第一单元《公因数和最大公因数》（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学西南大学版

《公因数和最大公因数》教学设计 教学目标 1.理解公因数、最大公因数的概念，掌握用列举法、短除法找两个数最大公因数的方法，能找出特殊关系数的最大公因数。 2.通过动手操作、观察对比，经历探究公因数和最大公因数的过程，培养抽象概括和解决实际问题的能力。 3.感受数学与生活的联系，体验探究的乐趣，培养合作交流的意识。 教学重难点 重点：理解公因数和最大公因数的含义，掌握找两个数最大公因数的方法。 难点：能熟练运用短除法找最大公因数，能运用最大公因数解决实际问题。 教学准备：多媒体课件、长30cm宽12cm的长方形纸片、正方形纸片若干 二、教学过程 （一）复习引入 师：1.前面我们学习了因数，你能找出12和30的所有因数吗？开始吧！ 找完后现在我们一起来回答。 12的因数有：1，2，3，4，6（板书） 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30（板书） 2. 师：比较12和30的因数你有什么发现？ 生答：12和30都有相同因数1、2、3、6（板书圈出来） 师：没错，12和30都有相同的因数，1、2、3、6既是12的因数又是30的因数，也就是说1.2.3.6.是12和30的公因数，今天我们就来研究两个数的公因数和最大公因数。 （二）探究新知 1.出示例1,师：你能找出题中的数学信息？（生：我找到的信息是：有一张长30cm，宽12cm的长方形纸，要剪成大小相等的正方形，而且没有剩余，问题是：求这个正方形的边长最大是多少cm？） 3.师：这里“剪成大小相等的正方形且没有剩余”是什么意思？ 生：剪的正方形大小相等，而且长边和宽边的纸 剪完没有剩余（录音） 师：那么这个正方形的边长可以是多少呢？下面我们进行小组活动，用准备好的长方形纸片动手剪一剪，开始吧（停顿两秒） 师：都完成了吗？我们请几个小组来汇报一下 生1：我们小组剪成的是边长为1cm的正方形，剪了12排，一排剪30个，没有剩余。 生2：我们小组剪成的是边长为2cm的正方形，剪了6排，一排剪15个，没有剩余。 生3：我们小组剪成的是边长为3cm的正方形，剪了4排，一排剪10个，没有剩余。 生4：我们小组剪成的是边长为6cm的正方形，剪了2排，一排剪5个，没有剩余。 师问：不错，每个小组都有自己的剪法，通过剪一剪的活动我们就可以看出，剪出的正方形边长最大可以是6厘米。 那再来看看我们剪成的正方形边长的1cm、2cm、3cm、6cm中的数字1、2、3、6与12和30有什么关系呢？ 生：我发现我们剪出正方形的边长的长度1cm、2cm、3cm、6cm中的数字1、2、3、6都是12和30共同的因数。（录音） 师：对了，要使剪出正方形大小相等且没有剩余，正方形边长必须既是12的因数又是30的因数。也就是12和30共有的因数。 师：12和30的共有的因数我们还可以用集合圈的方式来表示。请看，你能把12和30的因数正确填到集合圈吗？ 12的因数，师：这几个数是12的因数，30的因数，师：这是30的因数。 师：中间的部分1、2、3、6是既是12的因数又是30的因数，就是12和30公有的因数。（这里要板书，先写好，然后贴）左边4和12就是12独有的因数，右边5、6、15、30就是30独有的因数。 师：现在我们重点来观察：1、2、3、6是12和30的公有的因数，叫做它们的公因数，谁最大呢？6，对6是公因数中最大的一个，就是12和30的最大公因数。板贴。 师：知道了公因数和最大公因数，现在来观察最大公因数6与其余的公因数有什么联系？ 生A:我发现，全部公因数1、2、3、6都是最大公因数6的因数 生B:我发现最大公因数6是全部公因数1、2、3、6的倍数。 师：为什么我们要找两个数的最大公因数呢？ 生：因为找到了两个数的最大公因数，就找到了这两个数所有的公因数 师：像刚才我们求“正方形边长最大是多少？”，实际上就是求12和30的最大公因数！ 师：刚才我们先找出了12和30的因数，再观察比较12和30的因数，找到了他们的公因数和最大公因数，这就是数学中的列举法 可不可以利用前面所学的用短除法把一个数写成质数相乘的形式，来求两个数的最大公因数呢？请试一试。 师：我们来看这个同学写的。生汇报，师贴板书。（这里录音）短除法略 12=2×2×3 30=2×3×5 生：我发现在12和30相乘的质数中，有相同的因数2和3，把2和3相乘就得到了12和30的最大公因数 6. 师：说得太棒了！你们通过观察比较 ，把一个数写成质数相乘的形式也能求出两个数的最大公因数。 不过，老师有个想法，能不能把这两个短除式合成一个呢？接下来，我们来学习用短除法来求两个数的最大公因数。 师：1.首先我们把12和30放在一个短除号里，找到它们共同的公因数2，用12和30除以公因数2，分别得6和15写在下面。 2.再找6和15的公因数3，用6和15同时除以3，分别得到2和5，写在下面。 3.观察2和5，它们只有公因数1，这时候就不能再除了。 4.最后把短除号左边所有公因数相乘，2 ×3 = 6，所以12和30的最大公因数是6（板书） 师：现在我们回过头来观察比较用短除式和用质数相乘的形式来求最大公因数的方法，你有什么发现？ 生：我发现 师：这样看来，用短除法来求两个数的最大公因数更简洁，更美观！那你们会求两个数的最大公因数了吗？老师考考大家， 出示要求：求8和12的最大公因数 对8和12的最大公因数是2×2=4 探索特殊的情况 师：下面老师再来考考大家，找出下面各组数的最大公因数 师：完成了我们一起来检查一下，你都做对了吗？ 师：请观察下面每组数的最大公因数，你有什么发现？ 生：可以分为两类，哪些分为一类（点） 师：我们先来看看这一类，为什么是一类？有什么特点吗？ 生：（点PPT圈出来） 师：这其中有什么道理吗？ 生：我认为是有道理的。。。。。 师：我们再来看看这一类，最大公因数只有一，又有什么特点呢？ 生： 总结：对，如果只有公因数1的两个数（互质数），最大公因数是1。如果两数是倍数关系，其中较小数就是这两个数的最大公因数。 注意：像上面这两种特殊情况，求最大公因数时，可以不写短除法，直接写出结果就行！ （三）巩固应用 教师出示问题：16个橘子、20个苹果，要放到篮子里，每个篮子里既放橘子又放苹果，且橘子个数相同、苹果个数相同，最多需要多少个篮子？请大家用今天学的知识解决这个问题。 学生独立解答，教师巡视指导。 教师提问8：谁来说一说你的解题思路和结果？ 预设学生回答：每个篮子里既要装苹果，又要装橘子，而且不能有剩余，说明篮子的个数必须是16和20的因数。要问最多要几个篮子，就是求16和20的最大公因数。你能试一下吗？ 教师课件演示：验证短除法过程（16和20同除以2得8和10，再同除以2得4和5，4和5只有公因数1就不除了，最后把因数乘起来，2×2=4就是篮子的个数。），肯定学生的思路。 （四）课堂总结 教师提问：今天我们学习了公因数和最大公因数，谁能说一说这节课你有哪些收获？另外，回忆一下，我们今天的学习经历了哪些探究过程？ 预设学生回答： 收获：知道了什么是公因数和最大公因数，会用列举法、短除法找最大公因数，还知道了特殊关系数的最大公因数的规律，能解决相关的实际问题。 探究过程：先找出12和30的公因数，再发现公因数的特点，找出最大公因数，然后学习用短除法找最大公因数，最后用知识解决问题。 教师梳理小结：今天我们从复习因数出发，通过动手操作找到了公因数和最大公因数的含义，又学习了短除法这个简便方法，还发现了特殊数的最大公因数的规律，最后用这些知识解决了生活中的实际问题。数学知识和生活联系紧密，希望大家能学以致用。 只有公因数1的两个数（互质数），最大公因数是1。 三、板书设计 公因数和最大公因数 12的因数：1、2、3、4、6、12 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30 （这里放集合圈） 1、2、3、6是12和30的公有的因数，叫做它们的公因数，其中，6是最大的一个公因数，叫做它们的最大公因数。 （这个放在黑板右边） 短除法求最大公因数 Plain Text 2 |12 30 ------- 3 | 6 15 ------- 2 5 生：我发现。这个短除式中的除数2和3 就是上面的公因数，而剩下的商2 是12独有的因数，剩下的商5 是30独有的因数。所以我们就把这个短除式中两个除数 2和3相乘 就得到了12和30的最大公因数 6。所以我们就在短除式的下面写出 12和30的最大公因数是2×3=6 18 学科网（北京）股份有限公司 $