专题01 一元一次不等式（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 一元一次不等式 思维导图 串 考点清单 理 知识点1 不等式及其性质 1.概念 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 2.常见的不等号及其含义 符号 名称 读法 表示意义 大于号 大于 左边的量大于右边的量 小于号 小于 左边的量小于右边的量 大于或等于号 大于或等于,即不小于 左边的量不小于右边的量 小于或等于号 小于或等于,即不大于 左边的量不大于右边的量 不等号 不等于 表示两边的量不相等，但未明确哪边的量大 【特别提醒】(1)不等式可以是表示数的大小不等的式子，也可以是表示数量关系的大小不等的式子,即不等式中不一定含有未知数.(2)不等号具有方向性，其左右两边的式子不能随意交换. 3.不等式的性质 不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 不等式性质2 如果，那么． 不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 核心笔记 不等式、等式的基本性质的联系与区别 (1)联系:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,都乘以(或除以)同一个正数，等式仍然成立. （2）区别：①不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，等式仍然成立； ②不等式中，如果，那么；等式中，如果，那么． 知识点2 一元一次不等式 1.不等式的解的定义 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 2.一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 3.不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 4.不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 5.解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式,解不等式的主要依据是不等式的性质,在运用不等式的性质进行解题时,应特别注意:不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号方向改变;不等式两边不能同乘0,否则不等式就变为等式了. 6.解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 知识点3 一元一次不等式的应用 1.一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点4 一元一次不等式组 1.概念 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫作一元一次不等式组． 如 等都是一元一次不等式组，而 不是一元一次不等式组． 总结： （1）一元一次不等式组是由一元一次不等式组成的，组成不等式组的一元一次不等式必须都是关于同一个未知数的不等式； （2）不等式组中不等式的个数至少是 2 个，也可以更多． 2.不等式组的解集和解不等式 （1）不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 【重要提醒】公共部分是指同时满足不等式组中任何一个不等式的解集的部分. （2）求不等式组的解集的过程叫作解不等式组 （3）利用数轴确定不等式组的解集的步骤 步骤 操作内容 第1步 画数轴 第2步 在同一数轴上，分别表示几个一元一次不等式的解集 第3步 确定公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，则此不等式组无解 （4）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情况 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 【特别提醒】 数轴是确定一元一次不等式组的解集的有效工具.利用数轴表示不等式时，要注意两点: (1)定边界点:一般在数轴上只标出原点和边界点即可.当不等式组中含有“>”或“<”时,边界点处用空心圆圈.当不等式组中含有“≥”或“≤”时,边界点处用实心圆点. (2)定方向:原则是“小于向左，大于向右”. 3.不等式组的解法 解一元一次不等式组的一般步骤: ①求出不等式组中各个不等式的解集,并分别在数轴上表示； ②确定各个不等式解集的公共部分,得到不等式组的解集. 【重要提醒】 不等式组的解集必须是不等式组里每个不等式解集的公共部分,因此,利用同一数轴表示各个不等式的解集,然后正确找到公共部分是解题的关键 知识点5 一元一次不等式组组的应用 1.一元一次不等式组组的应用 对含有不等关系的应用题,可以考虑通过列不等式或不等式组来解,它的方法、步骤和列方程解应用题类似.列不等式(组)解应用题,求出的通常是一个量的某一个取值范围,但当所求的量必须属于整数集或整数集的某一部分时,求得的解有可能是有限个量,甚至是唯一的值 2.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： （1）一元一次不等式组的应用列一元一次不等式(组)解决实际问题，其关键是寻找题目中的不等关系.不等关系可分为两类:一是题目中的关键词语,如“大于”“小于”“至多”“至少”“超过”“不超过”等，直接根据关键词语表示不等关系;二是没有明显的关键词语，要在充分理解题意的基础上，提炼出具有不等关系意义的量,列出不等式. （2）求实际问题中方案的种类或最大值(最小值)问题的方法:常通过求不等式(组)的解集，分类讨论找出答案，即先根据题意，设出未知数，列出不等式(组)，求出相应的取值范围，再根据题目的条件分类讨论，写出答案. 题型清单 解 不等式的定义（共3小题） 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件：_________． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积___________ 一元一次不等式的定义（共3小题） 【例2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________． 列一元一次不等式（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·上海·期中）“x的2025倍比y小”用不等式表示为______． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）的与的差不小于2，用不等式表示为______． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）8与的3倍的和不大于2，用不等式表示为______． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______． 求一元一次不等式的整数解（共4小题） 【例4】（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为______． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一个不等式的正整数解为1、2、3，那么这个不等式可以是___________（只需填写一个） 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 五、用一元一次不等式解决实际问题（共4小题） 【例5】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式_____． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考___________分． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 由不等式组解集的情况求参数（共4小题） 【例6】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 【变式1】（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为______． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 一元一次不等式组的其他应用（共4小题） 【例7】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 数轴表示解集的空心/实心混淆（共4小题） 【例1】（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是________． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 不等式组整数解的漏算/多算（共3小题） 【例2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）求不等式组的整数解． 【变式2】解不等式组： 并写出其整数解 不等式的性质（共5小题） 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式的解集是______． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 【变式4】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知，则_______．（用“>”“<”填空） 求一元一次不等式的解集（共5小题） 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是______． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）已知：数a、都是关于x的不等式的解． (1)是该不等式的解吗？为什么？ (2)是该不等式的解吗？为什么？ (3)是该不等式的解吗？为什么？其中． (4)设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段的三等分点． (5)根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）解不等式：． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）当满足什么条件时，关于的方程的解是正数？ 【变式4】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 求不等式组的解集（共5小题） 【例3】（24-25七年级下·上海·期中）不等式组的解集为______． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式组的解集是______． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式4】（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $不等式概念：用>、<、≥、≤、卡连接的式子 >:大于：<：小于 一≥：大于等于（不小于、至少） 常见不等号 ≤：小于等于（不大于、至多） 不等式及其性质 丰：不等于 性质1：a>b、a<b、a=b有且仅有一种成立 性质2（传递性）：若a>b,b>c,则a>c 性质3（加减不变号）：若a>b,则a士m>b土m 不等式性质 b 性质4（乘除正数不变号）：若a>b,m>0,则am>bm, a mm a b 性质5：（乘除负数变号）：若a>b,m<0,则am<bm, 人m m 不等式的解：使不等式成立的未知数的值 核心定义 一元一次不等式：仅含1个未知数、未知数次数为1的不等式 解集：不等式所有解的全体 空心圆：x>a、x<a(不含端点) 一元一次不等式 解集数轴表示 一元一次不等式 实心圆：x≥a、x≤a(含端点) 解不等式：求解集的过程，依据不等式性质 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 实际应用：审题一设元→列不等式→解不等式→检验→作答 定义：含同一个未知数的多个一元一次不等式组成 解集：组内所有不等式解集的公共部分 核心概念 解不等式组：求不等式组解集的过程 x>a 同大取大： →x>a x>6 同小取小： x<a →x<b Z<b 一 元一次不等式组 解集口诀（设a>b) x<a 大小小大中间找： x>6 今b<x<a z>a 大大小小无解： z<b →无解 解法步骤：求各不等式解集→数轴表示·找公共部分→确定解集 实际应用：列不等式组→求解→结合实际限定解的范围 专题01 一元一次不等式 思维导图 串 考点清单 理 知识点1 不等式及其性质 1.概念 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 2.常见的不等号及其含义 符号 名称 读法 表示意义 大于号 大于 左边的量大于右边的量 小于号 小于 左边的量小于右边的量 大于或等于号 大于或等于,即不小于 左边的量不小于右边的量 小于或等于号 小于或等于,即不大于 左边的量不大于右边的量 不等号 不等于 表示两边的量不相等，但未明确哪边的量大 【特别提醒】(1)不等式可以是表示数的大小不等的式子，也可以是表示数量关系的大小不等的式子,即不等式中不一定含有未知数.(2)不等号具有方向性，其左右两边的式子不能随意交换. 3.不等式的性质 不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 不等式性质2 如果，那么． 不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 核心笔记 不等式、等式的基本性质的联系与区别 (1)联系:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,都乘以(或除以)同一个正数，等式仍然成立. （2）区别：①不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，等式仍然成立； ②不等式中，如果，那么；等式中，如果，那么． 知识点2 一元一次不等式 1.不等式的解的定义 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 2.一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 3.不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 4.不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 5.解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式,解不等式的主要依据是不等式的性质,在运用不等式的性质进行解题时,应特别注意:不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号方向改变;不等式两边不能同乘0,否则不等式就变为等式了. 6.解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 知识点3 一元一次不等式的应用 1.一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点4 一元一次不等式组 1.概念 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫作一元一次不等式组． 如 等都是一元一次不等式组，而 不是一元一次不等式组． 总结： （1）一元一次不等式组是由一元一次不等式组成的，组成不等式组的一元一次不等式必须都是关于同一个未知数的不等式； （2）不等式组中不等式的个数至少是 2 个，也可以更多． 2.不等式组的解集和解不等式 （1）不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 【重要提醒】公共部分是指同时满足不等式组中任何一个不等式的解集的部分. （2）求不等式组的解集的过程叫作解不等式组 （3）利用数轴确定不等式组的解集的步骤 步骤 操作内容 第1步 画数轴 第2步 在同一数轴上，分别表示几个一元一次不等式的解集 第3步 确定公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，则此不等式组无解 （4）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情况 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 【特别提醒】 数轴是确定一元一次不等式组的解集的有效工具.利用数轴表示不等式时，要注意两点: (1)定边界点:一般在数轴上只标出原点和边界点即可.当不等式组中含有“>”或“<”时,边界点处用空心圆圈.当不等式组中含有“≥”或“≤”时,边界点处用实心圆点. (2)定方向:原则是“小于向左，大于向右”. 3.不等式组的解法 解一元一次不等式组的一般步骤: ①求出不等式组中各个不等式的解集,并分别在数轴上表示； ②确定各个不等式解集的公共部分,得到不等式组的解集. 【重要提醒】 不等式组的解集必须是不等式组里每个不等式解集的公共部分,因此,利用同一数轴表示各个不等式的解集,然后正确找到公共部分是解题的关键 知识点5 一元一次不等式组组的应用 1.一元一次不等式组组的应用 对含有不等关系的应用题,可以考虑通过列不等式或不等式组来解,它的方法、步骤和列方程解应用题类似.列不等式(组)解应用题,求出的通常是一个量的某一个取值范围,但当所求的量必须属于整数集或整数集的某一部分时,求得的解有可能是有限个量,甚至是唯一的值 2.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： （1）一元一次不等式组的应用列一元一次不等式(组)解决实际问题，其关键是寻找题目中的不等关系.不等关系可分为两类:一是题目中的关键词语,如“大于”“小于”“至多”“至少”“超过”“不超过”等，直接根据关键词语表示不等关系;二是没有明显的关键词语，要在充分理解题意的基础上，提炼出具有不等关系意义的量,列出不等式. （2）求实际问题中方案的种类或最大值(最小值)问题的方法:常通过求不等式(组)的解集，分类讨论找出答案，即先根据题意，设出未知数，列出不等式(组)，求出相应的取值范围，再根据题目的条件分类讨论，写出答案. 题型清单 解 不等式的定义（共3小题） 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件：_________． 【答案】/ 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果． 【详解】解：由不超过的最大整数是， 当时，不超过的最大整数小于； 当时，不超过的最大整数大于等于； 当时，不超过的最大整数是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积___________ 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的应用，先列出两数、和的平方为与它们的积为，再根据两数、和的平方不小于它们的积列不等式即可． 【详解】解：根据题意：两数、和的平方不小于它们的积，不等式表示为， 故答案为：． 一元一次不等式的定义（共3小题） 【例2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，需满足：①含有一个未知数；②未知数的次数为1；③左右两边均为整式；④含有不等号． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意； B．是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意； C．含有一个未知数x，次数为1，且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意； D．中不是整式，不符合条件，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式”． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意； C、是一元一次不等式，故符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 列一元一次不等式（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·上海·期中）“x的2025倍比y小”用不等式表示为______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键．x的2025倍即为，小即“”，据此列不等式． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）的与的差不小于2，用不等式表示为______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）8与的3倍的和不大于2，用不等式表示为______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查列不等式，读懂题意，将文字语言的描述转化为数学符号表示的不等关系，抓住关键词语，弄清运算顺序和不等关系是解决问题的关键． 【详解】解：8与的3倍的和不大于2，用不等式表示为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 求一元一次不等式的整数解（共4小题） 【例4】（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为______． 【答案】0或1或2或3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解为0或1或2或3， 故答案为：0或1或2或3． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一个不等式的正整数解为1、2、3，那么这个不等式可以是___________（只需填写一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查学生对不等式解集的掌握，根据不等式的解写出不等式是关键，在解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果． 【详解】解：根据题意这个不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 五、用一元一次不等式解决实际问题（共4小题） 【例5】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式_____． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是找出不等关系列出不等式．根据表中数据列出不等式求解，即可． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考___________分． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小华的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小华的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小华的数学应该至少考分， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2)；②26或30 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用等； （1）等量关系式：300元购进商品的数量400元购进商品的数量，据此列方程，即可求解； （2）①不等关系式：商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润全部售出商品所获得的利润，据此列出不等式，即可求解； ②等量关系式：全部售出商品所获得的利润商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润元，据此列出方程，再由、的取值范围，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 【答案】他最少要答对14道题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设他要答对道题，根据想得分不低于120分，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设他要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最小整数解为：14； 答：他最少要答对14道题． 由不等式组解集的情况求参数（共4小题） 【例6】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为______． 【答案】4 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查新定义两个不等式是“互联”，只能包含一个整数使得这两个不等式同时成立，解得不等式解集，，是“互联”的，得，进而求解． 【详解】解：， ， 不等式解集：， 和是“互联”的，要包含1但不包含2， ∴， 解得：， ∴a的最大值：4． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3)m的取值范围为 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程与一元一次不等式组，理解关联方程的意义并正确求解是解题的关键． （1）分别求出3个方程的解，求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的概念即可判断； （2）求出不等式组的解集，根据关联方程的概念写出一个方程即可； （3）求出不等式组中每个不等式的解集，则方程的解满足每个解集，从而求得m的范围． 【详解】（1）解：解得；解得；解得， 解不等式组得； 则，不是不等式组的解，是不等式组的解， ∴是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解：由于不等式组的解集为，此范围的整数有1，2，3； 而方程的解为，则方程是不等式组的关联方程； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解关于的不等式组，得； 解得； 由题意得：，解得：； 故m的取值范围为． 一元一次不等式组的其他应用（共4小题） 【例7】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． （1）设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； （2）结合两种魔方得单价列出不等式求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 数轴表示解集的空心/实心混淆（共4小题） 【例1】（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解：∵ ∴   ∴   ∴ 解集在数轴上表示： 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【答案】(1)一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数 (2)，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数，出现错误； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，进而在数轴上表示解集即可。 【详解】（1）解：解答过程中，从第一步开始出现错误，错因是去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； 故答案为：一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示解集如图： 不等式组整数解的漏算/多算（共3小题） 【例2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【答案】；最小负整数解为 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴ 由②得：， ∴， ∴， 最小负整数解为； 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）求不等式组的整数解． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，据此求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 【变式2】解不等式组： 并写出其整数解 【答案】，整数解为：，0，1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求出整数解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为：，0，1． 不等式的性质（共5小题） 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】解：当时， A、，该选项错误； B、，该选项错误； C、若，则，该选项错误； D、，，该选项计算正确； 故选：D 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得到答案； 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知，则_______．（用“>”“<”填空） 【答案】< 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟悉不等式的三个基本性质的内容并灵活运用是解题的关键；在两边同乘，得，再在不等式两边加1即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 求一元一次不等式的解集（共5小题） 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键，属于中考常考题型．根据解一元一次不等式的步骤，求解即可． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）已知：数a、都是关于x的不等式的解． (1)是该不等式的解吗？为什么？ (2)是该不等式的解吗？为什么？ (3)是该不等式的解吗？为什么？其中． (4)设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段的三等分点． (5)根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)见解析 (5)见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了数轴与不等式． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）根据不等式的性质求解即可； （4）根据题干已知方法进行说明即可； （5）根据不等式的几何意义进行解答即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ，， ， 也是该不等式的解； （2）解：是，理由如下： ，， ， 是该不等式的解； （3）解：是，理由如下： ，， ， 是该不等式的解； （4）解：， 是AB的三等分点； （5）解：，B都在25右侧， 它们的中点和三等分点也都在25右侧． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）当满足什么条件时，关于的方程的解是正数？ 【答案】当时，关于的方程的解是正数 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，先解一元一次方程得出，结合题意可得，再解一元一次不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵关于的方程的解是正数， ∴， 解得， ∴当时，关于的方程的解是正数． 【变式4】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 求不等式组的解集（共5小题） 【例3】（24-25七年级下·上海·期中）不等式组的解集为______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 找出两个解的公共部分即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 由于的解集包含在的解集中， 因此不等式组的解集为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式组的解集是______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故答案为∶ 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 【变式4】（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $