13.2.2 空间两条直线的位置关系（第2课时）（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦“空间两条直线的位置关系（第2课时）异面直线”，核心内容包括异面直线的判定定理、所成角的定义与计算及异面垂直。课堂导入通过复习上节课空间直线的三种位置关系，引出判定异面直线及刻画其倾斜程度的问题，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过反证法证明判定定理培养逻辑推理（数学思维），平移法求角发展几何直观（数学眼光），符号表示与“一作二证三求”步骤强化数学语言。结合正方体、四棱台等模型的典例与训练，助力学生提升空间观念，教师可借助清晰流程高效教学。

13.2.2 空间两条直线的位置关系 第十三章 立体几何初步 （第2课时）异面直线 学 习 目 标 1 2 3 掌握异面直线的判定定理，能运用定理和反证法证明两条直线是异面直线； 理解异面直线所成角的定义，掌握其取值范围，能熟练运用 平移法 在正方体、长方体中求异面直线所成的角； 理解异面直线垂直的定义，能判断空间中异面直线的垂直关系，区分 共面垂直 与 异面垂直. 新课导入 上节课我们学习了空间两条直线的三种位置关系，分别是什么？异面直线的定义是什么？ 位置关系：相交、平行、异面； 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线 本节课我们就来解决两个核心问题： (1)如何简便判定两条直线是异面直线？ (2)如何刻画异面直线的相对倾斜程度？ 根据定义，如何证明两条直线是异面直线？ 新知探究 探究一：异面直线的判定定理 如图，在长方体中，可以直观地看出直线与是异面直线，那我们该如何证明呢？ 证明：假设与共面，由于经过点和直线的平面只有一个（平面） 于是点在平面内 这与“点在平面外”矛盾 因此，直线与是异面直线。 所以直线和都应在平面内 结合以上证明过程，你能总结出异面直线判定定理吗？ 新知探究 异面直线判定定理： 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 符号表示： 若，则直线与是异面直线。 即时训练 1.如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条  . 【分析】根据异面直线的定义可得. 【详解】在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与重合的有一条，即直线； 与平行的有三条，即直线； 与相交的有四条，即直线； 所以与异面的有四条，分别是直线. 4 知识小结 异面直线的判定定理 1.定义法：反证法(假设推矛盾得结论) 2.判定定理： 过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线 符号：与异面 7 新知探究 探究二：异面直线所成的角 相交直线的倾斜程度用夹角刻画，平行直线没有夹角，那么异面直线既不相交也不平行，如何刻画它们的相对倾斜程度？ 过空间任意一点 ，作直线 , 由等角定理可知： 与 的夹角就是异面直线 与 的夹角。 新知探究 异面直线的夹角： 经过空间任意一点 ，作直线 , ，我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫作异面直线 所成的角（或夹角）. 取值范围：（即 ） 特殊情况：若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直 记作 典例分析 例1 【分析】(1) 利用异面直线 “不相交、不平行” 的定义，排除与BC1​相交、平行的棱，得到异面直线；(2) 利用正方体棱的垂直关系证明线线垂直；(3) 通过平移直线将异面直线夹角转化为平面角求解。 已知 是棱长为 的正方体 (如图). (1) 正方体的哪些棱所在的直线与直线 是异面直线? (2) 求证直线 与 垂直. (3) 求直线 与 的夹角. 解： (1) 正方体共有 12 条棱, 与 相交的棱有 6 条, 与 平行的棱不存在. 因此余下的 6 条棱所在直线分别与直线 是异面直线 它们是 , , , , , . 典例分析 (2) 因为 所以 与 的夹角就是 与 的夹角. 因为 所以 (3)连接,因为, 所以四边形是平行四边形，故, 从而 与 的夹角就是 与 的夹角. 连接 因为与都是正方体的面对角线， 所以故 是正三角形. 因此与的夹角为 60°,即与的夹角为 60°. 知识小结 异面直线所成的角 ①定义：平移转化为相交直线的锐角或直角 ②范围： ③特殊：夹角为→异面直线垂直，记作 ④求解步骤：一作→二证→三求 12 即时训练 2.异面直线所成的角为，过空间一点P作直线，使与所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】数形结合把平移到点处，则与所成的角都为的直线有2条. 【详解】过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且 这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于 综上，满足条件的直线的条数为2. C 即时训练 3.直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. B 巩固提升 题型1 异面直线的判定 1.如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有多少条？ 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线 巩固提升 题型1 异面直线的判定 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 巩固提升 题型2 异面直线所成的角概念与辨析 2.在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是多少？ 【分析】取的中点，连接，由线线角的定义找到与、与所成角的平面角，根据已知求与所成角的大小. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 所以且，且， 综上，或其补角为与所成的角，或其补角为与所成的角. 巩固提升 ∵AB与所成的角为 或， 由，知 则为等腰三角形， 当时，； 当时，， 故与所成角的大小为或75°. 题型2 异面直线所成的角概念与辨析 巩固提升 题型3 证明异面直线垂直 3.如图，正方体，求证：． 【分析】利用异面直线所成的角是即可证明异面直线垂直. 连接,,因为正方体,所以. 又是的中点,所以,所以. 【详解】证明:如图,连接,交于,设的中点为,连接,则 所以与所成的角即为与所成的角． 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 苏教版必修二 异面直线及其位置关系 1. 知识点回顾 2. 易错点警示 3. 解题技巧 知识点回顾 一、异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 特点：既不平行，也不相交。 二、异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。 三、异面直线所成的角 1. 定义：通过平移使两条异面直线相交，所成的锐角（或直角）。 2. 范围：θ ∈ (0, 90°]。 易错点警示 ⚠️ 概念误区：异面直线的判定 “不同在某个平面内”不等于“异面”。必须是“不存在任何一个平面能同时包含它们”。 ⚠️ 垂直关系的传递性 在空间中，垂直关系不具有传递性。若 a ⊥ b 且 b ⊥ c，则 a 与 c 可能平行、相交或异面。 ⚠️ 角度范围的开闭 异面直线所成角的范围是 (0, 90°]，注意不包含 0°（因为异面直线不平行）。 解题技巧 💡 技巧 1：平移法（一作二证三算） 求异面直线所成角的标准步骤： 作：通过平移构造相交直线（常用中位线、平行四边形）。 证：证明所作的角即为异面直线所成的角。 算：在三角形中利用余弦定理或勾股定理求解。 💡 技巧 2：补形法（数形结合） 将异面直线置于正方体、长方体或四面体等几何体中，利用几何体的平行关系进行平移，使问题直观化。 💡 技巧 3：向量法 设两条异面直线的方向向量分别为 m 和 n，则异面直线所成角 θ 满足： cos θ = | m · n | | m | | n | $