13.3 空间图形的表面积和体积（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

13.3 空间图形的表面积和体积 题型一 空间几何体的表面积 1．(24-25高一下·江苏镇江·期末)已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆台的母线长，结合圆台的表面积公式可求得该圆台的表面积. 【详解】取圆台的轴截面，如下图所示： 、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，， 延长、交于点，则是边长为的等边三角形， 因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点， 故，即圆台的母线长为， 因此，该圆台的表面积为. 故选：D. 2．(24-25高一下·江苏苏州工业园区南京航空航天大学苏州附属中学·月考)（多选）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则（   ） A．石凳是十四面体 B．石凳有24条棱 C．石凳的表面积为 D．石凳有24个顶点 【答案】AB 【分析】根据多面体的产生过程可得多面体的面数、棱数、顶点数判断ABD，再由三角形及正方形的面积计算多面体表面积判断C. 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，被截正方体的棱长为，则多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故C错误； 对于D，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故D错误. 故选：AB. 3．(24-25高一下·江苏启东中学·月考)以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为__________. 【答案】 【分析】由题意作图，结合正方体的几何结构，利用等边三角形的面积，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 易知分别为的中点，则， 可得，， 所以等边的面积， 易知正八面体的表面积为八个全等的等边三角形的面积之和，则为. 故答案为：. 4．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·)已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，再结合圆台的表面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：，可得，即， 可得此圆台的表面积是. 故选：C. 5．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 题型一 空间几何体的体积 1．(24-25高一下·江苏南通大学附属中学·) （多选）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下正确的是（    ） A．与所成角为 B．点P为线段的中点 C．三棱锥的体积为 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，连接，得出即为与所成角的平面角即可判断；对于B，连接，证明平面和平面重合即可判断；对于C，利用等体积法求出三棱锥的体积；对于D：先判断出平面截正方体所得截面为正六边形，边长为，即可判断. 【详解】对于A，连接， 因为分别为的中点，所以， 所以即为与所成角的平面角， 在中，，故， 所以与所成角为，故A正确； 对于B，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，平面， 所以平面平面， 而为平面和平面的公共边， 所以平面和平面重合， 所以点即为的交点， 所以点P为线段的中点，故B正确； 对于C：因为平面，所以点到平面的距离相等， 所以，故C错误； 对于D：分别取，，的中点为，连接， 在正方体中，， 所以，所以四点共面， 同理可证：共面， 在棱长为2的正方体中，所以. 同理可求：， 所以平面截正方体所得截面为正六边形，边长为， 面积为，故D正确. 故选：ABD 2．(24-25高一下·江苏南通海门区部分学校·月考)若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 3．(24-25高一下·江苏泰州·期末) （多选）半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ） A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】由题易知两球有唯一公切线即可判断A选项，根据确定的平面与球相切，可得平面，，接着可得到外接圆半径为，利用正弦定理可求得到B选项，就是直线与平面所成角，得到正弦值比较即可判断C选项；由外接圆半径为及，可计算，再得到，然后利用体积公式可算体积. 【详解】 因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确； 设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切， 所以平面，，， 在，，则， ，故B错误； 因为平面，所以就是直线与平面所成角， ，故C正确； 又，所以， 又，所以为直角三角形， 则，， ，故D正确； 故选：ACD. 4．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·期末) （多选）正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，则（    ）   A．直线与直线垂直 B．直线平面 C．三棱锥的体积为9 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ABD 【分析】由平行四边形及正方形的性质可判断A；由面面平行的性质可判断B；由三棱锥的体积公式可判断C；作出截面，即可判断D． 【详解】    对于A，连接，则四边形为平行四边形，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 由四边形为正方形得，所以， 所以，故A正确； 对于B，取的中点，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，，故C错误；    对于D，如图，连接，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以四点共面， 所以平面截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确. 故选：ABD． 5．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期末) （多选）在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（   ） A．对任意的点P，始终有 B．存在某个点P的位置，满足平面平面 C．对任意的点P，始终有平面与平面的交线 D．当二面角为时，四棱锥的体积为 【答案】AC 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理求得平面,即可证明结论；对于B，找出平面与平面所成的二面角，根据题意推导出，再推出B错误；对于C，利用线面平行的判定与性质定理即可证明结论；对于D，求出四棱锥的高即可利用体积公式算出结果即可. 【详解】 对于A：取 的中点F，连接交与O，连接PF，可知点O为的中点， 又因为为的中点，所以，即，同理得到, 又，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：设平面平面，因为平面， 故平面，又平面，则，由选项A知平面， 所以平面，则为平面与平面所成的二面角， 因为，所以不可能为直二面角，故B错误； 对于C：设平面平面，因为平面， 故平面，又平面, 则，故C正确； 对于D： 如图，取的中点，连接交与，连接，可知点为的中点， 又因为为的中点，所以即，同理得到， 又，平面，所以平面， 所以二面角的平面角为, 故，再过点P作平面的垂线交于点H， 在直角三角形中，， ，所以，故D错误； 故选：AC 题型一 外接球的表面积 1．(25-26高一上·江苏启东中学·)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 2．(24-25高一下·江苏宿迁沭阳县·期末)如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，易得，过作交于，则为的中点，过作交于，则为二面角的平面角，求得的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线，过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径得解. 【详解】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以， 所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以， 易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以. 记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 3．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·月考)已知四边形ABCD中，，，，，将沿AC折起，连接BD，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为_____，此时该三棱锥的外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】在平面内计算各个线段的长度，注意到三棱锥体积最大时，平面平面时，可知以为顶点时，点到平面的距离即为点到的高，计算可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积. 【详解】已知四边形中，， ， 易知， 将沿折起，连接，得到三棱锥， 当点到平面的距离最大时，则三棱锥体积最大， 即当平面平面时，三棱锥体积最大， 此时点到平面的距离即为点到的高，是等腰直角三角形， 所以点到的高， 则三棱锥体积的最大值为； 设该三棱锥的外接球的球心为,到平面的距离为， 平面的外接圆的半径为，正弦定理可得， 设求球的半径为,则， 此时该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 4．(25-26高一上·江苏南通如皋创新班·期末)如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 5．(24-25高一下·江苏锡东高级中学·期中)已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 题型二 外接球的体积 1．(24-25高一下·江苏苏州工业园区星海高级中学·月考)已知、、是球的球面上三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，为正三角形，设其外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面的距离为1，所以， 从而球O的表面积为. 故选：B. 2．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________. 【答案】 【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案. 【详解】 设中点为， 根据矩形的性质，可知， 所以，点即为四面体外接球的球心. 又， 所以，四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 故答案为：. 3．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为__________，四面体的体积为________________________． 【答案】 【分析】取的中点，得到则为四面体的外接球的直径，结合球的表面积公式可得第一空答案，利用转换法求体积可得第二空答案. 【详解】在四面体中，因为，所以为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 取的中点，则，所以为四面体的外接球的球心， 则为四面体的外接球的直径， 所以四面体的外接球的表面积为． 将四面体补成直三棱柱， 由条件可知，，且，所以， 又，所以，， 故四面体的体积为 ． 故答案为：，2. 4．(24-25高一下·江苏淮安·期末)如图，三棱锥中，平面平面，，，.   (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，，，由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出结论； （2）推出三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心，由正弦定理求出的外接圆半径，从而求出外接球半径，得到外接球体积； （3）作出辅助线，得到为与平面所成的角，分在线段上和在线段上，表达出，换元后，结合函数单调性和基本不等式求出最值，得到结论. 【详解】（1）连接，在中，因为，， 由余弦定理知 ， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， .    （2）为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为. （3）取中点，作，连接，，.   ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为. ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为. 5．(24-25高一下·江苏四十一校·)在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的余弦值等于，，点为线段上的动点，是的中点. (1)若直线和相交，求证：； (2)求证：平面平面； (3)当三棱锥的体积最大值时，求此时三棱锥外接球的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）借助异面直线所成角求出，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （3）求出三棱锥体积最大时点位置，再利用球面的性质确定球心位置，求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】（1）在四棱锥中，是正方形，则， 由直线和相交，得平面，平面，于是平面， 又平面平面，又平面，所以. （2）取的中点为，连接，由，得， 由，得是直线与所成的角，所以， 由正方形的边长为2，得，，则， 又，于是，即， 而平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. （3）令点到平面的距离为，则， 要三棱锥的体积最大，当且仅当最大，而点为线段上的动点， 则当点与点重合时，取得最大值， 由（2）知，等腰的外心在线段上，该外接圆半径， 则，外接圆圆心为中点，该圆半径， 令三棱锥外接球球心为，则平面，平面， 而平面平面，平面，可得平面， 则，三棱锥外接球半径， 所以所求外接球的体积为. 题型三 内切球问题 1．(22-23高一下·江苏连云港·期末)已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案. 【详解】    如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形. 2．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末) （多选）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台中，已知，则（    ） A．正三棱台的体积是 B．直线与平面所成的角为 C．点到平面的距离为 D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为 【答案】BCD 【分析】对B，找出线面角，计算即可得；对C，借助线面平行可得线上点到另一面的距离处处相等即可得；对D，借助三棱台内切球存在则半径为高的一半计算即可得，根据台体的体积公式即可判断A. 【详解】对于B，过作直线的垂线，交直线AC于点M，过作直线的垂线， 交直线AC于点N，连接，则， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以，同理可得，又， 、平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，故B正确； 对于C，取中点，因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， ，且 ， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为，故C正确； 对于D，取中点H，中点，的外心为，的外心为， 过作垂线交于点，所以，， 所以， 所以，，即，故D正确； 对于A，由D选项知，即为正三棱台的高， ， 所以正三棱台的体积为， 故A错误. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 3．(24-25高一下·江苏常州·期末) （多选）如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台的内切球的半径为 C．直线与直线所成角的最大值为 D．直线与平面所成角的正切值最大为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A选项，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， 所以，则A选项正确． 对于B选项，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球， 则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为， 易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆， 则腰长，所以梯形存在内切圆， 故圆台存在内切球，且内切球的半径为，则B选项正确； 对于C选项，如图（2），过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求， 而，由圆的性质得，， 所以， 因为，则C选项错误． 对于D选项，如图（3），平面即平面， 过点做交于点，因为垂直于下底面，而在底面内， 所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且． 设，则， 所以， 所以， 当时，，当时， ，因为函数在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确． 故选：ABD. 4．(22-23高一下·江苏无锡辅仁高级中学·期末) （多选）已知正方体的棱长为4，点分别是的中点则（    ） A．直线是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据异面直线的概念即可判断；对于B，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断. 【详解】对于A，如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 则，所以四边形是平行四边形，所以， 又因，所以直线是异面直线，故A正确；    对于B，如图，延长交于点，连接交点，连接， 因为为的中点，则， 所以为的中点，因为，所以为的中点，则， 因为，所以为平行四边形，所以， 所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形， 在等腰梯形中，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故B错误；    对于C，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又因为为的中点，所以三棱锥的高为， ，所以，故C正确；    对于D，由题意，三棱锥为边长的正面体， 设其内切球的球心为，半径为. 则， 又， 所以，解得， 则三棱锥的内切球的体积为，故D正确. 故选：ACD. 5．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·)已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为.在等腰四面体中，，.则该四面体的体积为__________；该四面体的内切球表面积为__________. 【答案】 【分析】将对棱相等的 “等腰四面体”放入一个长方体中，求出长方体的棱长，求出该四面体的体积，根据体积，使用等体积法求出内切圆半径即可. 【详解】已知，，根据余弦定理可知, 如图所示，将对棱相等的 “等腰四面体”放入一个长方体中，则根据勾股定理可知，解得， 则， 所以， 已知，，则, 可知， 则四面体表面积， 设内切球半径为，则，则半径， 则内切球表面积为， 故答案为：；. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.3空间图形的表面积和体积 基础达标题 题型一空间几何体的表面积 能力提升题 题型一空间几何体的体积 空间图形的表面积和体积 题型一外接球的表面积 拓展培优题 题型二外接球的体积 题型三内切球问题 基础达标题 题型一空间几何体的表面积 1.(24-25高一下江苏镇江·期末)己知圆台上、下底面半径分别为1、2，若其母线与底面所成角为60°，则 该圆台的表面积为() A.6π B.8π C.9n D.11m 2.(24-25高一下·江苏苏州工业园区南京航空航天大学苏州附属中学.月考)（多选）某广场设置了一些石凳 供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为50c,则 () A.石凳是十四面体 B.石凳有24条棱 C.石凳的表面积为1250(6+3)cm2D.石凳有24个顶点 3.(24-25高一下江苏启东中学月考)以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为 4.(24-25高一下江苏镇江丹阳)已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的余弦位为了 若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是() A.5π B.9π C.14π D.23π 5.(23-24高一下：江苏无锡惠山区锡山高级中学.期中)已知圆锥底面半径√2，底面圆周上两点A、B满足 AB=2,圆锥顶点到直线AB的距离为3，则该圆锥的侧面积为() A.2 B.2V2π C.V6π D.3R2π B 能力提升题 题型一空间几何体的体积 1.(24-25高一下江苏南通大学附属中学)（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F,G分别是AB,BC,CC1的中点，点P在线段BD1上，BP∥平面EFG,则以下正确的是() A.D,C与EF所成角为60 B.点P为线段BD的中点 C.三棱锥P-EFG的体积为} D.平面EFG截正方体所得截面的面积为33 2.(24-25高一下·江苏南通海门区部分学校·月考)若用半径为4c的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆 锥筒的体积为() A.233ncm B.3 ncm' c.43 3 3 ncm D.8πcm3 3.(24-25高一下江苏泰州期末)（多选）半径为1的球0完全在半径为RR>1的球O的内部，且两球球 面有唯一的公共点P,球O表面上三点A,B,C确定的平面与球O相切，若PA=3,∠PAB=∠PAC=亚 4 Cos∠CAB三5，则() A.O,O,P三点共线 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bc-号5 C.直线PA与平面ABC所成角小于T D.三棱锥P-ABC的体积为18 4.(24-25高一下江苏镇江丹阳·期末)（多选）正方体ABCD-A,B,C1D,的棱长为6，P,M,N分别为 AA1,AD,DD1的中点，则() A.直线B,C与直线MN垂直 B.直线B,P/∥平面BMN C.三棱锥P-BMN的体积为9 D.平面BMN截正方体所得的截面是等腰梯形 D C B D B 5.(24-25高一下江苏连云港灌南县·期末)（多选）在△ABC中，AB=AC=4,BC=43,D,E分别是 AB,AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥P-BCED,则() A.对任意的点P,始终有BC⊥AP B.存在某个点P的位置，满足平面PDE⊥平面PBC C.对任意的点P,始终有平面PDE与平面PBC的交线I∥BC D.当二面角P-DE-B为60时，四枝锥P-BCED的体积为3 拓展培优题 题型一外接球的表面积 1.(2526高一上江苏启东中学已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为14几，则该圆台的外接 3 球表面积为() 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. 65π B.65n c.65n D.65m 16 8 4 2 2.(24-25高一下江苏宿迁沭阳县·期末)如图1，在等腰梯形ABCD中， AB/iCD,AD=CD=CB= 1AB=2,将△ACD沿AC折起，使得点D落在点P的位置，得到三棱锥 P-ABC,如图2所示则当二面角P-一AC-B的平面角的大小为时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积 3 为() A.7π B.14π C.21π D.28π D 图1 图2 3.(24-25高一下江苏无锡太湖高级中学·月考)已知四边形ABCD中，AB=BC=3V2,AB⊥BC, DC⊥AC,∠CAD=30°，将△ABC沿AC折起，连接BD,得到三棱锥B-ACD,则三棱锥B-ACD 体积的最大值为，此时该三棱锥的外接球的表面积为 南通如皋创新班期末如图，在三棱锥P-ABC中，PA上平面 AC=V3,PA=2,则三棱锥P-ABC外接球的体积为() A.82 C. 3 B.4V3π 95n D.32 5.(24-25高一下·江苏锡东高级中学.期中)已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB=2,BC=3, ∠ABC=90°，其外接球的表面积为16π，则该三棱柱的侧棱长为() A.33 B.23 c.3 .3 2 题型二外接球的体积 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(24-25高一下.江苏苏州工业园区星海高级中学·月考)已知A、B、C是球0的球面上三个点，且 AB=AC=BC=V3,球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为(). 82 c. 32 B.8π 元. D.16π. 3 2.(24-25高一下·江苏天一中学·期中)矩形ABCD中，AB=3,BC=4,现将△ACD沿对角线AC向上翻 折，得到四面体D-ABC,则该四面体外接球的体积为 3.(23-24高一下江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在四面体ABCD中，AB=2V2,AD=3, AC=BC=V13,CD=2,BD=17,则四面体ABCD的外接球的表面积为 ,四面体ABCD 的体积为 4.(24-25高一下江苏准安期末)如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB, AB=BC=4,∠ABC=2 3 (1)已知Q为线段AC上一点，AQ=2QC,求证：PA⊥BQ: (2)求三棱锥P-ABC外接球体积； (3)若M为线段AC的中点，PM与平面ABC所成角为a,求tan2a的最大值， D 5.(24-25高一下江苏四十一校)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD,直 我BA与BC所成的角的余弦值等于要。PB=3,点M为线段PB上的动点，N是PC的中点 (1)若直线AM和DN相交，求证：MN/化BC; (2)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (3)当三棱锥A一BMD的体积最大值时，求此时三棱锥A一BMD外接球的体积. 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P MK、 B 题型三内切球问题 1.(22-23高一下·江苏连云港期末)已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1,然后 再放入一个球O2,使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为() A.6π B.23π c.22π D.3π 2.(23-24高一下·江苏南京第二十九中学期末)（多选）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥， 我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台ABC-A,B,C1中，已知 AB=2AA,=2A1B1=2,则() A.正三棱台ABC-A,B,C,的体积是2 B.直线BC与平面ABC,所成的角为 6 C.点A,到平面ABC,的距离为} D.正三棱台ABC-A,B,C,存在内切球，且内切球半径为 6 A B 3.(24-25高一下江苏常州期末)（多选）如图，圆台OO2的上、下底面半径分别为1和2，高为22， 点A为下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，则() A.该圆台的体积为142元 3 B.该圆台的内切球的半径为√2 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.直线5A与直线0,0，所成角的鼓大值为号 D.直线A0,与平面S0,O,所成角的正切值最大为2 01 0 4.(22-23高一下江苏无锡辅仁高级中学，期末)（多选）已知正方体ABCD-A,B,C1D,的棱长为4，点 E,F,G,M分别是BC,AA1,C1D1,BB1的中点则() A.直线A,G,EF是异面直线 B.平面DMC1截正方体所得截面的面积为122 C.三棱锥A-MC,D,的体积为16 D.三棱锥A,-BDC,的内切球的体积为323， 27 5.(24-25高一下江苏南京外国语学校)己知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等 的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a,b,Cc.在等腰四面体A-BCD中，AB=4,BC=5, cOs∠ABC=二则该四面体的体积为 ；该四面体的内切球表面积为 8 7/7