专题01 一元一次不等式11大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 一元一次不等式 题型1 不等式及其性质 （常考点） 题型7 一元一次不等式组及解法（重点） 题型2 一元一次不等式的相关概念（常考点） 题型8 求一元一次不等式组的整数解 （难点） 题型3 解一元一次不等式（重点） 题型9 由一元一次不等式组的解集求参数（难点） 题型4 求一元一次不等式的整数解（难点） 题型10 列一元一次不等式组 题型5 列一元一次不等式 题型11 一元一次不等式组的应用（难点） 题型6 一元一次不等式的实际问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式及其性质（共8小题） 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】解：当时， A、，该选项错误； B、，该选项错误； C、若，则，该选项错误； D、，，该选项计算正确； 故选：D 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是实数，，那么下列不等式中，不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握在不等式两边同时加或减去同一个数或整式，不等号方向不变；两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．根据不等式性质对各选项进行一一分析判断即可． 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项成立，不符合题意； B. ∵， ∴ ，故该选项成立，不符合题意； C. ∵， ∴，故该选项成立，不符合题意； D. ∵， ∴只有当时，，故该选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得到答案； 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知，则_______．（用“>”“<”填空） 【答案】< 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟悉不等式的三个基本性质的内容并灵活运用是解题的关键；在两边同乘，得，再在不等式两边加1即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积___________ 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的应用，先列出两数、和的平方为与它们的积为，再根据两数、和的平方不小于它们的积列不等式即可． 【详解】解：根据题意：两数、和的平方不小于它们的积，不等式表示为， 故答案为：． 题型二 一元一次不等式的相关概念（共4小题） 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，需满足：①含有一个未知数；②未知数的次数为1；③左右两边均为整式；④含有不等号． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意； B．是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意； C．含有一个未知数x，次数为1，且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意； D．中不是整式，不符合条件，故D不符合题意． 故选：C． 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 11．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知不大于，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意列出一元一次不等式，再根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 即的取值范围是， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 解一元一次不等式（共6小题） 13．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 14．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 15．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟悉“解一元一次不等式的一般步骤和把不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键． 先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解： 解得：， 数轴表示为： 16．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 17．（24-25七年级下·上海金山·期中）当x满足什么条件时，的值不小于的值？ 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据题意可知，只需要求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解；， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴当，的值不小于的值． 18．（24-25七年级下·上海·期中）已知：数a、都是关于x的不等式的解． (1)是该不等式的解吗？为什么？ (2)是该不等式的解吗？为什么？ (3)是该不等式的解吗？为什么？其中． (4)设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段的三等分点． (5)根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)见解析 (5)见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了数轴与不等式． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）根据不等式的性质求解即可； （4）根据题干已知方法进行说明即可； （5）根据不等式的几何意义进行解答即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ，， ， 也是该不等式的解； （2）解：是，理由如下： ，， ， 是该不等式的解； （3）解：是，理由如下： ，， ， 是该不等式的解； （4）解：， 是AB的三等分点； （5）解：，B都在25右侧， 它们的中点和三等分点也都在25右侧． 题型四 求一元一次不等式的整数解（共4小题） 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 20．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为______． 【答案】0或1或2或3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解为0或1或2或3， 故答案为：0或1或2或3． 21．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一个不等式的正整数解为1、2、3，那么这个不等式可以是___________（只需填写一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查学生对不等式解集的掌握，根据不等式的解写出不等式是关键，在解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果． 【详解】解：根据题意这个不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 22．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 题型五 列一元一次不等式（共3小题） 23．（24-25七年级下·上海·期中）8与的3倍的和不大于2，用不等式表示为______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查列不等式，读懂题意，将文字语言的描述转化为数学符号表示的不等关系，抓住关键词语，弄清运算顺序和不等关系是解决问题的关键． 【详解】解：8与的3倍的和不大于2，用不等式表示为， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·上海静安·期中）用不等式表示“x的2倍减去3所得的差是正数”________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用“的2倍”即，再减3，结果是正数，即大于零，即可得出不等式．正确得出不等关系是解题关键． 【详解】解：用不等式表示“的2倍减去3所得的差是正数”为， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 题型六 一元一次不等式的实际问题（共4小题） 26．（24-25七年级下·上海·期中）小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 根据题意，得 ， 解得， 答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 27．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考___________分． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小华的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小华的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小华的数学应该至少考分， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 【答案】他最少要答对14道题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设他要答对道题，根据想得分不低于120分，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设他要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最小整数解为：14； 答：他最少要答对14道题． 29．（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2)；②26或30 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用等； （1）等量关系式：300元购进商品的数量400元购进商品的数量，据此列方程，即可求解； （2）①不等关系式：商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润全部售出商品所获得的利润，据此列出不等式，即可求解； ②等量关系式：全部售出商品所获得的利润商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润元，据此列出方程，再由、的取值范围，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 题型七 一元一次不等式组及解法（共5小题） 30．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 31．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组，并在数轴上表示解集 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，按照解不等式的一般步骤，先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将其在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 32．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 33．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示： ∴不等式组的解集为：． 34．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出①②的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 题型八 求一元一次不等式组的整数解（共4小题） 35．（24-25七年级下·上海闵行·期中）求不等式组的整数解． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，据此求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 36．（2025·上海宝山·模拟预测）解不等式组： 并写出其整数解 【答案】，整数解为：，0，1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求出整数解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为：，0，1． 37．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【答案】；最小负整数解为 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴ 由②得：， ∴， ∴， 最小负整数解为； 38．（23-24七年级下·云南普洱·期末）解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】，所有整数解为、、、 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴所有整数解为、、、． 题型九 由一元一次不等式组的解集求参数（共4小题） 39．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 40．（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 41．（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为______． 【答案】4 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查新定义两个不等式是“互联”，只能包含一个整数使得这两个不等式同时成立，解得不等式解集，，是“互联”的，得，进而求解． 【详解】解：， ， 不等式解集：， 和是“互联”的，要包含1但不包含2， ∴， 解得：， ∴a的最大值：4． 故答案为：4． 42．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 题型十 列一元一次不等式组 （共2小题） 43．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 44．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 题型十一 一元一次不等式组的应用（共8小题） 45．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 【答案】 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，准确列出方程组、不等式组求解是解决问题的关键． （1）设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，由题意列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 47．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 48．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． （1）设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； （2）结合两种魔方得单价列出不等式求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 49．（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 50．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【答案】(1)种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． (2)2种进货方案，理由见解析 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，准确找出数量关系是解题的关键． （1）利用“、两种礼盒单价比为”，设单价为元，单价为元．依据“单价和为210元”，列方程，求解，进而得出、的单价． （2）设购进种礼盒个，根据“恰好用去4800元”表示出种礼盒数量．结合“种礼盒最多36个”，“种礼盒数量的倍不超过种礼盒数量”，列出不等式组，求出的取值范围．根据礼盒个数为正整数，对在取值范围内取值验证，确定符合条件的值，从而得出进货方案数量． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 51．（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 52．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元. $专题01 一元一次不等式 题型1 不等式及其性质 （常考点） 题型7 一元一次不等式组及解法（重点） 题型2 一元一次不等式的相关概念（常考点） 题型8 求一元一次不等式组的整数解 （难点） 题型3 解一元一次不等式（重点） 题型9 由一元一次不等式组的解集求参数（难点） 题型4 求一元一次不等式的整数解（难点） 题型10 列一元一次不等式组 题型5 列一元一次不等式 题型11 一元一次不等式组的应用（难点） 题型6 一元一次不等式的实际问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式及其性质（共8小题） 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是实数，，那么下列不等式中，不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式的解集是______． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知，则_______．（用“>”“<”填空） 6．（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 7．（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 8．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积___________ 题型二 一元一次不等式的相关概念（共4小题） 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知不大于，那么的取值范围是______． 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________． 题型三 解一元一次不等式（共6小题） 13．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式：． 14．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 15．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 16．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 17．（24-25七年级下·上海金山·期中）当x满足什么条件时，的值不小于的值？ 18．（24-25七年级下·上海·期中）已知：数a、都是关于x的不等式的解． (1)是该不等式的解吗？为什么？ (2)是该不等式的解吗？为什么？ (3)是该不等式的解吗？为什么？其中． (4)设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段的三等分点． (5)根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 题型四 求一元一次不等式的整数解（共4小题） 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为______． 21．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一个不等式的正整数解为1、2、3，那么这个不等式可以是___________（只需填写一个） 22．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 题型五 列一元一次不等式（共3小题） 23．（24-25七年级下·上海·期中）8与的3倍的和不大于2，用不等式表示为______． 24．（24-25七年级下·上海静安·期中）用不等式表示“x的2倍减去3所得的差是正数”________． 25．（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______． 题型六 一元一次不等式的实际问题（共4小题） 26．（24-25七年级下·上海·期中）小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 27．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考___________分． 28．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 29．（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 题型七 一元一次不等式组及解法（共5小题） 30．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组，并在数轴上表示解集 32．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 33．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 34．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 题型八 求一元一次不等式组的整数解（共4小题） 35．（24-25七年级下·上海闵行·期中）求不等式组的整数解． 36．（2025·上海宝山·模拟预测）解不等式组： 并写出其整数解 37．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解． 38．（23-24七年级下·云南普洱·期末）解不等式组，并求出所有整数解． 题型九 由一元一次不等式组的解集求参数（共4小题） 39．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 40．（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 41．（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为______． 42．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 题型十 列一元一次不等式组 （共2小题） 43．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 44．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 题型十一 一元一次不等式组的应用（共8小题） 45．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 46．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 47．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 48．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 49．（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 50．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 51．（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 52．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ $