精品解析：江苏省苏州市昆山市昆山市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

教师用卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在中，若，则角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，即， 解得：, 因为，由大角对大边得：A=. 故选：B 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算坐标表示求坐标，根据平行关系列方程求参数即可. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式化简，结合已知条件即可求解. 【详解】 故选：B. 4. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可. 【详解】由题设可得如下示意图，且，即， 由图知：，则，又， 所以，则海里. 故选：A 5. 设是方程的两根，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 6. 已知简谐振动的振幅为，图象上相邻最高点和最低点间的距离是，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，,函数的最小正周期满足, 解得,则该简谐振动的频率为； 又函数图象经过点，则得,解得, 因，则，即该简谐振动的初相为. 7. 已知，，是平面内一点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 8. 已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 二、多选题：本题共3小题，共18分. 9. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则b的取值范围是 D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C正确． 选项D，的平分线交于点D，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ，则， 所以， 对于A，若，则，，故A错误； 对于B，若，则，则为定值，故B正确； 对于C，由可得， 若点在线段上，即三点共线，所以， 即为定值，故C正确； 对于D，若，即，即， 令， 则，其中， 当时，，故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，直线 是曲线的一条对称轴 B. 做，且，则 C. 若在上恰有5个零点，则的取值范围为 D. 存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式将等式化简，转变成的形式，对于选项A，可利用正弦函数的对称轴公式进行判断；对于选项B，可由已知条件判断函数的最小周期进行求解的值；对于选项C，将函数的零点问题转化为正弦函数与直线的交点问题，通过图象确定范围；对于选项D，先求出平移后函数解析式，然后判断奇偶性. 【详解】 对于选项A： 当时，. 对称轴为，解得. 若是对称轴，则 则解得，不是整数，所以选项A错误. 对于选项B： 因为，且，的最大值为，最小值为，说明之间最小间隔是半个周期. ，即，解得，B正确. 对于选项C： 已知，则. 令，则. 因为在上恰有5个零点，则. 解得的取值范围为，C正确. 对于选项D： 的图像向左平移个单位长度后得到. 若是偶函数，则，. 化简得，则. 当时，，所以不存在，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值. 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 设（），则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ， ， 则. 故答案为：. 13. 若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________. 【答案】4 【解析】 【分析】先计算，，，再利用求模公式计算. 【详解】由题意可得， ， ， 则 . 故答案为：4. 14. 已知为的外心，，，则 __________． 【答案】-10 【解析】 【分析】首先利用以及向量数量积的运算律把问题转化为，然后利用外心的性质即可求解. 【详解】 ，  取中点，则，在方向上的投影为， 因此， 同理可得：， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值. 【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：. (Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：， 结合正弦定理可得：， 很明显角C为锐角，故， 故. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）设是边上一点，平分，，求的值； （3）设为边的中点，，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值 （2）由已知得出，结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理得出，再利用余弦定理可得出的值； （3）由余弦定理可得出，结合基本不等式可求出的最大值，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得长的最大值. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 即， 利用余弦定理可知，. 因为，所以. 【小问2详解】 在中，，，所以， 即， 因为为角平分线，所以，所以， 由余弦定理，得，则. 因此. 【小问3详解】 由余弦定理，即， 所以，解得，当且仅当时取等号， 因为为的中点，所以， 所以. ， 所以，当且仅当时取等号，即的最大值为. 18. 若的最大值为1． （1）求常数a的值； （2）若，且，求角； （3）在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据函数的最大值为1列方程可求常数a的值； （2）根据求出，再结合角的范围即可求角的值； （3）由（2）知，原方程通过换元可得，则即或，再根据的范围即可求实数m的取值范围． 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 因为， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 由（2）知，则方程在上两根． 令，则， ， ， 则原方程可化为，整理得 即或， 因关于x的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根， 要使原方程有两个根，则有1个根， 则需，所以， 综上：m的取值范围为或. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，试求函数的相伴向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且时，的值； （3）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，由两角和与差的余弦公式和辅助角公式可化为，再结合相伴向量的定义即可得出答案； （2）由“相伴函数”的定义可得，由此可得，再由同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式求解即可； （3）由可求得时取得最大值，其中，又，换元求得的范围，即可求得的范围． 【小问1详解】 因为 ， 所以，函数的相伴向量. 【小问2详解】 向量的相伴函数， 令，即， ，， ， ． 【小问3详解】 的“相伴函数”， 因为在处取得最大值， 所以当，即时，有最大值， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 令，则， 因为均为上的单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以， 所以，， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 教师用卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在中，若，则角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 5. 设是方程的两根，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知简谐振动的振幅为，图象上相邻最高点和最低点间的距离是，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 7. 已知，，是平面内一点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分. 9. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则b的取值范围是 D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9 10. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，直线 是曲线的一条对称轴 B. 做，且，则 C. 若在上恰有5个零点，则的取值范围为 D. 存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 13. 若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________. 14. 已知为的外心，，，则 __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 16. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）设是边上一点，平分，，求的值； （3）设为边的中点，，求的最大值. 18. 若的最大值为1． （1）求常数a的值； （2）若，且，求角； （3）在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，试求函数的相伴向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且时，的值； （3）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $