13.2.1＆13.2.2 平面的基本性质、空间两条直线的位置关系（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

13.2.1 平面的基本性质＆13.2.2空间两条直线的位置关系 题型一 平面的基本性质 1．(23-34高一下·江苏平潮高级中学·)下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 2．(24-25高一下·吉林长春第二实验中学·期中)已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（    ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确. 故选：C. 3．(22-23高一下·江苏苏州苏州园三中·月考)设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（    ） A．不共面 B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．共面 【答案】D 【分析】利用点线面的位置关系可知，动点C形成的轨迹是平行于（或）的平面即可得出结论. 【详解】根据题意可知，点应在过的中点且平行于（或）的平面内， 因此当分别在平面内运动时，所有的动点C共面. 故选：D 4．(24-25高一下·江苏徐州铜山区启星中学·)（多选）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断. 【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 5．(22-23高一下·陕西咸阳实验中学·月考) （多选）下列说法，不正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【答案】ABC 【分析】由空间中直线与直线的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误， 对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误， 对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确， 故选：ABC 题型二 异面直线的判断 1．(22-23高一下·湖北黄冈黄州中学（黄冈外校）·)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 2．(23-24高一下·山东潍坊第七中学·月考)如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 3．(23-24高一下·江苏?邮第?中学·) 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到分别平行于和，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面； （2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点. 【详解】（1）因为，分别为，的中点， 所以. 又因为， 所以. 所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 4．(22-23高一下·河南洛阳第八高级中学·月考)如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 5．(22-23高一下·河南信阳新未来·期中)如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 题型一 共面、共线、共点问题 1．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据正四棱台的结构特征及异面直线的定义判断各项两条直线是否为异面直线. 【详解】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D 2．(24-25高一下·江苏海门中学·)如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 3．(24-25高三上·上海青浦高级中学·期中)如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 4．(22-23高一下·河南名校联盟·期中)（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直线的位置关系，结合异面直线的判定定理，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意可知M为的中点，故，， 故，与均为相交直线，A，B错误； 平面，平面直线， 故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确， 故选：CD 5．(24-25高一下·江苏江阴六校·期中)（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 题型一 异面直线所成角 1．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 2．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 3．(23-24高一下·江苏扬州第一中学·调研)如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，连接，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， ，因此是异面直线与所成的角或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在直角三角形中，， ，即三角形是直角三角形， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 4．(24-25高一下·江苏天一中学·)已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 5．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.2.1平面的基本性质&13.2.2空间两条直线 的位置关系 题型一平面的基本性质 基础达标题 题型二异面直线的判断 平面的基本性质&空间两条直线的位置关系 能力提升题 题型一共面、共线、共点问题 拓展培优题 题型一异面直线所成角 A 基础达标题 题型一平面的基本性质 1.(23-34高一下江苏平潮高级中学)下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面 的是() R R B. Q D. 2.(24-25高一下·吉林长春第二实验中学.期中)已知心，B为平面，AB,M,N为点，a为直线，下列推理中错 误的是() A.A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,则aCB B.ME,MEB,NEa,NEB,则直线MNcx,直线MNCB C.AE,A∈B,则a∩B=A D.AB,ME,AB,MEB,且AB,M不共线，则%，B重合 3.(22-23高一下江苏苏州苏州园三中.月考)设平面c//平面B,点A∈，点B∈B,C是AB的中点，当 AB分别在平面C,B内运动时，那么所有的动点C() A.不共面 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.共面 4.(24-25高一下·江苏徐州铜山区启星中学)（多选）下列基本事实叙述正确的是() A.经过两条相交直线，有且只有一个平面 B.经过两条平行直线，有且只有一个平面 C.经过三点，有且只有一个平面 D.经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 5.(22-23高一下陕西咸阳实验中学.月考)（多选）下列说法，不正确的有() A.如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B.如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C.如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 题型二异面直线的判断 1.(22-23高一下.湖北黄冈黄州中学（黄冈外校）)如图所示，在空间四边形ABCD中，E,F分别为AB,AD 的中点，G,H分别在BC,CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.则下面几个说法中正确的个数是() D H ①E,F,G,H四点共面；②EG//FH;③若直线EG与直线FH交于点P,则P,A,C三点共线， A.0 B.1 C.2 D.3 2.(23-24高一下山东潍坊第七中学·月考)如图，ABCD为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点， 点G、H分别在CD、AD上，且DH=专AD,DG=CD.求证： 2/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)E、F、G、H四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上. 3.(23-24高一下江苏？邮第？中学)如图，己知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,BC的中点，G,H 分别在CD和AD上，且满足器=器=2.求证： (1)E,F,G,H四点共面： (2)EH,FG,BD三线共点. 4.(22-23高一下河南洛阳第八高级中学.月考)如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M,N,P 分别是A1B1yAD,BB1的中点. D C M A B D A B (1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD、平面BB1C1C的交线； (2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长， 5.(22-23高一下河南信阳新未来期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AA1上的 点，且A1F=2FA,BE=2AE. 3/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C B E (1)证明：E,C,D1F四点共面： (2)设D1F∩CE=0,证明：A,O,D三点共线， B 能力提升题 题型一共面、共线、共点问题 1.(24-25高一下江苏南通如皋调研)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AD,A1D1的中点，下 列各组直线中属于异面直线的是() A.AB和C1D1B.EF和CC1 C.AC和A1C1 D.AC和FC1 2.(24-25高一下江苏海门中学)如图，下列正方体中，M,N,P,Q分别为所在棱的中点，则在这四个正 方体中，直线MN和PQ为异面直线的是() P M A. M B D M P 3.(24-25高三上上海青浦高级中学.期中)如图所示，在正方体ABCD-AB1C1D1中，点P为线段A1C1上 的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是() 4/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B D C B A.DD1 B.AC C.AD1 D.BC 4.(22-23高一下河南名校联盟期中)（多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则下 列直线中与直线C1M是异面直线的有() D B D A.DD1 B.CC1 C.BD1 D.CA 5.(24-25高一下江苏江阴六校期中)（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱 CD1C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有() M C B D B A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.AM与BN平行 D.直线A1M与BN共面 拓展培优题 题型一异面直线所成角 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(24-25高一下江苏南京六校联合体期末)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB, AD的中点，则过点B作与异面直线B1C与EF所成的角都是60°的直线条数() D C B A D E A E B A.有无数条 B.有两条 C.有三条 D.有一条 2.(23-24高一下.江苏南京外国语学校期末)异面直线ab所成的角为70°，过空间一点P作直线1，使1与 a,b所成的角均为35°，这样的直线条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(23-24高一下江苏扬州第一中学.调研)如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E为线段A1C1的中点， 则异面直线DE与B1C所成角的余弦值为() D B A D A. 8.9 c.9 . 4.(24-25高一下江苏天一中学)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB,则异面直线AC与 BC1所成角的余弦值为() A. 8.5 C.v1o 4 D.0 5 5.(24-25高一下.江苏南京师范大学附属实验学校期末)在正四面体ABCD中，点E,F,G分别为棱 BC,CD,AC的中点，则异面直线AEFG所成角的余弦值为 6/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B E 7/7