13.2.1 平面的基本性质同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过三级分层设计，以“基础概念辨析—空间情境应用—跨知识整合探究”为主线，系统巩固平面基本性质，培养空间观念与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|平面确定、点线面关系辨析、公理直接应用|以选择（含多选）、填空、简单证明为主，如第1题直线与三点确定平面个数，第5题三线共面证明，夯实基础概念| |B级能力提升练|平面交线判定、几何体截面分析、公理综合应用|结合空间四边形、正方体情境，如第7题交点位置判断、第14题四线共面证明，强化空间想象与推理| |C级拓展探究练|正方体中平面交线作图与距离计算|跨知识整合，如第16题交线绘制及点到线距离求解，发展创新意识与数学表达|

13.2.1　平面的基本性质 A级 基础达标练 1.一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定的平面个数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是(　　) A.A,B,C,D四点中必有三点共线 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,下列结论正确的是(　　) A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB C.若l⊄α,A∈l,则A∉α D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合 4.以下四个命题中,真命题的序号是　　　　.  ①不共面的四点中,任意三点不共线; ②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面; ③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 5.已知:A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,如图所示.求证:直线AD,BD,CD共面. 6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)AA1与CC1是否在同一平面内?请说明理由; (2)点B,C1,D是否在同一平面内?请说明理由; (3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线;画出平面ACD1与平面BDC1的交线. B级 能力提升练 7.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若EF与HG交于点M,则(　　) A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上 D.M不在直线AC上,也不在直线BD上 8.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过(　　) A.点A B.点B C.点C,但不过点D D.点C和点D 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 10.(多选题)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是(　　) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A 11.(多选题)用一个平面去截正方体,所得截面不可能是(　　) A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五边形 D.正六边形 12.点D为△ABC所在平面外一点,E,F分别为DA和DC上的点,G,H分别为BA和BC上的点,且EF和GH相交于点M,则点M一定在直线　　　　上.  13.已知空间四点中,无三点共线,则经过其中三点的平面有　　　　个.  14.如图,已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面. 15.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K. (1)求证:直线MN⊂平面PQR; (2)求证:点K在直线MN上. C级 拓展探究练 16.在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出交线l; (2)设l∩A1B1=P,求PB1的长; (3)求点D1到l的距离. 参考答案 1.B　设直线为a,直线a外不共线的三点为A,B,C,则A,B,C三点确定一个平面;直线a与A确定一个平面;直线a与B确定一个平面;直线a与C确定一个平面,故最多可确定4个平面.故选B. 2.B　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 3.ABD　选项A,若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α,可得A正确;选项B,α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,可得B正确;选项C,若l⊄α,A∈l,则A∈α或A∉α,可得C不正确;选项D,若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,可得D正确. 4.①　假设任意三点共线,由于一条直线与直线外的一点确定一个平面,故四点共面,因此与不共面的四点矛盾,故假设不成立,即不共面的四点中,任意三点不共线,显然①符合题意;②若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面,故不符合题意;③构造长方体或正方体,如图,显然b,c异面,故不符合题意;④空间四边形中四条线段不共面,故不符合题意.故真命题的序号是①. 5.证明 因为D∉l,所以l与D可以确定一个平面, 设为α,因为A∈l,所以A∈α, 又D∈α,所以AD⊂α. 同理,BD⊂α,CD⊂α, 所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面. 6.解 (1)是,平行直线确定一个平面; (2)是,不在同一条直线上的三点确定一个平面; (3)如图1,设BD∩AC=O,因为C1∈平面ACC1A1, C1∈平面BC1D,O∈平面ACC1A1,O∈平面BC1D, 所以C1O⊂平面BC1D,C1O⊂平面ACC1A1, 故平面ACC1A1与平面BC1D的交线为C1O; 图1 图2 如图2,设CD1∩C1D=O1,AC∩BD=O2, 因为O1∈平面ACD1,O1∈平面BDC1,O2∈平面ACD1,O2∈平面BDC1, 所以O1O2⊂平面ACD1,O1O2⊂平面BDC1, 故平面ACD1与平面BDC1的交线为O1O2. 7.A　由题意得EF在平面ABC内,HG在平面ACD内,EF与HG交于点M,所以点M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上. 8.D　由题意知,D∈l,l⊂β,∴D∈β,又D∈AB,∴D∈γ,即点D在平面γ与平面β的交线上,又C∈γ,C∈β,∴点C在平面γ与平面β的交线上,即平面γ,β的交线必过点C和点D.故选D. 9.D　如 图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB的延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.延长PQ交CD的延长线于N,连接NG交DD1于F,连接QF.故截面PQFGRE为六边形.故选D. 10.ABD 11.ABC　如图所示,当截面为三角形时,可能出现正三角形,但不可能出现直角三角形;当截面为四边形时,可能出现矩形、平行四边形、等腰梯形,但不可能出现直角梯形;当截面为五边形时,不可能出现正五边形;当截面为六边形时,可能出现正六边形.故选ABC. 12.AC　如图,由于ABCD是空间四边形,故AB,BC确定平面ABC,CD,DA确定平面ACD. ∵E∈AD,F∈DC,G∈AB,H∈BC, ∴EF⊂平面ACD,GH⊂平面ABC, ∵EF∩GH=M,∴M∈平面ABC,M∈平面ACD, ∴平面ABC∩平面ACD=AC,∴M∈AC,故答案为AC. 13.1或4　若空间中的四点共面,则经过其中的三点的平面只有一个, 若空间中的四点不共面,设这四点为A,B,C,D,由于无三点共线,则由公理2,可知过A,B,C三点确定一个平面,过B,C,D三点确定一个平面,过A,B,D三点确定一个平面,过A,D,C三点确定一个平面,所以经过其中三点的平面有4个. 综上,空间四点中,无三点共线,则经过其中三点的平面有1个或4个. 14.证明 因为a∥b,所以a和b确定一个平面α, 因为l∩a=A,l∩b=B, 所以A∈α,B∈α.故l⊂α. 又a∥c,所以a和c确定一个平面β. 同理l⊂β. 综上,l和a既在平面α内,又在平面β内,且l与a相交,故平面α,β重合,即直线a,b,c,l共面. 15.证明 (1)∵PQ⊂平面PQR,M∈直线PQ,∴M∈平面PQR. ∵RQ⊂平面PQR,N∈直线RQ,∴N∈平面PQR, ∴直线MN⊂平面PQR. (2)∵M∈直线CB,CB⊂平面BCD,∴M∈平面BCD. 由(1)知M∈平面PQR, ∴点M在平面PQR与平面BCD的交线上, 同理,可知点N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上, ∴M,N,K三点共线,∴点K在直线MN上. 16. 解 (1)如图,延长DM交D1A1的延长线于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN,则直线QN就是两平面的交线l. (2)∵M是AA1的中点,MA1∥DD1,∴A1是QD1的中点. 又A1P∥D1N,∴A1P=D1N. ∵N是D1C1的中点,∴A1P=D1C1=, ∴PB1=A1B1-A1P=a. (3)如图,过点D1作D1H⊥PN于点H,则D1H的长就是点D1到l的距离. ∵QD1=2A1D1=2a,D1N=, ∴D1H=a, 即点D1到l的距离是a. 学科网（北京）股份有限公司 $