江苏宜兴市官林中学2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试题

官林中学2023级高三下学期第一次阶段性测试 数学试题 2026.04.14 班级_________ 姓名_________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 4. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（ ） A. －3 B. －1 C. 0 D. 1 5. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 6. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 8. 在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数，则正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的值域为 D. 是图象的一个对称中心 10. 设，为常数，则正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为110 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 13. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分) 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：；（2）若的面积为，证明为等边三角形. 16. (15分) 如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. （1）证明：平面；（2）设点Q在棱上，当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大，并求最大值. 17. (15分) 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； （2）为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 18. (17分) 已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e；（2）若，且上存在一点P，满足，求m； （3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 19. (17分) 已知函数 （1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $