21.3.2菱形寒假预习讲义（5知识点+9大题型+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

21.3.2菱形寒假预习讲义 （5知识点+9大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 利用菱形的性质求角度】 3 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 4 【题型3 利用菱形的性质求面积】 4 【题型4 利用菱形的性质证明】 5 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 6 【题型6 证明四边形是菱形】 7 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 8 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 9 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 10 模块二 预习目标导航 · 准确理解菱形的定义，明确菱形是一组邻边相等的平行四边形，知道菱形属于特殊的平行四边形。 · 掌握菱形的特殊性质：四条边都相等；对角线互相垂直且平分一组对角；既是中心对称图形，也是有 2 条对称轴的轴对称图形。 · 熟记菱形的三种判定方法：定义判定（邻边相等的平行四边形）、对角线判定（对角线垂直的平行四边形）、四边判定（四条边相等的四边形）。 · 会用两种方法计算菱形面积：底 × 高、两条对角线乘积的一半，能根据已知条件选择合适公式计算。 · 能运用菱形的性质和判定，解决基础的边长、角度、对角线长度计算，以及简单的几何证明题。 模块三 知识点梳理 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别提醒： 菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形. 【知识点2 菱形的性质定理】 性质 符号语言 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=BC=CD=AD 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对边. ∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD,CA平分∠BCD，DB平分∠ADC. 特别提醒： 1. 菱形具有平行四边形的一切性质. 2. 菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形. 【知识点3 菱形的判定定理】 判定定理 符号语言 四条边都相等的四边形是菱形 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD为菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形且AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵平行四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”即可. 【知识点4 菱形的对称性】 1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心. 特别提醒： 1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2.对角线平分一组内角的平行四边形是菱形. 【知识点5 菱形的面积公式】 1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高 符号语言：S=ah 2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半. 符号语言：S=ab 特别提醒： 对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半. 模块四 题型汇总 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【典例2】．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 变式2-1．如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，P、、D三点共线． 变式2-2．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是 ． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【典例3】．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 变式3-1．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为 ． 变式3-2．如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【典例4】．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 变式4-1．如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 变式4-2．如图1，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【典例5】．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，在四边形中，，且．添加下列条件，不能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【题型6 证明四边形是菱形】 【典例6】．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 变式6-1．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 变式6-2．如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)若，直接写出的长（用含的代数式表示）； (2)若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，直接写出的度数． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【典例7】．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是 ． 变式7-2．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例8】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 变式8-1．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 变式8-2．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为 ． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【典例9】．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 变式9-1．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为 ；四边形的面积为 ． 变式9-2．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 模块五 过关检测 1．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E是的中点，菱形的周长为16，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（ ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 3．已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图的方格纸中有一个四边形（A、B、C、D均为格点），每个小正方形边长为1，则下列说法错误的是（   ） A．四边形是菱形 B． C．四边形的面积是12 D． 6．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为 ． 8．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 9．如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且，，，，点，分别在，上，与相交于点，则图中的菱形共有 个． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ． 11．如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为 cm． 12．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是 ． 13．已知，如图，在中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)当四边形是矩形时，证明：． (2)当四边形是菱形时，且，，求点O到点P的距离． 14．如图，在菱形中，． (1)实践操作：用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证：四边形是矩形． 15．如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． (1)的长为______，的长为______； (2)连接，若将的面积分为两部分，求t的值； (3)若为等腰三角形，求t的值； (4)在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 16．如图，在矩形中，连接． (1)尺规作图：在射线上截取，作的角平分线交边的延长线于点，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（）所作的图中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是矩形， ∴，∴， ∵平分， ∴________，∴， ∴________， ∵，∴________， ∵，∴四边形是________． ∵， ∴四边形是菱形． 17．如下图，在中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F，四边形GEHF是菱形． (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明理由． (2)若，，则菱形GEHF的面积为________． 18．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，． 求证：，互相垂直平分． 部分证明过程如下： 证明：如图，顺次连接，，，四点， 任务： (1)下列图形，是等对四边形的有 只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.2菱形寒假预习讲义 （5知识点+9大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 利用菱形的性质求角度】 3 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 5 【题型3 利用菱形的性质求面积】 9 【题型4 利用菱形的性质证明】 12 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 16 【题型6 证明四边形是菱形】 19 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 24 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 29 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 32 模块二 预习目标导航 · 准确理解菱形的定义，明确菱形是一组邻边相等的平行四边形，知道菱形属于特殊的平行四边形。 · 掌握菱形的特殊性质：四条边都相等；对角线互相垂直且平分一组对角；既是中心对称图形，也是有 2 条对称轴的轴对称图形。 · 熟记菱形的三种判定方法：定义判定（邻边相等的平行四边形）、对角线判定（对角线垂直的平行四边形）、四边判定（四条边相等的四边形）。 · 会用两种方法计算菱形面积：底 × 高、两条对角线乘积的一半，能根据已知条件选择合适公式计算。 · 能运用菱形的性质和判定，解决基础的边长、角度、对角线长度计算，以及简单的几何证明题。 模块三 知识点梳理 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别提醒： 菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形. 【知识点2 菱形的性质定理】 性质 符号语言 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=BC=CD=AD 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对边. ∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD,CA平分∠BCD，DB平分∠ADC. 特别提醒： 1. 菱形具有平行四边形的一切性质. 2. 菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形. 【知识点3 菱形的判定定理】 判定定理 符号语言 四条边都相等的四边形是菱形 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD为菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形且AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵平行四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”即可. 【知识点4 菱形的对称性】 1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心. 特别提醒： 1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2.对角线平分一组内角的平行四边形是菱形. 【知识点5 菱形的面积公式】 1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高 符号语言：S=ah 2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半. 符号语言：S=ab 特别提醒： 对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半. 模块四 题型汇总 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 变式1-1．如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 变式1-2．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，． 在和中， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：A． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【典例2】．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 变式2-1．如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，P、、D三点共线． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点．当P，，D三点共线时，分两种情况：①当D在线段上时，连接；②当D在延长线上时，连接，，由翻折的性质易证得，则，设，由菱形的性质及易求得菱形内各个角的度数，然后，根据用x表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数． 【详解】解：当P，，D三点共线时，分两种情况： ①当D在线段上时， 如图，连接， ∵沿翻折至， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， 又∵， 而， ∴， ∴； ②当D在延长线上时， 如图，连接，， 同上，设， ∵， ∴， 又∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当或时，P、、D三点共线， 故答案为：或． 变式2-2．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，，，根据勾股定理得到，最后根据等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【典例3】．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质．根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是边的中点，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 变式3-1．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为 ． 【答案】35 【分析】此题主要考查矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，运用矩形的性质和菱形的性质表示出线段之间的关系是解决问题的关键． 先把三个矩形的顶点都标记出来，根据小矩形的长与宽之比为，可设小矩形的长为，宽为，由此得，，，，，进而得图中阴影部分的周长为，由此得，解得．再根据，得是等腰直角三角形，则，从而得也是等腰直角三角形，则，进而得，据此即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图所示，设小矩形的宽为， ∵小矩形的长与宽之比为， ∴小矩形的长为， 由题意可知，三个矩形全等， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵图中阴影部分的周长为22， ∴， 解得，， ∴，，，， 在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：35． 变式3-2．如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 则， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【典例4】．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 变式4-1．如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 变式4-2．如图1，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形；理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【典例5】．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 变式5-1．如图，在四边形中，，且．添加下列条件，不能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解题的关键． 根据菱形的判定、平行四边形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 能判定四边形为菱形，不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 能判定四边形为菱形，不符合题意； C、添加条件，一组对边平行，一组对边相等，无法判定四边形为平行四边形，也无法判定四边形为菱形，符合题意； D、∵， ， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 能判定四边形为菱形，不符合题意； 故选：C． 变式5-2．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6 证明四边形是菱形】 【典例6】．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 变式6-1．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键. （1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得利用菱形的判定即可证得结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后求出矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线，相交于点， ，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式6-2．如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)若，直接写出的长（用含的代数式表示）； (2)若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)四边形为菱形，见解析； (3)或． 【分析】此题重点考查折叠的性质、菱形的判定、直角三角形的性质等，掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可； （2）先根据折叠得出，推出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出，推出，结合，证明四边形为平行四边形，最后根据，推出四边形为菱形； （3）根据题意进行分类讨论，情况一：点与点在直线异侧；情况二：点与点在直线同侧；根据折叠得出，推出，运用几何角度求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，是斜边上的中线，， ∴． （2）∵将沿折叠，点的对应点为点， ∴， ∴． ∵在中，，是斜边上的中线， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． （3）情况一：如图③，点与点在直线异侧， ∵， ∴． ∵由折叠得：， ∴， ∴； 情况二：如图④，点与点在直线同侧， ∵， ∴， ∴， ∵由折叠得：， ∴， ∴． 综上所述，或． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【典例7】．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 变式7-1．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 变式7-2．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可; （2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，． ，． 平分， ． ． ， ． ． （2）如图，连接、， ∵四边形是矩形， ，． ． 平分， ． ． ，，． ． 又是的中点， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． （3）如图，延长、交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ∴四边形为平行四边形． ，平分， ，． ． ． ， ． ∴平行四边形为菱形． ，． 、为等边三角形． ． ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例8】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，由题意可判断出四边形是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出，则平行四边形是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段的长即可． 【详解】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，． 故选：A． 变式8-1．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 变式8-2．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【典例9】．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 变式9-1．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为 ；四边形的面积为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 变式9-2．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；②24 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键． （1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论； ②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可； （2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可． 【详解】（1）①解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点H是中点，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， 由中点的性质，可知， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， 由菱形的对称性可知，， ∴四边形的面积为； （2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质， ∴（1）中的结论仍成立， 由（1）可知，，， ∴四边形的面积为． 模块五 过关检测 1．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E是的中点，菱形的周长为16，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形的性质可得以及，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵菱形的周长为16， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：D． 2．如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（ ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及勾股定理，根据菱形性质得到，，再利用勾股定理求出，进而即可求得． 【详解】∵四边形是菱形，且菱形的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可． 【详解】解：选择①②③： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴不能判断四边形是菱形， ∴选法不正确； 选择①②④： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择①③④： 同理可证：，得到四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择②③④： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 故选：C． 4．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得四边形为平行四边形，当时，为菱形，此时． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵将线段水平向右平移得到线段， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，为菱形， 此时． 故选：B． 5．如图的方格纸中有一个四边形（A、B、C、D均为格点），每个小正方形边长为1，则下列说法错误的是（   ） A．四边形是菱形 B． C．四边形的面积是12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，由勾股定理和网格的特点可知，据此可判断A、B；再由，根据菱形面积计算公式可判断C；由于，则不是等边三角形，据此可判断D． 【详解】解；由勾股定理和网格的特点可知，故B说法正确，不符合题意； ∴四边形是菱形，故A说法正确，不符合题意； ∵， ∴，故C说法正确，不符合题意； ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 7．四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 8．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当落在上时，如图： 作交的延长线于点，作于点， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 综上：或； 故答案为：6或7． 9．如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且，，，，点，分别在，上，与相交于点，则图中的菱形共有 个． 【答案】3 【分析】易证明四边形是菱形，再根据菱形的判定方法证明平行四边形是菱形和平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理可得四边形是平行四边形，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 综上所示，图中共有个菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，解题的关键是熟记各种特殊四边形的判定和性质． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质；根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为； 故答案为：24． 11．如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为 cm． 【答案】10 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识；连接，交于点O，证四边形是平行四边形，得，利用勾股定理求出的长，，即可求出． 【详解】解：连接，交于点O，如图： ∵菱形的边长为， ∴，， ∵ 点E、F分别是边的中点， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 12．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】先证明是等边三角形，利用可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和得到，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 13．已知，如图，在中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)当四边形是矩形时，证明：． (2)当四边形是菱形时，且，，求点O到点P的距离． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】本题考查矩形的性质与判定，菱形的性质和判定，熟知平行四边形、矩形、菱形之间的转化关系是解题的关键． （1）要证明，需先确定四边形的形状，利用矩形对角线性质和平行四边形、菱形的判定得出为菱形，再根据菱形对角线互相垂直的性质证明； （2）当是菱形时，先判定为矩形，再利用菱形对角线性质和勾股定理求出相关线段长度，进而得到点到点的距离． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ． ，， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． ． （2）解：，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ． 四边形是矩形． 在菱形中，，， ，． 在中，由勾股定理， 代入，， 得． 在矩形中， ． ， 即点到点的距离为． 14．如图，在菱形中，． (1)实践操作：用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合垂线的作图方法作图即可； （2）结合菱形的性质、矩形的判定定理可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵为边上的高， ∴， ∴四边形是矩形． 15．如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． (1)的长为______，的长为______； (2)连接，若将的面积分为两部分，求t的值； (3)若为等腰三角形，求t的值； (4)在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 (4)或或 【分析】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可求的长；再根据勾股定理即可求出的长，即可得到的长； （2）由题意得，求出，根据将的面积分为两部分，可得或，即或，求出或，即可解答； （3）过点作，连接，分三种情况讨论即可； （4）分，共线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∵将的面积分为两部分，即或，且等高， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴t的值为或； （3）解：如图，过点作，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴（平行线间距离处处相等）， ∵， ∴， 由（1）知，由（2）知， ∴， ∵为等腰三角形， ∴分三种情况， 当时，则，解得； 当时， ∵，， ∴，即，则，解得； 当时，则， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； 综上，当为等腰三角形，t的值为或或； （4）解：∵点在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， 如图，当共线时，则， 同理（3）得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得； 如图，当时，设交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由对称的性质得，， ∴，， 在中，，即， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（此时，点P，点D，点M重合，舍去）， 综上，当直线与的一边平行或共线时，t的值为或或． 16．如图，在矩形中，连接． (1)尺规作图：在射线上截取，作的角平分线交边的延长线于点，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（）所作的图中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是矩形， ∴，∴， ∵平分， ∴________，∴， ∴________， ∵，∴________， ∵，∴四边形是________． ∵， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)；；；平行四边形． 【分析】本题考查了尺规作图——作线段、作角平分线，矩形的性质，平行四边形和菱形的判定，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在射线上截取，作的角平分线交边的延长线于点，连接即可； （）由四边形是矩形，则，所以，又平分，得，从而可证，然后证明四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图， ； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：；；；平行四边形． 17．如下图，在中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F，四边形GEHF是菱形． (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明理由． (2)若，，则菱形GEHF的面积为________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到，；由三角形中位线定理可得，，即得到，可证明四边形是平行四边形，可得，由菱形的性质可得，即可得结论； （2）分别求出、的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：． 理由如下：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． ∵四边形是菱形， ， ，即． （2）解：，， ． ，，分别是对角线上的四等分点， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 18．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，． 求证：，互相垂直平分． 部分证明过程如下： 证明：如图，顺次连接，，，四点， 任务： (1)下列图形，是等对四边形的有 只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) 【分析】（1）找出对角线相等的四边形即可； （2）利用三角形中位线定理求得，推出四边形是菱形，即可得到，互相垂直平分； （3）先证明四边形是正方形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，只有矩形和正方形的对角线相等， ∴是等对四边形的有②④， 故答案为：②④； （2）证明：如图，顺次连接，，，四点， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， 同理可得，，， 又， ， 四边形是菱形， ，互相垂直平分； （3）解：如图，顺次连接，，，四点， 由（2）可知，四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是等对四边形，，是等对中位线， ，点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 即等对四边形两对角线的长都为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $