13.3.2空间图形的体积（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

13.3.2 空间图形的体积 第十三章 立体几何初步 学 习 目 标 1 2 3 掌握柱体、锥体、台体的体积公式，理解三者公式之间的内在联系与转化关系； 掌握球的体积公式与球的表面积公式，理解公式的推导思路； 能运用体积公式计算简单几何体的体积，掌握割补法求解组合体的体. 新课导入 上节课我们学习了空间图形的表面积，计算表面积的核心思想是什么？ 空间问题平面化，侧面展开为平面图形. 在小学和初中，我们已经知道长方体的体积为分别表示长方体的底面积和高乘积． 能否以长方体体积公式为基础，推导出其他空间图形的体积公式？ 这就是本节课学习的主题——空间图形的体积 探究一：柱、锥、台和球的体积 类比长方体的体积计算公式，能否推测出其他几何体的体积？ 新知探究 棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到 因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积. 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 的积，即 新知探究 锥体的面积又该如何计算呢？ 由演示可知，一个三棱柱可以分割为三个体积相等的三棱锥 因此三棱锥的体积是等底同高三棱柱体积的 底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等. 由于底面积为 ，高为 的三棱锥的体积为 新知探究 台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算. 如果台体的上、下底面面积分别为 ，，高是 可以推得它的体积是 新知探究 柱体、锥体与台体的体积公式有没有什么联系呢？ ①当台体的上底面逐渐扩大到与下底面相等时，台体变为柱体. ②当台体的上底面逐渐缩小为一个点时，台体变为锥体. 因此它们之间的关系为： 新知探究 一个底面半径和高都等于 的圆柱 挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后 所得几何体的体积与一个半径为 的半球的体积相等. 由此得到 所以 知识小结 柱、锥、台和球的体积 1. 柱体： 2. 锥体： 3. 台体： 转化关系：柱体 台体 锥体 4.球的体积： 9 探究二：球的表面积 与其他几何体比起来，球比较特殊，我们该如何计算球的表面积？ 新知探究 设想一个球由许多顶点在球心、底面都在球面上的“准锥体”组成 这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形 但只要这些准锥体的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥. 这时，这些准锥体的高趋近于球的半径 底面积，，，的和趋近于球的表面积. 新知探究 所有这些“准锥体”的体积的和趋近于球的体积，因此 所以 它表明球的表面积是球的大圆面积的4倍. 典例分析 例1 已知正四面体 的各棱长均为 ，求它的体积. 【分析】解答本题的关键是求出这个四面体的高，可按“作、证、算”的步骤完成. 解：如图 ，设点 是点 在底面 内的射影. 因为 为正三棱锥，所以点 为正三角形 的中心. 连接 并延长交 于点 ，则 为 的中点. 因为 所以 . 因此，. 典例分析 典例分析 例2 如图,计算等边圆柱(底面直径与高相等)及其内切球的体积和表面积. 【分析】通过圆柱和球的轴截面分析等量关系. 解:设圆柱的内切球 的半径为, 作出圆柱和球的轴截面 ,可知圆柱的底面半径为 ,高 因此，圆柱的体积为 圆柱的表面积为 ; 圆柱的内切球的体积为,圆柱的内切球的表面积为 题型1 柱体的体积 巩固提升 1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据圆柱的体积公式计算可得结果. 【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是， 所以该圆柱的体积为. C 题型2 台体的体积 巩固提升 2.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用台体的体积公式直接计算即可． 【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为． 故选：C． C 题型3 锥体的体积 巩固提升 3.已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________. 【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 题型4 锥体、台体、柱体间的体积公式的联系 巩固提升 4.已知正三棱柱的底 面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D． 【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解. 【详解】正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为， 棱柱的底面面积为：． 棱柱的体积为：． 由三棱锥的体积的推导过程可知： 三棱锥的体积为：． C 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 空间图形的体积 课堂小结 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 1. 柱、锥、台的体积公式 ● 柱体（棱柱、圆柱）：V = Sh (其中 S 为底面积，h 为高)。 ● 锥体（棱锥、圆锥）：V = 1 3 Sh。 ● 台体（棱台、圆台）：V = 1 3 (S + √SS' + S')h。 2. 球的体积、表面积与祖暅原理 ● 球的体积公式：V = 4 3 πR³。 ● 球的表面积公式：S = 4πR²。 ● 祖暅原理：幂势既同，则积不容异。即：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 ⚠️ 逻辑陷阱与计算误区 易错点 1 忽略锥体公式中的系数 在计算棱锥或圆锥体积时，最常犯的错误是忘记乘以系数 13 。务必在列式时首先写下系数。 易错点 2 混淆“高”的定义 体积公式中的 h 始终指几何体的垂直高度。在圆锥或正棱锥中，容易错误地使用母线或斜高进行计算。 易错点 3 组合体体积的重复或遗漏 计算组合体体积时，应明确是“相加”还是“相减”。与表面积不同，体积计算通常不涉及重合面的扣除，但需注意内部空心部分的减除。 💡 核心解题模型 技巧 1 等体积转化法 当直接求几何体的高或底面积较难时，可以变换底面（换底法）。例如：三棱锥的体积计算中，任意一个面都可以作为底面。 技巧 2 补形法（割补思想） 将不规则几何体补成规则几何体（如长方体、正方体）。例如：墙角处的三棱锥可以补成一个长方体，其体积为长方体体积的 16 。 技巧 3 比例性质的应用 利用相似比与体积比的关系：若两个相似几何体的相似比为 k，则它们的面积比为 k²，体积比为 k³。 $