15.3 互斥事件和独立事件（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

15.3 互斥事件和独立事件 题型一 互斥事件与对立事件 1．(22-23高一下·江苏无锡辅仁高级中学·期末)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 2．(23-24高一下·浙江湖州·期末)（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 3．(23-24高一上·安徽亳州蒙城县·期末) （多选）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 4．(22-23高一上·辽宁五校（实验、东北育才、大连二十四中、大连八中、鞍山一中）联考·期末) （多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 5．（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 题型一 相互独立事件 1．(24-25高一下·江苏常州前黄高级中学·期末) （多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 2．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期末) （多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 3．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期末) （多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（   ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 4．(24-25高一下·江苏徐州·期末)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 5．(24-25高一下·江苏常州·期末) （多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（    ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 题型一 互斥事件的概率 1．(24-25高一下·江苏无锡普通高中·调研)已知，，，则___________． 2．(24-25高二下·重庆第八中学·月考)两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（   ） A．包含于 B． C．与互斥 D． 3．(23-24高一下·江苏江阴华士高级中学·月考)若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 __． 4．(24-25高一下·江苏江阴部分重点学校·)某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 5．(24-25高一下·江苏如皋中学·期末)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 题型二 对立事件的概率 1．(25-26高一上·江苏南京励志高级中学·调研)某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江苏南通·期末)如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 3．(24-25高一下·江苏宿迁·期末)已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 4．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 5．(24-25高一下·江苏宜兴丁蜀高级中学·期末)2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 题型三 独立事件的概率 1．(24-25高一下·江苏泰州·期末)已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 2．(24-25高一下·江西抚州金溪县第一中学等校·)如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·河北邢台质检测联盟·月考)甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. (1)若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； (2)求乙最终获胜的概率. 4．(24-25高一下·江苏无锡普通高中·调研)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 5．某学校在端午节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的． (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率． 题型四 互斥事件、对立事件、独立事件 1．(24-25高一下·江苏南京五校共同体·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 2．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 3．(24-25高一下·江苏部分高中·期末) （多选）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 4．(23-24高二下·广东惠州第一中学·)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 5．(24-25高一下·江苏南通·期末) （多选）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（   ） A． 与B相互独立 B． 与互斥 C． D． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 互斥事件和独立事件 题型一 互斥事件与对立事件 1．(22-23高一下·江苏无锡辅仁高级中学·期末)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 【答案】C 【分析】列举出所有基本事件，再结合互斥事件、对立事件的意义及古典概型逐项判断即得. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)， 对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误； 对于C，，C正确； 对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误． 故选：C 2．(23-24高一下·浙江湖州·期末)（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假. 【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动， 与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确； 对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确； 对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确； 对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误. 故选：ABC 3．(23-24高一上·安徽亳州蒙城县·期末) （多选）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 4．(22-23高一上·辽宁五校（实验、东北育才、大连二十四中、大连八中、鞍山一中）联考·期末) （多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 【答案】BD 【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD. 【详解】对A，由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况， 所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对B，记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3， 不放回地从中取2个球的样本空间 共20种， 记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”， 则， 所以，故B正确； 对C，有放回地从中取2个球的样本空间 ，共25种； 记事件为“取出1个红球和1个白球”，则 ，共12种， 所以，故C错误； 对D，记事件为“取出2个白球”，则，共9种； 所以， 所以至少取出1个红球的概率为，故D正确. 故选：BD 5．（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解. 【详解】由事件，，不一定两两互斥，所以, ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件， 所以A、B、C中说法错误. 故选：ABC. 题型一 相互独立事件 1．(24-25高一下·江苏常州前黄高级中学·期末) （多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 2．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期末) （多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出事件的概率，根据它们概率之间的关系，判断各选项的准确性. 【详解】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为 ,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 3．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期末) （多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（   ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 【答案】ABD 【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误. 【详解】设2个红球为，白球为，黑球为. 则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况. 对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确； 对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：， 事件D样本空间为：，则，， 则，故B正确； 对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又 则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确. 故选：ABD 4．(24-25高一下·江苏徐州·期末)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 5．(24-25高一下·江苏常州·期末) （多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（    ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数， 故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误； 对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生， 因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确； 对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生， 所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果， 记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，故， 记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，故， 事件同时发生包含种不同的结果，故， 所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确. 故选：BD. 题型一 互斥事件的概率 1．(24-25高一下·江苏无锡普通高中·调研)已知，，，则___________． 【答案】0.6/ 【分析】由，可得的概率，然后用和事件的概率公式计算即可. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：0.6 2．(24-25高二下·重庆第八中学·月考)两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（   ） A．包含于 B． C．与互斥 D． 【答案】D 【分析】列出所有基本事件，由古典概型概率公式及和事件加法公式即可求解； 【详解】随机取出2只，所有可能结果：；；；； ；； 包含：；； ；； 包含：；； 包含：；； 对于A： 包含，故错误； 对于B：，故错误； 对于C：与可以同时发生，故错误； 对于D：，正确； 故选：D 3．(23-24高一下·江苏江阴华士高级中学·月考)若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【详解】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且, 所以，即 解得： 故答案为：. 4．(24-25高一下·江苏江阴部分重点学校·)某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【分析】根据古典概型，分情况计算求解. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 5．(24-25高一下·江苏如皋中学·期末)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)两种规则获奖的概率一样大，理由见解析 【分析】（1）直接列举所有结果； （2）（3）根据古典概型求解概率即可. 【详解】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. （3）两种规则获奖的概率一样大. 三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率 ， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，，，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点，. 所以规则二获奖的概率 ， ∴所以两种规则获奖的概率一样大. 题型二 对立事件的概率 1．(25-26高一上·江苏南京励志高级中学·调研)某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 2．(24-25高一下·江苏南通·期末)如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 3．(24-25高一下·江苏宿迁·期末)已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 则，即. 故选：B. 4．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 5．(24-25高一下·江苏宜兴丁蜀高级中学·期末)2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【详解】（1）记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. （2）记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 题型三 独立事件的概率 1．(24-25高一下·江苏泰州·期末)已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 2．(24-25高一下·江西抚州金溪县第一中学等校·)如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得均不正常工作的概率，再结合对立事件、独立事件概率计算公式即可求解； 【详解】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B 3．(24-25高一下·河北邢台质检测联盟·月考)甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. (1)若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； (2)求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）甲最终获胜包含：第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，求出各种情况的概率可得答案； （2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况；②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况；③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况，求出以上各种情况概率可得答案. 【详解】（1）甲最终获胜包含以下情况： 第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，其概率为； 第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，其概率为； 第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，其概率是. 故甲、乙首先比赛，甲最终获胜的概率； （2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为； 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为. 故甲、乙首先比赛，乙最终获胜的概率. ②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况： 甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为. 故甲、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. ③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为； 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为； 乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为. 故乙、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. 故乙最终获胜的概率. 4．(24-25高一下·江苏无锡普通高中·调研)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 5．某学校在端午节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的． (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）写出样本空间，根据古典概型的概率计算公式即可求解； （2）求出“任选一道灯谜，甲猜对”的概率，“任选一道灯谜，乙猜对”的概率，“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”的概率，根据独立性即可求解. 【详解】（1）设“任选2道灯谜，甲都猜对”， 用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间，， 所以，，根据古典概型的概率计算公式，得； （2）设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”，“任选一道灯谜， 甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得， ，，，， 因为，且，互斥， 又甲、乙两位选手独立参加竞猜， 所以，相互独立，从而，相互独立，，也相互独立， 所以， 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 题型四 互斥事件、对立事件、独立事件 1．(24-25高一下·江苏南京五校共同体·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】B 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 2．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 3．(24-25高一下·江苏部分高中·期末) （多选）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 4．(23-24高二下·广东惠州第一中学·)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 5．(24-25高一下·江苏南通·期末) （多选）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（   ） A． 与B相互独立 B． 与互斥 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用古典概型公式求出，， ，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可. 【详解】由题意得共有个基本事件， 第一次向上的点数是1有，共6种情况， 由古典概型概率公式得， 第二次向上的点数是偶数有 ，共种情况， 由古典概型概率公式得， 两次向上的点数之和是8有，共5种情况， 由古典概型概率公式得， 而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数， 符合条件的有，共3种，则， 下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由已知得，， 满足，则与相互独立，故A正确， 对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生， 符合条件的有， ，共11个，故， 满足，可得与互斥，故B正确， 对于C，由概率加法公式得 ，即C正确， 对于D， 题意得共有个基本事件， 则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8， 符合条件的有，共3种，则，故D错误. 故选：ABC 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $