10.3 实际问题与二元一次方程组 同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

实际问题与二元一次方程组 一、单选题 1．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，设该店有客房间x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少?设有x人，物品的价格为y钱，可列方程（组）为（    ） A． B． C． D． 4．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 7．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 8．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 10．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 二、填空题 11．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 12．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 三、解答题 13．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 14．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 15．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 16．“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实际问题与二元一次方程组 一、单选题 1．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，设该店有客房间x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系即可列出方程组． 【详解】解：设该店有客房间，房客人， ∵每间客房住7人时，有7人无房可住，总房客人数等于间房住的人数加上无房的7人， ∴可得方程， ∵每间客房住9人时，空出一间房，实际只有间房入住客人， ∴可得方程， 因此所列方程组为． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设木条长尺，绳子长尺． ∵用整根绳子量木条，绳子剩余尺，说明绳子长度比木条长多尺， ∴可得方程， ∵将绳子对折后量木条，木条剩余1尺，说明木条长度比对折后的绳子长度多1尺，对折后绳子长度为 ， ∴可得方程 ． ∴可列方程组． 3．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少?设有x人，物品的价格为y钱，可列方程（组）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题要求根据题意列方程组，设有人，物品价格为钱，根据两种出钱方式中物价不变，分别找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵设有人，物品价格为钱， 当每人出8钱，剩余3钱，总出钱数减去剩余钱数等于物价，可得， 当每人出7钱，差4钱，总出钱数加上还差的钱数等于物价，可得， ∴可得方程组 ． 4．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 5．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 6．一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 7．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组．根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 8．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 9．如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 10．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 二、填空题 11．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 12．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 三、解答题 13．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 14．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 15．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 16．“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价． 【答案】“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元 【分析】设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据“购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据题意得： ， 解得， 答：“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $