1随机试验与随机事件（11大题型）（题型专练）高一数学北师大版2019必修第一册

1随机试验与随机事件 题型一：随机现象 1．下列现象是必然现象的是（ ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 2．下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据随机现象的概念逐项判断即可得解. 【详解】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象. 故选：B. 【点睛】本题考查了随机现象的概念，属于基础题. 3．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ） A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80% D．以上解释都不对 【答案】C 【解析】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性. 【详解】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%. 故选：C 题型二：样本空间 1．某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【答案】样本空间，个数为9． 【分析】由表可知在职人员人数为，结合，，利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数即可. 【详解】由表可知学生人数为80，退休人员人数为90， 所以在职人员人数为（人），即， 因为，， 所以样本空间，样本点的个数为9. 2．一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ 【答案】(1)答案见解析； (2)9； (3)答案见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，写出样本空间，进而求出样本点个数及给定事件含有的样本点. 【详解】（1）这个试验的样本空间(白,白),(黑,黑),(红,红),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白),(黑,红),(红,黑)． （2）由（1）知，样本点个数是9. （3）“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白,白),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白). 3．写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 4．一个口袋中有大小与质地相同的1个白球、2个黑球、3个红球，从中任取2个球，观察球的颜色．写出样本空间及与下列事件相应的基本事件子集： (1)含有白球； (2)至少含有1个黑球． 【答案】(1)全体样本空间为：{（白,黑）,(黑,黑）,（白,红）,（黑，红）,（红，红）};含有白球为：{（白,黑）,（白,红）}. (2)至少含有1个黑球为：{（白,黑），（黑,黑），（黑，红）}. 【分析】根据题意，列出全体样本空间和相应基本事件的子集即可. 【详解】（1）从1个口袋中有大小与质地相同的1个白球、2个黑球、3个红球， 从中任取2个球,则全体样本空间为：{（白,黑）,(黑,黑）,（白,红）,（黑，红）,（红，红）}; 其中含有白球为：{（白，黑）,（白,红）}; （2）由（1）知，至少含有1个黑球为：{（白,黑）,（黑,黑）,（黑，红）}. 题型三：随机事件，必然事件，不可能事件 1．下列说法正确的个数是（ ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件概率的取值范围，即可判断出命题①②③的真假，即可求解. 【详解】因为必然事件的概率等于，不可能事件的概率是，随机事件的概率取值范围为， 所以命题①③正确，命题②错误， 故选：C. 2．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【答案】B 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 3．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（ ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 【答案】D 【分析】根据随机事件、不可能事件与必然事件的概念，对选项逐一分析判断是否为必然事件即可. 【详解】因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件， 对于A，因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A错误； 对于B，因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B错误； 对于C，因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C错误； 对于D，因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”是必然事件，故D正确. 故选：D. 4．（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 【答案】ABD 【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项. 【详解】A.当为必然事件，且，故A正确； B.为不可能事件，且，故B正确； C.若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误； D.若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确. 故选：ABD 题型四：随机事件的概率 1．对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【答案】D 【分析】根据随机事件概率的意义，即可判断选项. 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正面向上或正面向下可能性相同，即可得出答案． 【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同， 则第10次出现正面向上的概率为， 故选：A． 3．随机事件发生的概率的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机事件发生的概率范围即可得到答案. 【详解】根据随机事件发生的概率范围可知， 故选：D. 4．通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（ ） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【详解】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 题型五：事件的包含关系 1．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有（ ） A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案. 【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 2．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为（ ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 4．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系；(2)C与D的关系；(3)B与D的关系；(4)E与F的关系；(5)B、F、G之间的关系． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件；(2)既是互斥事件，又是对立事件；(3)；(4)； (5) 【分析】（1）（2）根据互斥事件和对立事件的定义分析判断； （3）（4）根据事件的包含关系分析判断； （5）根据事件的运算关系分析判断. 【详解】（1）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A与B是互斥事件， 但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A与B不是对立事件， 所以A与B是互斥事件，不是对立事件； （2）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以C与D既是互斥事件，又是对立事件； （3）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一定是黑色牌， 但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花， 所以事件B发生时，事件D一定发生，而事件D发生时，事件B不一定发生， 所以； （4）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的牌点数大于9，即牌点数为10，一定是5的倍数， 而抽出的牌点数为5的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10， 所以事件F发生时，事件E一定发生，而事件E发生时，事件F不一定发生， 所以； （5）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张， 若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10， 所以 题型六：事件的运算及其含义 1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【分析】由事件的运算即可求解. 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 2．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用列举法表示即可. 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 3．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，事件A包含于事件D；B选项，事件B，D不能同时发生，B正确；C选项，根据事件运算得到C正确；D选项，，，D错误. 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 4．（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据事件之间的基本关系和基本运算，依次判断选项即可. 【详解】事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， A：事件A表示表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故，故A正确； B：事件B和事件D是对立事件，故，故B正确； C：事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”， 而事件表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误； D：事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，故D正确. 故选：ABD. 5．从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品； (2)只有第一次取到次品； (3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品； (5)三次中至多有一次取到次品． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）由对立事件的性质和概率的基本运算求解即可. 【详解】（1）由题意得三次全取到次品为. （2）由题意得只有第一次取到次品为. （3）由题意得三次中至少有一次取到次品为. （4）由题意得三次中恰有两次取到次品为. （5）由题意得三次中至多有一次取到次品为. 题型七：互斥事件和对立事件 1．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 2．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（ ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 【答案】B 【分析】方法一、根据事件间的逻辑关系可解；方法二、根据题意，利用韦恩图进行求解. 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 3．从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 4．投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（ ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【答案】C 【分析】由必然事件、不可能事件、互斥和对立事件的概念可判断. 【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 5．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A．与互斥但不对立 B．与互斥 C．与对立 D． 【答案】A 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，“摸到的两球一个是白球，一个是黑球”， 则，，与为对立事件，A错误； 对于B，与不能同时发生，与互斥，B正确； 对于C，“两次摸到的都是白球或一个是白球，一个是黑球”，则，与对立，C正确； 对于D，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，则，D正确. 故选：A. 题型八：概率的基本性质 1．已知，，且，则（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【答案】B 【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案. 【详解】因为，所以, 故选：B. 2．对于随机事件，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率加法公式代入求解即可. 【详解】已知，，， 根据概率加法公式. 故选：B. 3．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”，事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 4．根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的加法公式计算即可. 【详解】设数学考试不及格为事件，英语考试不及格为事件. 由题意可得 因为， 所以. 故选：B. 题型九：互斥事件和对立事件的概率 1．在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（ ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 2．已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及概率的基本性质求解. 【详解】由，得， 又，则，而， 所以. 故选：A 3．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 4．已知事件，互斥，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 5．已知随机事件A和B，， （1）若A，B是对立事件，则_________________； （2）若，且，则_______________； （3）若，，则________________． 【答案】；； 【分析】根据对立事件、互斥事件的定义及概率加法公式逐一分析即可. 【详解】（1）因为事件A与事件B是对立事件，则， （2）根据题意得，则事件A和事件B互斥， 所以， 则，故． （3）根据题意得，则事件A和事件B不互斥， 由概率的性质，可得， 故． 故答案为：；；. 题型一：互斥事件和对立事件（提升） 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是（ ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：D． 2．袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件表示“3次抽到的球全是红球”，事件表示“次抽到的球颜色全相同”，事件表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件不对立 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件与事件不互斥，故错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件与事件互为对立事件，故错误； 对于C，因为，所以，故正确； 对于D，因为事件与事件C互斥，，所以，所以，故D错误. 故选：C 3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）． 【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”， ①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确； ②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误； ③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，（C），（E），， 从而（C）（E），故④正确； ⑤，，从而（B）（C），故⑤错误． 故答案为：①④． 题型一：互斥事件和对立事件的概率（提升） 1．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误； ③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 2．（多选）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（ ） A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 【答案】ACD 【分析】本题依据互斥事件、对立事件的概念以及概率计算即可判断. 【详解】对A、B，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故，故A正确，B不正确. 对C，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确. 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）从中任取两个数，记事件“至少有一个奇数”，“两个奇数”，“两个偶数”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用概率的基本性质判断A，利用互斥事件概率公式判断B，D，利用对立事件概率公式判断C即可. 【详解】从中任取两个数，有以下三种情况:两个奇数，两个偶数，一个奇数和一个偶数. 在A中，因为事件，所以，故A正确， 在B中，因为事件与互斥，所以，故B正确， 在C中，因为事件与是对立事件，所以，故C正确， 在D中，因为事件不是两两互斥， 所以，故D错误. 故选：ABC 4．若，互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为___________________. 【答案】9 【解析】由题意可知，则，根据基本不等式即可求出最小值． 【详解】解：，互为对立事件，其概率分别为，，且，， ， ．当且仅当，即时等号成立 的最小值为． 故答案为：． 5．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为________________． 【答案】/ 【分析】A获胜分为3种情况，利用概率的加法公式求解即可. 【详解】记初始手上张牌时，胜的概率为， ①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ③当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”，有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”，有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”，有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜， 则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，胜的概率为， 所以，解得, 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1随机试验与随机事件 题型一：随机现象 1．下列现象是必然现象的是（ ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 2．下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ） A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80% D．以上解释都不对 题型二：样本空间 1．某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 2．一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ 3．写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 4．一个口袋中有大小与质地相同的1个白球、2个黑球、3个红球，从中任取2个球，观察球的颜色．写出样本空间及与下列事件相应的基本事件子集： (1)含有白球； (2)至少含有1个黑球． 题型三：随机事件，必然事件，不可能事件 1．下列说法正确的个数是（ ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 2．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 3．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（ ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 4．（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 题型四：随机事件的概率 1．对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 3．随机事件发生的概率的范围是（ ） A． B． C． D． 4．通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（ ） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 题型五：事件的包含关系 1．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有（ ） A． B． C． D．与之间没有关系 2．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为（ ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 4．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系；(2)C与D的关系；(3)B与D的关系；(4)E与F的关系；(5)B、F、G之间的关系． 题型六：事件的运算及其含义 1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 2．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品； (2)只有第一次取到次品； (3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品； (5)三次中至多有一次取到次品． 题型七：互斥事件和对立事件 1．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 2．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（ ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 3．从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 4．投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（ ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 5．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A．与互斥但不对立 B．与互斥 C．与对立 D． 题型八：概率的基本性质 1．已知，，且，则（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 2．对于随机事件，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 3．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（ ） A． B． C． D． 4．根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（ ） A． B． C． D． 题型九：互斥事件和对立事件的概率 1．在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（ ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 2．已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（ ） A． B． C． D． 3．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知事件，互斥，，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知随机事件A和B，， （1）若A，B是对立事件，则_________________； （2）若，且，则_______________； （3）若，，则________________． 题型一：互斥事件和对立事件（提升） 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是（ ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 2．袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件表示“3次抽到的球全是红球”，事件表示“次抽到的球颜色全相同”，事件表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件不对立 C． D． 3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 题型一：互斥事件和对立事件的概率（提升） 1．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（ ） A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 3．（多选）从中任取两个数，记事件“至少有一个奇数”，“两个奇数”，“两个偶数”，则（ ） A． B． C． D． 4．若，互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为___________________. 5．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为________________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $