； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量坐标运算以及相等向量计算即可得； （2）借助向量垂直可得数量积为0，解出，再结合向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）由题设，所以， 因为，所以，解得，所以； （2）因为，所以， 即，解得，所以， 故． 【变式1】在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 【答案】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设出相关点坐标，利用向量的线性关系与向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，使在轴上，建立平面直角坐标系， 则，，因，可设，， 因为三等分点（靠近点），则， 根据，可得，即， 解得，于是. 【变式2】在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 线段的定比分段 【例1】已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【答案】， 【分析】根据定比分点坐标公式求出点坐标，再根据向量的坐标公式求解即可. 【详解】根据题意可知，点分所成的比分别是，， 设，利用定比分点坐标公式可得，，所以点坐标为， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点的坐标为， 所以，. 【变式1】在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 【变式2】设，则线段 的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和中点坐标公式直接得出结果. 【详解】因为， 所以线段AB的中点坐标为. 故选：A. 由向量线性运算解决最值问题 【例1】已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案. 【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则,设点， 则, 故 ， 故当，即P点坐标为时， 取到最小值为， 故答案为： 【点评】建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值. 【变式1】如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合已知条件，即可容易表达； （2）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出对应向量的坐标，用点横坐标表达，进而根据点横坐标的范围，即可求得结果. 【详解】（1）因为为上靠近的三等分点，故可得， 又//，且，故， 则 . 即. （2）根据题意，因为，故以为坐标原点， 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为点在上运动，故可设其坐标为， 则， 由可得， 则，因为，则， 故. 【变式2】在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围． 【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即. 故选：D. 向量平行的坐标表示 【例1】已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又A、C、D三点共线，所以，所以，解得. 【变式1】平面内三点共线，则__________. 【答案】 【详解】由题可知，， 因为三点共线，所以和共线， 所以，解得. 所以， 故. 【变式2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长公式，解方程可得，进而得到所求向量的坐标； （2）由向量垂直数量积为零的条件求出，代入函数式子化简，利用余弦函数的性质，可得所求函数的最小值. 【详解】（1） ， ，      ① 又         ② 由①②得， 当时，（舍去） 当时， （2）由（1）知， 即 又 的取值范围为. 向量的几何应用 【例1】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【变式1】如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 【变式2】在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 【答案】AB 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确； 对于B，， ，即，则过的垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， ， 则，即， 由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 向量的其他运用 【例1】已知向量满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】解法一：延长到，使得，连接，证明，再根据向量不等式得，再利用向量数量积运算律求出后者的值即可；解法二：求出，再合理将向量坐标化，转化为几何意义求解最值即可. 【详解】解法一：如图，设，延长到，使得，连接， 则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，，，则， 则可设，则， 所以， 该式的几何意义是轴上一点到点的距离之和， ，当点为线段与轴交点时取等号． 故答案为：. 【变式1】直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解. 【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，    则， 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 当在边上运动时，记， 则，所以，则； 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 综上：. 故选：A. 【变式2】2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（    ） A． B．6 C． D．24 【答案】D 【分析】根据题意可建立平面直角坐标系，利用边长写出各点坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，如下图所示： 易知，， 在图②中，取线段上靠近点的三等分点为，如下图所示： 则，即， ，易知，所以， 所以， 所以． 故选：D 易错点1 忽视了零向量 【例1】下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；(易错点） 单位向量是长度为1的向量，且与原向量同向，C选项的恰好满足这两个条件，但部分同学会忽略“同向”这个关键点。 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.(易错点） 零向量的方向是任意的，不是“没有方向”，很多同学会误选D选项，就是因为记错了零向量的定义。 故选：C 【变式2】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】BC 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为1的单位向量，故D正确． 故选：BC． 【变式2】下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 易错点2 忽视了向量数量积运算不满足结合律 【例1】（多选）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】选项A，利用数乘向量的定义知，，即可求解；选项B，由数乘向量及数量积的定义，即可求解；选项C，由数量积的定义即可求解；选项D，利用向量数量积的运算律，即可判断出选项D的正误. 【详解】对于A，因为，故A错误，(易错点） 误将数乘结果的零向量写成数量0， 对于B，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 但与不一定共线，故B错误，(易错点） 将实数的运算律直接套用到向量上，忽略了向量数量积的本质是实数，不满足结合律。 对于C，因为，则，故C正确， 对于D，由数量积的运算知，故D正确. 故选：AB. 【变式1】（多选）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 【变式2】（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【分析】由向量数量积的定义和运算律，对选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确； 对于C，当反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误. 故选：CD. 易错点3 两个向量成锐角（或钝角）忽视排除共线的情况 【例1】与的夹角为锐角，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】若向量与的夹角为锐角， 则且向量与不平行， ，得，(易错点） 数量积大于0是夹角为锐角的必要不充分条件。当两向量方向完全相同时，数量积也大于0，但此时并不满足“锐角”的定义。这一步是该题型最高频的丢分点。 当向量与平行时，，(易错点） 算出平行的参数后，没有快速验证是“同向”还是“反向”。虽然本题 时是反向（数量积为负，不满足>0的前提），但如果题目条件变一下，这一步的验证能力就很关键。 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式1】已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若，求实数； (3)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）利用数量积定义求，结合向量的模的性质和数量积运算律求； （2）根据向量垂直关系列方程，结合数量积运算律化简方程可求； （3）根据数量积性质由条件列不等式求的范围. 【详解】（1）∵， ∴， ∴ （2）∵, ∴ ，得 （3）由已知，且与不共线， 由可得，， 所以， 若与共线，则可得， 所以， 所以由与不共线可得， 所以且， 所以的取值范围为，且. 【变式2】设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 易错点4 忽视了向量求模要开根号 【例1】已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【分析】由计算可得结果. 【详解】由可得 ，(易错点） 对向量数量积的定义掌握不牢，特殊角的三角函数值记忆混淆，属于公式熟练度不足的问题。 所以.(易错点） 混淆了向量模的平方和向量的模的概念，误以为平方运算的结果就是最终模长，忽略了模长公式 故选：A. 【变式1】已知单位向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据，结合题目条件计算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 【变式2】向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合数量积的运算法则求解. 【详解】因为. 因为，所以. 故选：C 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 知识点1 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有 的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的字母表示法：如等. 3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点3 向量的相关概念 1、向量的模：向量的 叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为 的向量叫零向量.记作，它的方向是 的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量： 相等且 相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点4 向量的共线或平行 1、向量共线或平行的定义：方向 的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量 是共线向量，但共线向量 是相等的向量． 知识点5 平面向量线性运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝ (2)结合律：(a＋b)＋c＝ 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋ 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝ (2)λ(μa)＝ (3)λ(a＋b)＝ 知识点6 向量数量积的定义 1、定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； 2、记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为 ； 3、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时， ；当与反向时， ； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 4、向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； 5、平面向量数量积运算的常用公式 知识点7 向量的模长 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 知识点8 向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角． 2、两个向量，的夹角为锐角⇔ 且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔ 且，不共线． 知识点9 平面向量的垂直问题 两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数。 1、如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件 ，列出相应的关系式，进而求解参数； 2、如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件 ，列出相应的关系式，进而求解参数。 知识点10 平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个 的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为 . (2)在正交基下向量的线性表示称为 . (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 知识点11 平面向量运算的坐标表示 1、向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ， a－b＝ ， λa＝ . 2、向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ . 3、平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是 知识点12 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则 知识点13 线段的定比分点与λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () 1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为 ，我们称为点分所成的比. 2、点的位置与的范围的关系： （1）当时，与 ，这时称点为的内分点； （2）当()时，与 ，这时称点为的外分点. 知识点14 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用 表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点15 向量在物理中的应用 向量在物理应用中的主要解题思路 1、转化问题：将物理问题转化为数学问题； 2、建立模型：建立以向量为载体的数学模型； 3、求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； 4、回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 平面向量的相关概念 【例1】若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】下列命题中，正确的是（    ） A．若 ，则 或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 平面向量的加减法运算 【例1】如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若两个非零向量满足，则向量与的夹角为_____． 【变式2】已知为三角形内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 向量的数乘 【例1】设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 向量数量积的运算 【例1】以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 【变式2】已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 向量的模 【例1】已知向量与的夹角为，且，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角. 【变式1】已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】设，满足，，，则____________. 向量的垂直问题 【例1】（1）如图，在中，是斜边上的高，求证：. （2）已知是平面上的一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，求证：. 【变式1】已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（    ） A．2 B． C．3 D．0 【变式2】已知，，． (1)若，求实数k的值． (2)求． 向量的夹角问题 【例1】设单位向量，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列有关平面向量的说法中正确的是（ ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 【变式2】已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 共线向量定理的应用 【例1】如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【变式1】已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 平面向量基本定理的应用 【例1】在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【变式1】已知在中，为AB中点，，，. (1)若，求的长； (2)设和的夹角为，若，求； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【变式2】在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C．3 D．4 向量的线性运算 【例1】已知向量，，. (1)若，，求的值； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【变式1】在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 【变式2】在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 线段的定比分段 【例1】已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【变式1】在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设，则线段 的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 由向量线性运算解决最值问题 【例1】已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 【变式1】如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 【变式2】在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 向量平行的坐标表示 【例1】已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【变式1】平面内三点共线，则__________. 【变式2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求的取值范围． 向量的几何应用 【例1】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【变式1】如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【变式2】在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 向量的其他运用 【例1】已知向量满足，则的最小值为__________． 【变式1】直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（    ） A． B．6 C． D．24 易错点1 忽视了零向量 【例1】下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【变式2】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【变式2】下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 易错点2 忽视了向量数量积运算不满足结合律 【例1】（多选）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则    【变式2】（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 易错点3 两个向量成锐角（或钝角）忽视排除共线的情况 【例1】与的夹角为锐角，的取值范围为 ． 【变式1】已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若，求实数； (3)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【变式2】设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 易错点4 忽视了向量求模要开根号 【例1】已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【变式1】已知单位向量，的夹角为，则 ． 【变式2】向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $