13.3.2 空间图形的体积（第2课时 球的表面积和体积）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过三级分层设计，以球的表面积和体积为核心，从公式直接应用到跨几何体综合，再到数学史探究，构建“基础巩固-能力提升-创新拓展”的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|球的表面积、体积公式|基础题7题，聚焦公式直接应用，如熔球体积守恒（第1题）、截面距离计算（第2题）| |B级|球与圆柱/棱柱组合体、实际应用|提升题10题，综合跨几何体问题，如暖水瓶容积计算（第9题）、银杯表面积与体积关系（第10题）| |C级|球体积公式推导|拓展题1题，结合祖暅原理探究（第17题），渗透数学史与逻辑推理|

13.3.2　空间图形的体积 第2课时　球的表面积和体积 A级 基础达标练 1.将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球,则这个大球的半径是(　　) A.8 B.2 C.2 D. 2.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 3.(2025海门月考)已知圆柱上下底面圆周均在球面上,且圆柱底面直径和高相等,则该球与圆柱的体积之比为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)(2025太仓月考)已知球O的半径为,则下列结论正确的是(　　) A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 5.已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为(　　) A. B. C. D. 6.(2025南京调研)已知圆柱的侧面积为2π,其外接球的表面积为S,则S的最小值为　　　　.  7.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的表面积. B级 能力提升练 8.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为(　　) A.(2+4)cm2 B.(8+16)cm2 C.(4+8)cm2 D.(16+32)cm2 9.某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示,分为①②③④四个部分(水瓶内胆壁厚不计),它们分别为一个半球,一个大圆柱,一个圆台和一个小圆柱.若其中圆台部分的体积为52π cm3,且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出 cm3,则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为(　　) A.640π cm3 B. cm3 C.320π cm3 D. cm3 10.(多选题)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图①所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图②),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值可能为(　　) A. B. C. D. 11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为1,,则其外接球的表面积是　　　　.  12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为　　　　. 13.(2025盐城期中)学生到工厂参加劳动实践,用薄铁皮制作一个圆柱体,圆柱体的全面积为8π,则该圆柱体的外接球的表面积的最小值为.　 14.(2025通州期中)牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法,该方法不直接给出球体的体积,而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积关系为,并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式,即=r3-V方盖差,从而计算出V球=πr3.若记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V,则V方盖差∶V=　　　　.  15.A,B分别是棱长为2的正四面体的外接球和内切球球面上的两动点,则|AB|的最小值为　　　　.  16.如图,一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,已知大圆锥轴截面是等边三角形,设球的半径为R,圆锥底面半径为r. (1)试确定R与r的关系; (2)若小圆锥、大圆锥的侧面积分别为S1、S2,球的表面积为S3,求S1∶S2∶S3; (3)求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比. C级 拓展探究练 17.(2025泰州调研)早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是两个同高的几何体,若在任意给定的等高处的截面积相等,则体积相等,在推导半径为R的球的体积公式时,可以先构造如图所示的圆柱体,圆柱体的底面半径和高都为R,其底面和半球体的底面同在平面α内,然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导,请你把图补充完整并写出球的体积公式的证明. 参考答案 1.C　8个半径为1的实心铁球的总体积为8×π×13=π,设大球半径为R,则πR3=π,解得R=2. 2.C　如图, 根据题意,|OO1|=4 cm, |O1A|=3 cm,∴|OA|=R==5 cm,故球的体积V=πR3=(cm3).故选C. 3.C　如图,由题意,得R=r,h=2r,∴.故选C. 4.AD　对于A,球的表面积为4π×=4π×=6π,故A正确;对于B,正方体的体对角线长为2×,棱长为,故B错误;对于C,球的外切正方体的棱长为2×,故C错误;对于D,将正四面体AB1CD1补形为正方体,如图所示,正方体的体对角线长为2×,棱长为,所以正四面体的棱长为=2,故D正确.故选AD. 5.A　设正三棱柱ABC-A1B1C1的两底面中心为O,O1, 如图,连接OO1,取OO1的中点D,连接BD,则BD为正三棱柱外接球的半径. ∵△ABC是边长为2的正三角形,O是△ABC的中心, ∴BO=. 又∵OD=OO1=AA1=1, ∴BD=, ∴正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为4π·BD2=. 根据题意可知,当球半径r是底面正三角形内切圆的半径时,正三棱柱内的球半径最大,即r=,所以正三棱柱ABC-A1B1C1内半径最大的球的表面积为4π·r2=, 所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为.故选A. 6.4π　设圆柱的底面半径为r,高为h,可得圆柱的侧面积为2π=2πrh,所以rh=1, 圆柱的外接球半径为, 外接球的表面积为4π=(4r2+h2)π≥2π=4π, 当且仅当r=,h=时,外接球的表面积取得最小值4π. 7.解 如图所示,CD是截面圆的直径. ∴CD2·π=π, 即CD=2. 设球O的半径为R, ∵AH∶HB=1∶2, ∴AH=×2R=R, ∴OH=R-R=R. 由OD2=OH2+HD2,得R2=R2+1, ∴R2=,∴S球=4πR2=π. 8.B　∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,正四棱柱的底面边长为2 cm,∴球的直径为正四棱柱的体对角线,∴正四棱柱的体对角线为4 cm.∵正四棱柱的底面对角线长为2 cm,∴正四棱柱的高为=2(cm),∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×2=8+16(cm2),故选B. 9.A　半球体积为×53=(cm3),大圆柱的体积为π×52×20=500π(cm3),圆台的体积为52π(cm3),小圆柱的体积为π×22×2=8π(cm3),所以最大盛水量为+500π+52π+8π-=640π (cm3).故选A. 10.AC　设圆柱的高度为h厘米,则S=2πR2+2πRh,则πRh=-πR2,所以酒杯的容积V=πR3+πR2h=πR3+-πR2R=-R3+·R≤πR3,又h>0,所以-πR2>0,所以πR2<πR2,解得≤R<,故选AC. 11.6π　根据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直, ∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1,的长方体,于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R,则有(2R)2=12+()2+()2=6. ∴R2=.故其外接球的表面积S=4πR2=6π. 12.　设正六棱柱的底面边长为x,高为h, 则有解得 ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=, 球心到底面的距离d=, ∴外接球的半径R==1,∴V球=. 13.8(-1)π　设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,该圆柱外接球的半径为R, 由题意可得2πrh+2πr2=8π,则rh+r2=4,所以h=-r.由得0<r<2. 根据圆柱与球的对称性可得R=, 所以该圆柱体的外接球的表面积为S=4πR2=4π=4π=4π≥4π×(2-2)=8(-1)π,当且仅当,即r=时,等号成立. 14.　由题意,得V方盖差=r3-V牟=r3-×π×r3=r3, 所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=·r·r·r3, ∴. 15.2　设该正四面体为P-CDE,根据球的对称性和正四面体的性质可知,该正四面体的外接球和内切球球心都是O,设外接球的半径为R,内切球的半径为r, 如图所示,取F为CD的中点,G是底面CDE的中心, 由勾股定理,得EF==3,EG=EF=2, 所以PG==4, 所以在直角三角形OEG中, OE2=EG2+OG2⇒R2=8+(4-R)2⇒R=3, 所以r=PG-PO=4-3=1, |AB|的最小值为R-r=3-1=2.故答案为2. 16.解 (1)由几何体的特征,得△ABC为直角三角形,由于大圆锥的轴截面为等边三角形,故∠ABC=30°,所以AC=R,BC=R,所以r=. (2)球心到圆锥底面的距离OO1=,所以小圆锥的高为R-, 故小圆锥的母线长为R,大圆锥的母线长为R, 所以S1=·R2,S2=·R2,S3=4π·R2, 故S1∶S2∶S3=∶3∶8. (3)由(1)得两个圆锥的体积和为πr2·2R=, 又球的体积为, 故体积之比为=3∶8. 17.解 如图①,设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径为r,r=,于是截面面积S1=πr2=π(R2-l2)=πR2-πl2,则S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆所得的圆环的面积,所以取一个底面半径和高均为R的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体与半球放在同一水平面α上,如图②,用同一水平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面,可知圆环大圆半径为R,小圆半径为l,圆环面积S2=πR2-πl2,所以S1=S2,则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等,即V球=πR2·R-πR2·R=πR3,所以可得球的体积为V球=πR3. 学科网（北京）股份有限公司 $