第十二章 定义、命题、证明（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第十二章 定义、命题、证明（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【基础巩固】 1 【题型1 判断语句是否为命题或定义】 1 【题型2 改写命题为“如果…那么…”】 3 【题型3 找出命题条件与结论】 4 【题型4 判断命题真假】 5 【题型5 识别假命题举反例】 6 【题型6 写出命题的逆命题】 8 【题型7 基本几何证明】 9 【能力提升】 13 【题型8 综合运用平行线的判定与性质】 13 【题型9 三角形内外角性质的应用】 16 【题型10 构造命题并证明】 21 【题型11 补全证明过程缺步】 23 【题型12 多边形内角和与外角和的计算】 28 【思维拓展】 31 【题型13 复杂图形的角度计算与证明】 31 【题型14 多结论判断与逻辑推理】 36 【题型15 反证法的应用】 40 【题型16 逻辑推理】 43 【题型17 新定义与探究题】 47 【基础巩固】 【题型1 判断语句是否为命题或定义】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：、“延长线段”是操作描述，没有对事情作出判断，不是命题； 、“垂线段最短”对线段长度的性质作出了判断，符合命题的定义，是命题； 、“作直线”是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题； 、“平行线与垂线”是两个几何名词，没有对事情作出判断，不是命题． 【变式1-1】（25-26七年级下·湖北荆州·月考）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的内角和等于 C．表示数与字母的积的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】需区分定义与公理、定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短是公理，属于对线段性质的判断，不是定义，不符合题意； B．三角形的内角和等于是定理，属于对三角形内角和性质的判断，不符合题意； C．数与字母的积组成的代数式叫作单项式，是对单项式这个数学术语的含义作出明确规定，符合定义的特征，符合题意； D．两直线平行，内错角相等是定理，属于平行线性质的判断，不是定义，不符合题意． 【点睛】定义是对名称或术语的含义作出明确规定，公理和定理是对事物作出判断的真命题． 【变式1-2】下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是____________． 【答案】③④ 【分析】根据命题的定义：对一件事情作出判断，是陈述句，进行判断即可． 【详解】解：①钝角大于90°、②两点之间，线段最短、⑤同旁内角不互补，两直线不平行，都对事情作出了判断，因此都属于命题； ③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，因此不是命题； ④作AD⊥BC属于作图语言，并未进行判断，因此不是命题， 故选③④． 【点睛】本题考查命题的定义：是否对一件事情进行了判断，而且是陈述句． 【变式1-3】两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直.这个句子是_____（填“定义”或“命题”）. 【答案】定义 【分析】根据垂直的定义即可解决问题； 【详解】两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直，这个句子是定义． 故答案为定义． 【点睛】一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义；一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题． 【题型2 改写命题为“如果…那么…”】 【例2】（25-26七年级下·广东惠州·月考）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果____________，那么__________． 【答案】 两个角是对顶角； 这两个角相等 【分析】先拆分命题“对顶角相等”的条件与结论，再按照要求改写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，因此改写成“如果…那么…”的形式可得：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式2-1】将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解． 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的结构，熟练掌握命题的结构是解题的关键．根据图片找到命题的条件和结论，如果后面是条件，那么后面是结论，原命题的条件是，结论是． 【详解】解：根据题意，如果，那么． 故答案为：如果，那么． 【变式2-3】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 【题型3 找出命题条件与结论】 【例3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【答案】D 【分析】先将命题改写为“如果那么”的形式，明确题设与结论，再结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 【变式3-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题：“如果，那么的结论是___________． 【答案】 【分析】本题考查命题的组成，根据如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可. 【详解】解：命题：“如果，那么的结论是； 故答案为：. 【变式3-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）命题“等角的补角相等”的条件是_______． 【答案】两个角相等 【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案． 【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”， 所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等； 故答案为：两个角相等． 【变式3-3】（2025七年级下·全国·专题练习）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是___________，结论是___________． 【答案】 两个数的绝对值相等 这两个数互为相反数 【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果，那么的性质，如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可． 【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数， ∴命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数． 【题型4 判断命题真假】 【例4】“如果，那么．”这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】先明确命题的条件与结论，根据等量代换验证结论是否成立，即可判断命题的真假； 【详解】解：由题意得，该命题的条件为，，根据等量代换可得，结论成立，因此该命题是真命题． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东临沂·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 【答案】C 【分析】本题主要考查命题，根据平行线的性质、垂线段的性质、互补的定义等，逐项判断即可． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，该选项的命题是假命题； B、只有两直线平行时，同位角才相等，该选项的命题是假命题； C、该选项的命题是真命题； D、互补的两个角可以都是直角，该选项的命题是假命题． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东潮州·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．直角三角形的两锐角互补 D．两个锐角的和一定是钝角 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定、直角三角形内角性质、锐角钝角的定义，判断各命题的真假即可得到答案． 【详解】解：A．两直线平行时，同旁内角互补，并非相等，故该选项是假命题，不符合题意， B．内错角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，故该选项是真命题，符合题意， C．直角三角形的两锐角互余，并非互补，故该选项是假命题，不符合题意， D．若两个锐角分别为和，和为仍是锐角，故两个锐角的和不一定是钝角，该选项是假命题，不符合题意． 【变式4-3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题是____命题．（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题的判断，三角形内角和定理． 命题涉及三角形中角的关系，根据三角形内角和定理，若两个角互余，则第三个角为直角，因此命题成立． 【详解】解：设三角形的两个角分别为和，且， 根据三角形内角和定理，， 因此， 所以是直角，三角形是直角三角形， 故该命题是真命题． 故答案为：真． 【题型5 识别假命题举反例】 【例5】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】解：当时，，满足条件， ，不满足命题结论， ∴命题“如果，那么”是假命题． 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·月考）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当，时， ，， 不满足条件，结论也不成立，不能作为反例，不合题意； B、当，时， ，， 满足条件但结论不成立，不能作为反例，不合题意； C、当，时， ，又， 不满足条件，但结论成立，符合反例要求； D、当，时， ∵，又， 满足条件，结论也成立，不能作为反例，不合题意． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列选项，能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（    ） A．（为常数） B．15 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例说明命题是假命题，要找出能说明命题为假的反例，需满足是偶数且不是4的整数倍这两个条件，据此分析各选项即可． 【详解】解：反例需同时满足：①是偶数；②不是4的整数倍． A选项（为整数），表示一个偶数，但它是一个代数式，不是一个具体的数值，不能直接作为反例； B选项15是奇数，不满足“偶数”的条件，排除； C选项26是偶数，且，不是整数，即不是4的整数倍，符合反例要求； D选项28是偶数，且，是4的整数倍，不符合要求． 故选：C． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南郑州·月考）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 反例需满足两个锐角之和不是钝角，而是锐角或直角，据此解答即可． 【详解】解：锐角是指小于的角，钝角指大于且小于的角，当两个锐角均较小时，其和可能小于，例如，，，结果为锐角而非钝角，故该命题为假命题， 故答案为，，（答案不唯一）． 【题型6 写出命题的逆命题】 【例6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）写出命题“如果，那么”的逆命题：_____． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件是“”，结论是“”，因此逆命题是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 【变式6-1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【变式6-2】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 【变式6-3】下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确； 运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答. 【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题. ②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况. ③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形. 故只有①的原命题与其逆命题都是真命题. 故选A. 【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键. 【题型7 基本几何证明】 【例7】写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 【答案】，证明过程见解析 【分析】先写出求证，然后证明．过点A作，利用，可得，，由平角的定义可得，利用等量代换可证． 【详解】解：求证：， 证明：过点A作， ∵， ∴，， ∵， ∴． 即知三角形三个内角的和等于． 【点睛】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明． 【变式7-1】如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 【答案】（1）∠ACE=45°;(2)详见解析. 【分析】（1）先根据内角和定理求得∠ACB=90°，再由角平分线性质可得答案； （2）根据CD⊥AB知∠BCD=90°-∠B=30°，∠FCD=∠ECB-∠BCD=15°，结合∠CDF=75°可得∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°，即可得证． 【详解】解：（1）∵∠A=30°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°； （2）∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=15°， ∵∠CDF=75°， ∴∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°， ∴△CFD是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理． 【变式7-2】如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【分析】本题考查多边形内角和、平行线的判定及角平分线的定义． （1）根据四边形的内角和是及即可求出； （2）由（1）及角平分线的定义证明出，再根据及余角的性质得出即可证平行． 【详解】（1）证明：四边形中，，， ． （2）证明：平分交于点E，平分交于点F， ， ， ， 中， ， ． 【变式7-3】已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠B，即可得出答案； 【详解】证明：∵∠EGH是△FBG的外角， ∴∠EGH＞∠B， 又∵， ∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EGH＞∠ADE． 【点睛】．本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质的应用，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【能力提升】 【题型8 综合运用平行线的判定与性质】 【例8】如图，在中，点D、E分别在、上，且，，，求的度数． 【答案】 【分析】首先由得到，等量代换得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式8-1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，直线、、被直线所截，点为上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若比的倍大，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行先证得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证得； （2）根据平行线的性质可得，再结合已知的角之间的数量关系等量代换即可解得． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， 比的倍大， ， ， ． 【变式8-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，复兴号动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示，已知在某一时刻，，． (1)直接写出邻补角的度数_____． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可． （2）过点作，则，，从而得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴邻补角的度数． （2）解：如图，过点作， ． ， ， ， ． 【变式8-3】（25-26七年级下·吉林·月考）已知直线，，解答下列问题： (1)如图①，则____度，与的位置关系为__________； (2)如图②，若点、在上，且满足，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若平移到如图③所示的位置．在平移的过程中，与的比值是否发生改变？若不改变，请求出其比值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，平行； (2) (3)． 【分析】（1）根据平行线的性质，求出，根据平行线的判定，即可； （2）根据平分，得到，根据，，最后根据，即可求解； （3）移动并不能改变比值关系，因为直线仍然平行，内错角仍然相等；根据平行线的性质，等量代换，可得，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （3）解：结论：与的比值不会发生改变，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型9 三角形内外角性质的应用】 【例9】如图，在中，，，平分． (1)若，，则_________； (2)计算：若，求的度数； (3)猜想：、、的关系_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出，再利用角平分线定义得，接着由得，根据三角形内角和得到，然后利用进行计算； （2）由三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，接着利用互余得到，所以，然后整理得出，将其代入计算即可． （3）同（2）得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：猜想：． ∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式9-1】如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得，即可得到； （2）根据三角形的外角性质求得，再根据，求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式9-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】如图，已知在中，，直线分别交和的延长线于点． (1)若，，求的度数． (2)选择题：与的关系是___________． A．        B． C．        D． 【答案】(1) (2)A 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质得，即可求出答案； （2）先根据三角形的外角的性质得， 再结合可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 所以A符合题意． 【题型10 构造命题并证明】 【例10】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 【变式10-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【变式10-2】在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明． 【答案】见解析 【分析】根据题意，写出已知、求证并根据同位角相等，两条直线平行即可得出结论． 【详解】已知：， 求证：． 证明：如图： ∵ ∴ ∴  (同位角相等，两直线平行) ． 【点睛】本题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 【变式10-3】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【题型11 补全证明过程缺步】 【例11】如图，，平分，与边交于点D，平分，与边交于点E． (1)依题意补全图形，并猜想的度数等于　　； (2)填空，补全下面的证明过程． 平分，平分， ，　　．（理由：　　） ， ＝　　×（∠　　+∠　　）＝　　°． 【答案】(1) (2)，角平分线定义，，，，43 【分析】（1）作出的角平分线即可； （2）利用角平分线得定义计算即可． 【详解】（1）如图， 线段即为所求．猜想． 故答案为：． （2） 平分，平分， ， （理由：角平分线的定义） ， ． 故答案为：，角平分线定义，，，，43． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟悉掌握基本知识是解题的关键． 【变式11-1】补全解答过程． 如图，，．求证：． 证明：∵ （邻补角的定义）， （已知）， ∴（ ）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】见解析 【分析】利用同角的补角相等得到，依据“内错角相等，两直线平行”得到，再利用平行线的性质得到，利用已知条件和等量代换得到，依据“同位角相等，两直线平行”得到． 【详解】证明：∵ （邻补角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式11-2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）补全下面的解答过程． 已知：如图，，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且．求证：． 证明：， __________（____________________）， 又， __________（____________________）， ____________________（____________________）， ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质得，再由，等量代换得，可证得，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， 又， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ． 【变式11-3】（24-25六年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ， ，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；（2），理由见解析，（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，构造平行线是解题的关键． （1）读懂推理过程，利用平行线的性质即可完成； （2）过点作，则得，有；由得，再由即可求得三者之间的数量关系； （3）过点作，则得，有，从而求得，进而求得；由得即可求解． 【详解】解：（1）； 过点作，如图， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：平行于同一条直线的两条直线平行 ，理由：两直线平行，内错角相等 ， ，理由：两直线平行，内错角相等 ；理由：等量代换 故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点作，如图， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； 即得三者之间的数量关系为； （3）解：过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 【题型12 多边形内角和与外角和的计算】 【例12】（24-25八年级上·重庆永川·月考）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． （1）直接根据多边形对角线公式求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【详解】（1）解：，多边形对角线为 （2）解： 解得． 【变式12-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 【变式12-2】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 【变式12-3】阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是_________． (2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？ 【答案】(1) (2)小明求的是边形的内角和, 此多边形的对角线条数为条 【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可，根据多边形的对角线的条数为，即可求解． 【详解】（1）解：多边形内角和公式为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角”， 这个“多加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形为边形， ， ， 小明求的是边形的内角和； ∴该多边形的对角线的条数为（条） 【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，多边形的对角线的条数问题，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． 【思维拓展】 【题型13 复杂图形的角度计算与证明】 【例13】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 【变式13-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 【变式13-2】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，，则______． 【答案】 【分析】过作，设，，根据角平分线的定义可得，，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，在中，利用外角性质可得，根据点位置（由在右侧推断在，右侧），可得，从而求出和，的值，最后利用角平分线和三角形内角和定理求． 【详解】解：如图，过作， 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 设，则， ∵， ∴同理可得：， ∴，即， 在中，是外角， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【变式13-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【题型14 多结论判断与逻辑推理】 【例14】如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．结论①：当为的平分线时，；结论②：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或．下列判断正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都不正确 D．①②都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折问题，平行线的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．根据折叠的性质及角平分线的定义判断结论①，分二种情况：当时和，结合折叠的性质分别计算可判定结论②求解． 【详解】解：解：∵为的平分线， ∴， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴、、三点共线， ∵ ∴，故结论①正确； 当时，如图， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为，故结论②错误； 故选：． 【变式14-1】如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质，得到，，再利用外角的性质逐个选项分别判定即可． 【详解】解： ， ， ，故选项A正确； 由，故选项B正确； ， ， ，故选项C错误； ，故选项D正确． 【变式14-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，，点，分别在射线，上移动，平分，交于点，平分，的反向延长线与交于点．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点，在射线，射线（均不与点重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键． 结论Ⅰ：由平分，，可得，可得，再由平分，可得，再判断即可； 结论Ⅱ：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； 【详解】解：结论Ⅰ： 平分，， ， ， 平分， ， 故结论Ⅰ错误； 结论Ⅱ：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，， 故结论Ⅱ正确． 故选：B． 【变式14-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，将五边形纸片分别沿折叠后，顶点恰好都落在纸片内的点P处，且是锐角，则在下列判断中，正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】题考查了翻折变换-折叠问题，多边形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质得，，于是得到，由折叠的性质得，，求得，得到，推出，得到，于是得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴ 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵是锐角， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：A． 【题型15 反证法的应用】 【例15】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 【变式15-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果在中，，那么中至少有一个角不大于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法及三角形内角和．利用三角形的内角和及反证法即可求解． 【详解】证明：假设． ， ． 在中，， ，这与矛盾． 假设不成立． 中至少有一个角不大于． 【变式15-2】用反证法证明在中至多有两个角大于． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，先假设中有三个内角大于，进而推出三个内角度数之和大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设中有三个内角大于， 则大于，大于，大于， 、、三个角之和大于， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故在中至多有两个角大于． 【变式15-3】在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)② 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】（1）证明：假设． 如图2，过点O作直线，使， （同位角相等，两直线平行） 又，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行； （2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 故答案为：② 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键． 【题型16 逻辑推理】 【例16】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 【变式16-1】（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 【变式16-2】电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母） 【答案】 A、C、E B、D、F、G. 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断， 由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷． 结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷； 由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示： 进行下一步推理： 因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷； 而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷． 因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷， 根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷． 综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷． 故答案为A、C、E；B、D、F、G. 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识. 【变式16-3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … 队 16 13 队 16 13 队 16 13 队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？ 【答案】(1)①甲队胜13场，平3场；②能，乙队胜13场、平1场、负13场，其负场数多于甲队 (2)B、D两队被降级，见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解实际问题和代数推理，找等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）①根据积分问题列出二元一次方程组，求解即可； ②根据积分问题列出三元一次方程组，求解即可； （2）根据积分问题进行推理即可； 【详解】（1）①设此时甲队胜场，平场，根据题意，得 ， 解得 答：此时甲队胜13场，平3场． ②此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下： 设此时乙队胜场、平场、负场．根据题意，得 ①-②，得：，即， 若，则，即， ，即， ， 为非负整数，． 将代入①、②可得：； 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场． （2）B、D两队被降级，理由如下： 根据最后3场比赛队得5分可知，队的比赛结果是1胜，2平； 根据最后3场比赛队一场未负得3分可知，队的比赛结果是3平； 队胜队， 队平队，队平队， 队胜队，队平队，队负队， 队得4分， 队平队，队平队，队负队， 队得2分， 队得分队得分队得分队得分， 两队被降级． 或用列表法： 各队得分 平 胜 平 队得5分 平 平 平 队得3分 负 平 胜 队得4分 平 平 负 队得2分 队得分队得分队得分队得分， 两队被降级． 【题型17 新定义与探究题】 【例17】（2025·青海西宁·一模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．根据新定义，分类讨论，或，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是准直角三角形， 或， 当， 而， ， ， ， 当， ， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式17-1】定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形三等角四边形ABCD中，，则的取值范围______． 【答案】 【分析】根据四边形的内角和是360°，且0°＜∠D＜180°，求得∠A+∠B+∠C的范围即可求解． 【详解】解：四边形的内角和是，， ， 又， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，注意到∠D的范围是解题的关键． 【变式17-2】探究一： 已知：如图（1），在中，分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 探究二： 若将改为任意四边形呢？ 已知：如图（2），在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由． 探究三：若将上题中的四边形改为六边形如图（3）所示，请你直接写出与的数量关系． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：，理由见解析；探究三： 【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，多边形内角和定理． 探究一：根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和得到与的数量关系； 探究二：根据角平分线的定义得到，再根据四边形内角和得到与的数量关系； 探究三：先求出六边形的内角和，根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和及六边形内角和求出与的数量关系． 【详解】解：探究一：，理由如下： 解：∵分别平分和， ∴， ∴， ， ， ， ； 探究二：，理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∴， ， ， ， ； 探究三：六边形的内角和为：， ∵分别平分和， ∴， ∴， ， ， ， ， 即． 【变式17-3】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）综合与探究 请结合图形，完成下列探究． 探究一：定理证明 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这一定理的证明．已知：如图1，是的一个外角，求证：； 探究二：基础应用 （2）如图2，在中，，点D在边上，交于点F，．请你求出的度数，并写出求解过程； 探究三：动态探究 （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线上运动（不与点C，O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，则的度数是________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义和平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）①当点E在点O的上方时，如图所示：    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图：    由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 定义、命题、证明（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【基础巩固】 1 【题型1 判断语句是否为命题或定义】 1 【题型2 改写命题为“如果…那么…”】 2 【题型3 找出命题条件与结论】 2 【题型4 判断命题真假】 2 【题型5 识别假命题举反例】 3 【题型6 写出命题的逆命题】 3 【题型7 基本几何证明】 4 【能力提升】 5 【题型8 综合运用平行线的判定与性质】 5 【题型9 三角形内外角性质的应用】 6 【题型10 构造命题并证明】 7 【题型11 补全证明过程缺步】 8 【题型12 多边形内角和与外角和的计算】 10 【思维拓展】 10 【题型13 复杂图形的角度计算与证明】 10 【题型14 多结论判断与逻辑推理】 11 【题型15 反证法的应用】 13 【题型16 逻辑推理】 14 【题型17 新定义与探究题】 15 【基础巩固】 【题型1 判断语句是否为命题或定义】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 【变式1-1】（25-26七年级下·湖北荆州·月考）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的内角和等于 C．表示数与字母的积的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式 D．两直线平行，内错角相等 【变式1-2】下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是____________． 【变式1-3】两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直.这个句子是_____（填“定义”或“命题”）. 【题型2 改写命题为“如果…那么…”】 【例2】（25-26七年级下·广东惠州·月考）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果____________，那么__________． 【变式2-1】将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【变式2-3】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【题型3 找出命题条件与结论】 【例3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【变式3-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题：“如果，那么的结论是___________． 【变式3-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）命题“等角的补角相等”的条件是_______． 【变式3-3】（2025七年级下·全国·专题练习）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是___________，结论是___________． 【题型4 判断命题真假】 【例4】“如果，那么．”这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【变式4-1】（25-26七年级下·山东临沂·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 【变式4-2】（25-26七年级下·广东潮州·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．直角三角形的两锐角互补 D．两个锐角的和一定是钝角 【变式4-3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题是____命题．（填“真”或“假”）． 【题型5 识别假命题举反例】 【例5】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·月考）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列选项，能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（    ） A．（为常数） B．15 C．26 D．28 【变式5-3】（25-26八年级上·河南郑州·月考）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 【题型6 写出命题的逆命题】 【例6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）写出命题“如果，那么”的逆命题：_____． 【变式6-1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【变式6-2】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【变式6-3】下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【题型7 基本几何证明】 【例7】写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 【变式7-1】如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 【变式7-2】如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【变式7-3】已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：． 【能力提升】 【题型8 综合运用平行线的判定与性质】 【例8】如图，在中，点D、E分别在、上，且，，，求的度数． 【变式8-1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，直线、、被直线所截，点为上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若比的倍大，求的度数． 【变式8-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，复兴号动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示，已知在某一时刻，，． (1)直接写出邻补角的度数_____． (2)求的度数． 【变式8-3】（25-26七年级下·吉林·月考）已知直线，，解答下列问题： (1)如图①，则____度，与的位置关系为__________； (2)如图②，若点、在上，且满足，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若平移到如图③所示的位置．在平移的过程中，与的比值是否发生改变？若不改变，请求出其比值；若改变，请说明理由． 【题型9 三角形内外角性质的应用】 【例9】如图，在中，，，平分． (1)若，，则_________； (2)计算：若，求的度数； (3)猜想：、、的关系_________． 【变式9-1】如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式9-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【变式9-3】如图，已知在中，，直线分别交和的延长线于点． (1)若，，求的度数． (2)选择题：与的关系是___________． A．        B． C．        D． 【题型10 构造命题并证明】 【例10】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【变式10-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【变式10-2】在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明． 【变式10-3】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【题型11 补全证明过程缺步】 【例11】如图，，平分，与边交于点D，平分，与边交于点E． (1)依题意补全图形，并猜想的度数等于　　； (2)填空，补全下面的证明过程． 平分，平分， ，　　．（理由：　　） ， ＝　　×（∠　　+∠　　）＝　　°． 【变式11-1】补全解答过程． 如图，，．求证：． 证明：∵ （邻补角的定义）， （已知）， ∴（ ）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【变式11-2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）补全下面的解答过程． 已知：如图，，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且．求证：． 证明：， __________（____________________）， 又， __________（____________________）， ____________________（____________________）， ． 【变式11-3】（24-25六年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ， ，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 【题型12 多边形内角和与外角和的计算】 【例12】（24-25八年级上·重庆永川·月考）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 【变式12-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【变式12-2】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【变式12-3】阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是_________． (2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？ 【思维拓展】 【题型13 复杂图形的角度计算与证明】 【例13】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 【变式13-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【变式13-2】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，，则______． 【变式13-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【题型14 多结论判断与逻辑推理】 【例14】如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．结论①：当为的平分线时，；结论②：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或．下列判断正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都不正确 D．①②都正确 【变式14-1】如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，，点，分别在射线，上移动，平分，交于点，平分，的反向延长线与交于点．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点，在射线，射线（均不与点重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【变式14-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，将五边形纸片分别沿折叠后，顶点恰好都落在纸片内的点P处，且是锐角，则在下列判断中，正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型15 反证法的应用】 【例15】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【变式15-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果在中，，那么中至少有一个角不大于． 【变式15-2】用反证法证明在中至多有两个角大于． 【变式15-3】在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【题型16 逻辑推理】 【例16】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【变式16-1】（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 【变式16-2】电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母） 【变式16-3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … 队 16 13 队 16 13 队 16 13 队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？ 【题型17 新定义与探究题】 【例17】（2025·青海西宁·一模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 【变式17-1】定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形三等角四边形ABCD中，，则的取值范围______． 【变式17-2】探究一： 已知：如图（1），在中，分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 探究二： 若将改为任意四边形呢？ 已知：如图（2），在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由． 探究三：若将上题中的四边形改为六边形如图（3）所示，请你直接写出与的数量关系． 【变式17-3】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）综合与探究 请结合图形，完成下列探究． 探究一：定理证明 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这一定理的证明．已知：如图1，是的一个外角，求证：； 探究二：基础应用 （2）如图2，在中，，点D在边上，交于点F，．请你求出的度数，并写出求解过程； 探究三：动态探究 （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线上运动（不与点C，O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，则的度数是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $