精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2025——2026学年度下学期九年级第一次学情自测数学试题

大庆市第六十九中学 2025-2026学年度下学期九年级月考 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于负数的是（ ） A. 2026 B. 0 C. D. 2. 健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算一定正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 正六边形的每个内角为 C. 数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4 D. 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小 7. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为函数上一点，，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 因式分解：=______． 13. A，B，C，D是直线l上顺次的四个点，在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是_______． 14. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 15. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 16. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______． 17. 如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 18. 如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为______． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 22. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 23. 从今年起，我市生物和地理会考实施改革，考试结果以等级形式呈现，分A、B、C、D四个等级．某校八年级为了迎接会考，进行了一次模拟考试，随机抽取部分学生的生物成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)这次抽样调查共抽取了　 　名学生的生物成绩．扇形统计图中，D等级所对应的扇形圆心角度数为　 　°； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果该校八年级共有600名学生，请估计这次模拟考试有多少名学生的生物成绩等级为D？ 24. 如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元． （1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元； （2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝． （1）求k的值． （2）连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标． 27. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第六十九中学 2025-2026学年度下学期九年级月考 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于负数的是（ ） A. 2026 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负数的概念，解题的关键是明确负数是小于的数，据此对各选项逐一判断． 【详解】解：A、，是正数，此选项不符合题意； B、既不是正数也不是负数，此选项不符合题意； C、，是正数，此选项不符合题意； D、，是负数，此选项符合题意． 故选：D． 2. 健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将4900写成的形式即可，其中，n为正整数． 【详解】解：4900的小数点向左移动3位得4.9， 因此， 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是确定中a和n的值． 3. 下列计算一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； ． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形. 故选：A. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 正六边形的每个内角为 C. 数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4 D. 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质，正多边形内角公式，众数的定义，方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键，利用以上知识点逐一分析判断即可得到答案． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角（如平行线的同位角），故此项错误； B、 正六边形内角和为，每个内角为，故此项错误； C、数据中出现次数最多的数为5，故众数为5，故此项错误； D、方差反映数据波动程度，方差越大波动越大，方差越小波动越小，故此项正确． 故选：D． 7. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 8. 如图，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为函数上一点，，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，熟练掌握该知识点是关键． 先求出点B坐标，根据平行得到直线表达式为，再设点C坐标为，则，由中点坐标公式列出方程解出m值，即可得到k值． 【详解】解：直线解析式为， ∴当时，， 解得 ， ， ， 直线的解析式为， 设点C坐标为， ∵点D恰好是的中点， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， 点D恰好是的中点， ， 解得， ． 故选：D． 9. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 10. 定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的变函数． 例如：函数，它的变函数解析式为则关于函数，该函数图像经过点， 该抛物线的对称轴为直线； ②当，时，； ③若点、均在抛物线上，则的最小值为； ④若是的变函数，的函数图像仍然关于直线对称； ⑤若是的变函数，直线与的函数图像恰好有两个交点时，， 则其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题是二次函数新定义综合题，先根据已知点坐标推导出，得到的解析式，再逐一判断每个结论，结合变函数定义分析即可． 【详解】解：∵经过点， ∴， 整理得， ∴， ①对称轴为直线，故①正确； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在范围内，顶点在对称轴处，函数取得最大值，离对称轴距离最远，函数取得最小值， 当时，，为最大值 当时，，为最小值 ∴，故②正确； ③∵点在抛物线上 ∴， ∴ ∵， ∴的最小值为，故③正确； ④根据定义， 取，它关于的对称点为， 当时，，当时， ∵， ∴， 故不关于对称，④错误； ⑤时，，顶点为， 当时，直线与恰好有个交点；当时，直线也恰好与有个交点，故⑤正确； 综上，正确结论共个． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 12. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 13. A，B，C，D是直线l上顺次的四个点，在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．首先根据题意画出列表，然后由表格求得所有等可能的结果与两点不相邻的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得， A B C D A B C D 共有12种等可能，两点不相邻的情况有，共6种， ∴在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是， 故答案为：． 14. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 15. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 16. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 17. 如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 18. 如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】在长方形中，求出，，设，用勾股定理可得，可得，用勾股定理可得最小值． 【详解】解：在长方形中，，， ，， 设，则，， 在中， ，， ， 在中，， ， 在中， ， ， 如图：设，，，，，， 则，， 由图可知，当、、共线时，最小，最小值为的长， 过作交延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，， ， 最小值是4， 最小值是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形中的最短路径问题，解题的关键是设，用含的代数式表示，再构造数学模型用勾股定理即可求得答案． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握正确化简分式． 先将括号里面的通分，再作除法，化简分式后，再将代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 21. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 22. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】（1）试管口与铁杆的水平距离的长度为 （2）导气管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 23. 从今年起，我市生物和地理会考实施改革，考试结果以等级形式呈现，分A、B、C、D四个等级．某校八年级为了迎接会考，进行了一次模拟考试，随机抽取部分学生的生物成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)这次抽样调查共抽取了　 　名学生的生物成绩．扇形统计图中，D等级所对应的扇形圆心角度数为　 　°； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果该校八年级共有600名学生，请估计这次模拟考试有多少名学生的生物成绩等级为D？ 【答案】(1)50；36； (2)如图所示： (3)60 【解析】 【分析】(1)根据等级A的人数所占的百分比求抽取的人数，由等级D占抽取人数的比乘以360°求解； (2)计算等级D的人数后，补充条形图； (3)根据等级D占抽取人数的比乘以600求解. 【详解】解：(1)这次抽样调查共抽取了15÷30%=50名学生的生物成绩， 扇形统计图中，D等级所对应的扇形圆心角度数为×360°=36°， 故答案为50；36. (2)50-15-22-8=5， (3)×600=60. 所以估计这次模拟考试有60名学生的生物成绩等级为D． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， E为的中点，， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用上述知识是解题的关键． （1）利用等角对等边，得到，即可证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）过点作，解直角三角形求得，再利用相似三角形的性质求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元． （1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元； （2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元 （2）当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元 【解析】 【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解； （2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元， 根据题意得，， 解得， 故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元； 【小问2详解】 解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元， 根据题意得， ， ∵， ∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元． 【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝． （1）求k的值． （2）连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标． 【答案】（1）4 （2）点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，） 【解析】 【分析】（1）由AB＝，tan∠BAO＝可求出BO，AO的长度，B为AP的中点，则BO为△PAC中位线，从而求出点P的坐标，进而求解． （2）若S△BQP＝S△BCP，则两三角形底同底等高，即C，Q所在直线与AB所在直线平行，从而求出经过点C解析式然后联立方程求出交点，再由对称性求出另一个交点． 【小问1详解】 ∵tan∠BAO＝＝， ∴AC＝2PC， ∵点B为AP中点， ∴BO为△PAC中位线，点O为AC中点， ∴AP＝2AB＝2， 在Rt△PAC中，由勾股定理得：AP2＝PC2+AC2， ∴20＝5PC2， ∴PC＝2，AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴点P坐标为（2，2）， ∴k＝2×2＝4． 【小问2详解】 ∵AO＝OC＝2，BO＝PC＝1， ∴点A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，1）， 设AB所在直线为y＝kx+b，把（﹣2，0），（0，1）代入解析式得： ， 解得， ∴y＝x+1， 过点C作平行于AB的直线y＝x+n， 把C（2，0）代入y＝x+n得n＝﹣1， ∴y＝x﹣1， 联立方程， 解得或（舍）， ∴点Q坐标为（4，1）， 直线y＝x﹣1由直线y＝x+1向下平移2个单位所得， 当点Q在点P上方时，由对称性可得点Q在直线y＝x+1+2即y＝x+3上， 联立方程， 解得或（舍） ∴点Q坐标为（﹣3+，）， 综上所述，点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，）． 【点睛】本题考查反比例函数，一次函数与解直角三角形的综合应用，解题关键是由三角形面积相等并且同底找出点Q所在直线解析式． 27. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 【答案】（1） 连接，，如图： ∵， ∴， ∵四边形内接于，为的直径， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， 即是的切线； （2）连接，如图： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）6 【解析】 【分析】（1）连接，，根据圆心角，弦，弧的关系可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，半径相等可得，根据等腰的判定可得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据平行线的判定和性质可得，即可证明； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求证； （3）令与交于点，根据正弦的定义可求得，，根据勾股定理可求得，，根据矩形的判定和性质可得,，根据相似三角形的判定和性质可求得,即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令与交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ 即， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了圆心角，弦，弧的关系，直径所对的圆周角是90度，圆内接四边形的性质，等腰的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行线的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 【答案】（1）； （2）点P的坐标为． （3）时，直线l与“心形图”有交点． 【解析】 【分析】（1）求出，再代入求出即可； （2）设，过点P作于点M，过点P作轴交于点N，求出，得出，根据二次函数性质求出结论即可； （3）当直线l与抛物线只有一个交点时，求出，再根据对称性求出当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点，进而求出结论． 【小问1详解】 解：一次函数与x 轴分别交于点A、B两点， 当时，；当时，； 则， 把代入： 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设， 过点P作于点M，过点P作轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大为， 此时点 ∴点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：当直线l与抛物线只有一个交点时， 令，即， 则， ∴， ∴， ∴当时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点， 此时直线l与y轴交点， ∵直线l解析式的k值与直线解析式的k值相同，为， ∴直线l与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称，且直线可知： ∴上方直线l到直线的距离与下方直线l到直线的距离相等， 设下方直线l与轴交点为点E， 根据平行线分线段成比例可得， ， ， ，即， ∴当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线l与“心形图”有交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $