8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 （分层作业）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 分层作业 1、 题型研究 题型一 直线与直线位置关系的判断 设是空间中的三条直线，给出以下三个命题： ①若，，则； ②若和共面，和共面，则和也共面； ③若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 空间直线与平面位置关系的判断 下列说法正确的是 A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线 题型三 平面与平面位置关系的判断 已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 2、 基础达标 1.异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 2.正方体中，与对角线成异面直线的棱有（    ） A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 3.如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 4.已知两条相交直线，，平面，与的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．或与相交 5.以下结论不正确的是（    ） A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线 C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线 6.以下四个命题中，正确的命题有（    ） ①在平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行； ②在平面内有无数条直线和平面平行，那么这两个平面平行； ③平面内的三个顶点在平面的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面内有无数个点到平面的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交. A．③④ B．②③④ C．②④ D．①④ 7.下列说法正确的是（    ） A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行 8.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 3、 能力提升 1.，为不重合的直线，，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（    ） A．若，则经过，的平面存在且唯一 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 2.如果a，b是两条异面直线，且a//α，那么b与α的位置关系是（    ） A．b//α B．b与α相交 C．b⊂α D．不确定 3.若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①；      ②； ③；      ④． A．1 B．2 C．3 D．0 4.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（    ） A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在 5.如图所示，点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 6.下列说法中正确的是 A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 7.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是 A．若，，则 B．若，，,则 C．若，，,则 D．若，，则 8.下列命题中正确的是 A．在两个平行平面中，一平面内的一条直线必平行于另一平面内的任一直线 B．夹在两平行平面间且长度相等的线段所在的直线必平行 C．两平面分别与第三个平面相交，若交线平行，则两平面平行 D．若两条直线a，b分别垂直于两平行平面中的一个，则 4、 直击高考 1.（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥中，与是正三角形，平面平面，，则下列结论不一定成立的是 A． B．平面 C． D．平面平面 3.（2024高三上·福建莆田·阶段练习）已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 A．， B．， C．， D．， 4.（2024高三·全国·专题练习）给定下列命题：①若是平面的斜线，直线垂直于在内的射影，则；②若是平面的斜线，平面内的一条直线垂直于在内的射影，则；③若是平面的斜线，，且垂直于在另一个平面内的射影，则；④若是平面的斜线，，且垂直于在内的射影，则.其中，正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 分层作业 1、 题型研究 题型一 直线与直线位置关系的判断 设是空间中的三条直线，给出以下三个命题： ①若，，则； ②若和共面，和共面，则和也共面； ③若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据两两垂直可能存在的位置关系可判断①；在正方体中举出特例可判断②；根据空间平行线的传递性可判断③； 【详解】与可能垂直，还可能平行或异面，故①错误； 在正方体中，与共面，与共面， 但与不共面，故②错误； 由空间平行线的传递性可知③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力，属于基础题. 题型二 空间直线与平面位置关系的判断 下列说法正确的是 A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线 【答案】D 【知识点】线面关系、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可． 【详解】选项A中，直线l⊂α时也可以满足条件，但l不平行于α，所以选项A错误；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B错误；选项C中缺少直线a不在平面α内这一条件，不能证明a∥α；选项D正确． 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，属于基础题． 题型三 平面与平面位置关系的判断 已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】ABC 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为，，则平行或相交，故错误； B. 因为，，则或 ，或 ，故错误； C. 因为，，，，则平行或相交，故错误； D. 因为，，，由面面平行的性质定理得 ，故正确； 故选：ABC 2、 基础达标 1.异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 【答案】A 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误. 【详解】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确； B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误； C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误； D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误. 故选：A 2.正方体中，与对角线成异面直线的棱有（    ） A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】由异面直线的定义即可得出答案. 【详解】解：由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共条. 故选：C 3.如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】判断图形中的面面关系 【分析】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项． 【详解】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得． A正确，BCD错误； 故选：A. 4.已知两条相交直线，，平面，与的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．或与相交 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由于，是两条相交直线，可得这两直线确定一个平面，然后分两平面平行和相交讨论即可得答案 【详解】解：因为，是两条相交直线， 所以，确定一个平面， 若∥，则， 若与相交，则与相交， 故选：D 5.以下结论不正确的是（    ） A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线 C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线、曲线的特点即可判断. 【详解】圆柱的侧面是曲面，但圆柱的母线所在的线是直线，故C错误， 易判断得A、B、D正确. 故选：C 6.以下四个命题中，正确的命题有（    ） ①在平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行； ②在平面内有无数条直线和平面平行，那么这两个平面平行； ③平面内的三个顶点在平面的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面内有无数个点到平面的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交. A．③④ B．②③④ C．②④ D．①④ 【答案】A 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】直接利用平面的定义和性质，平面间的位置关系，面面平行的判定和性质判断①、②、③、④的结论． 【详解】对于①：在平面内有两条相交直线和平面平行，那么这两个平面平行，故①错误； 对于②：在平面内有任意条直线和平面平行，那么这两个平面平行，故②错误； 对于③：平面内的三个顶点在平面的同一侧且到平面的距离相等且不为0（强调同侧），那么这两个平面平行，故③正确； 对于④：平面内有无数个（不是任意个）点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交，故④正确； 故选：A． 7.下列说法正确的是（    ） A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面关系，结合平面的基本性质判断面面关系. 【详解】A：如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行、重合、相交，错误； B：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行、重合、相交，错误； C：如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确； D：如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行、重合、相交，错误； 故选：C 8.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【知识点】异面直线的判定 【分析】当时与相交，当时与异面. 【详解】当时与相交，当时与异面. 故答案为D 【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型. 3、 能力提升 1.，为不重合的直线，，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（    ） A．若，则经过，的平面存在且唯一 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】对于A，由平面的性质判断，对于B，由面面平行的性质判断，对于C，由线面垂直的判定定理判断，对于D，由面面平行的判定定理判断 【详解】对于A，因为，所以由两平行直线确定一个平面，可知经过，的平面存在且唯一，所以A正确， 对于B，因为，，，所以，所以B正确， 对于C，设，在内作，在内作，因为，，所以，所以∥，所以∥，因为，，所以∥，因为，所以，所以C正确， 对于D，当，，，时，与可能平行，可能相交，所以D错误， 故选：D 2.如果a，b是两条异面直线，且a//α，那么b与α的位置关系是（    ） A．b//α B．b与α相交 C．b⊂α D．不确定 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面关系分析判断. 【详解】由题意：b与α可能相交、平行或b⊂α. 故选：D. 3.若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①；      ②； ③；      ④． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】对于①④，利用线面垂直的性质即可判断真假；对于②，利用线面垂直性质以及线面的位置关系即可判定真假；对于③，利用线面垂直判定定理即可判断命题真假. 【详解】由线面垂直的性质知①④正确． ②中b可能满足，故②错误． ③中b与可能斜交，也可能平行，还可能在内，故③不正确． 故选:B． 4.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（    ） A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线所成的角的概念及辨析、判断线面是否垂直 【分析】根据异面直线所成角关系讨论可得答案. 【详解】当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在． 故选：B. 5.如图所示，点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将其还原成正方体，得出，利用异面直线所成角的定义即可求解. 【详解】将其还原成正方体，，如图， 且，则为正三角形， 则与成角为，即与成角为， 故选：B. 6.下列说法中正确的是 A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】D 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【解析】根据空间点、线、面间的位置关系进行判断，即可得出结论. 【详解】解：对于A，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故A错； 对于B，由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故B错； 对于C，过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条， 如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故C错； 对于D，过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故D对. 故选：D. 【点睛】本题考查空间点、线、面间的位置关系，准确理解题中所给的条件，是解题的关键. 7.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是 A．若，，则 B．若，，,则 C．若，，,则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】解：因为A中，表示的为线面垂直的性质定理，因此成立． B中，利用面面垂直的判定定理可知，符合题意． C中，满足面面平行的性质定理．因此成立． D中，一条直线同时平行于两个平面，则两平面可相交也可平行，因此错误． 选D 8.下列命题中正确的是 A．在两个平行平面中，一平面内的一条直线必平行于另一平面内的任一直线 B．夹在两平行平面间且长度相等的线段所在的直线必平行 C．两平面分别与第三个平面相交，若交线平行，则两平面平行 D．若两条直线a，b分别垂直于两平行平面中的一个，则 【答案】D 【知识点】判断图形中的线面关系、判断图形中的面面关系、线面垂直证明线线平行 【解析】对于A、B、C选项，可以作出图形，举出例子，判断其是否正确，对于D选项，利用直线与直线平行的判定可判断，即可解答此题. 【详解】A中这两条直线可能平行，也可能异面； B中两条线段可能平行、相交或异面； C中的两平面可能相交或平行； D中利用直线与直线平行的判定可知正确； 故选：D. 【点睛】这是一道关于空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的题目，关键是掌握相关的判定与性质. 4、 直击高考 1.（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 2.（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥中，与是正三角形，平面平面，，则下列结论不一定成立的是 A． B．平面 C． D．平面平面 【答案】B 【知识点】证明异面直线垂直、线面关系有关命题的判断、证明面面垂直 【详解】 过 中点 连接 ,易得 面 选项A正确；又面平面平面,故选项C、D 正确，故选B. 3.（2024高三上·福建莆田·阶段练习）已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断 【详解】∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线， A. ，，则m⊥α， 这与m是平面α的一条斜线矛盾； 故A答案的情况不可能出现． B. ，， 则m∥α，或m⊂α， 这与m是平面α的一条斜线矛盾； 故B答案的情况不可能出现． D. ，， 则m∥α，或m⊂α， 这与m是平面α的一条斜线矛盾； 故D答案的情况不可能出现． 故A，B，D三种情况均不可能出现． 故选C. 4.（2024高三·全国·专题练习）给定下列命题：①若是平面的斜线，直线垂直于在内的射影，则；②若是平面的斜线，平面内的一条直线垂直于在内的射影，则；③若是平面的斜线，，且垂直于在另一个平面内的射影，则；④若是平面的斜线，，且垂直于在内的射影，则.其中，正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于①，必须在内才满足，故①错误； 对于②，也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立，故②错误； 对于③，应垂直于在内的射影，故③错误； 对于④，三垂线定理的内容：平面内一条直线如果垂直于平面的一条斜线在这个平面内的射影，则这条直线与平面的斜线垂直，故④正确. 即正确的只有一个. 故选：B. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$