2.1 不等式及其性质 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1　不等式及其性质 第1课时 基础　主干落实 重点　典例研析 素养　思维提升 课时目标 1.经历具体实例,了解不等式的意义,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的一种重要模型.(抽象能力、模型观念) 2.能用不等式表示简单的不等关系,并能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义.(应用意识) 基础　主干落实 新知要点 1.不等关系 表示不等关系的文字 对应的不等符号 大于、多于、高于、比……大等 _______ 小于、少于、低于、比……小等 _______ 不小于、不低于、至少等 _______ 不大于、不超过、至多等 _______ 　>　  　<　  　≥　  　≤　  基础　主干落实 2.不等式:用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子. 表示不等关系的文字 对应的不等符号 实数a是 正数 a>0 负数 a<0 非负数 _________ 非正数 _________ 　a≥0　  　a≤0　  对点小练 1.(1)下列各项中,蕴含不等关系的是( ) A.老师的年龄是你的年龄的2倍 B.小丽和小华一样高 C.明天可能下雨 D.a2是非负数 (2)若x是非正数,则x_______0(填“>,≥,<,≤,=”中的一个). 2.(1)下列式子是不等式的为( ) A.4 B.x2+x C.4x>7 D.x=3 (2)x与5的和不大于-1,用不等式表示为( ) A.x+5≥-1 B.x+5<-1 C.x+5≠-1 D.x+5≤-1   D 　≤　 C D 重点　典例研析 重点1　不等式的概念(抽象能力、模型观念) 【典例1】下列式子中,不等式有( ) ①4>-3;②5a≤-1;③3x-2;④|x|≠3;⑤s=vt;⑥2x<x-3;⑦2a2-a=2;⑧x2+4≥0;⑨a2+b2≠c2. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 举一反三 1.(2025·上海质检)在下列式子①3>0,②5x-4<8,③2x+4y,④m=-1,⑤t2+2t≥-1中不等 式有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.用不等号填空. (1)-1_______0;  (2)-(-2)_______-|-3|;  (3)|a|_______0;  (4)-b2_______0.  D B 　<　 　>　 　≥　 　≤　 重点2　根据数量关系列不等式(应用意识) 【典例2】(教材再开发·P52随堂练习T1强化) 用不等式表示下列数量之间的关系: (1)哥哥存款x元,弟弟存款y元,兄弟二人的存款总数少于2 000元; (2)长为a+5,宽为a-3的长方形的面积小于边长为a+2的正方形的面积; (3)一列动车有n节车厢,每节车厢有100个座位.在五一期间,这列动车上有m个人,其中有一些人没有座位. 【自主解答】(1)根据题意可知:x+y<2 000. (2)根据题意可知:(a+5)(a-3)<(a+2)2. (3)根据题意可知:100n<m. 举一反三 1.用不等式表示下列关系: (1)b与2的和小于-3; (2)x的一半与3的差不大于5; (3)a的绝对值不小于它本身; (4)m的6倍与3的和是非负数; (5)x与y两数和的平方不小于7; (6)a的n倍大于-9. 【解析】(1)b+2<-3. (2)-3≤5. (3)|a|≥a. (4)6m+3≥0. (5)(x+y)2≥7. (6)na>-9. 2.请设计不同的实际情境表示下列不等式: (1)a+b<5; (2)3x+2>7. 【解析】(1)小明有新铅笔a支,旧铅笔b支,总的铅笔数小于5.(答案不唯一) (2)小明买了3支铅笔,每支x元,又花了2元买了一块橡皮,花的总钱数大于7.(答案不唯一) 技法点拨 由不等关系列不等式的方法 1.确定不等符号:找到表示不等关系的“关键词”,确定对应不等符号; 2.表示两边:用含字母的整式表示不等符号两边的量,得出不等式. 素养　思维提升 趣味数学 不等关系中的规律探究 阅读材料:你能比较2 0232 024和2 0242 023的大小吗? 为了解决这个问题,先把问题一般化,比较nn+1和(n≥1,且n为整数)的大小.然后从分析n=1,n=2,n=3…的简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论. (1)通过计算(可用计算器)比较下列①-⑦组两数的大小(在横线上填上“>”“=”或“<”): ①12　　　 21;②23　　　32;③34　　　43;④45　　　54;⑤56　　　65; ⑥67　　　76;⑦78　　　87;  (2)归纳第(1)问的结果,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系; (3)根据以上结论,可以得出2 0232 024和2 0242 023的大小关系. 【解析】(1)①<　②<　③>　④>　⑤>　⑥>　⑦> (2)当n=1或2时,nn+1<; 当n≥3时,nn+1>. (3)2 0232 024>2 0242 023. 1　不等式及其性质 第2课时 基础　主干落实 重点　典例研析 素养　思维提升 课时目标 1.理解不等式的解、不等式的解集的概念.(抽象能力) 2.会判断所给的未知数的值是不是不等式的解及确定不等式的解集.(运算能力) 3.会利用不等式和数轴两种方法表示不等式的解集.(几何直观、模型观念) 基础　主干落实 新知要点 对点小练 1.若x=3.5是某不等式的解,则该不等式可以是( ) A.x>5 B.x>4 C.x<4 D.x<3 2.在-5.8,-2,1,-3这四个数中,是不等式x<-3的解的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.解集在数轴上表示为如图所示的不等式是( ) A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2 C A C 重点　典例研析 重点1　不等式的解与解集(抽象能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P53尝试·思考强化)在-4,-2,-1,0,,1.5,2中,哪些数能使不等式x-1>-2成立? 【自主解答】将各数分别代入不等式,可知0,,1.5,2能使不等式x-1>-2成立. 举一反三 1.x=1不是下列哪个不等式的解( ) A.2x+1>4 B.2x-1>0 C.2x+3≥5 D.-2x+1<1 2.下列各数中,是不等式5x>0的解的是__________(填序号).  ①-3; ②-1; ③0; ④; ⑤4. A 　④⑤　 技法点拨 不等式的解与解集的联系和区别 (1)不等式的解是能使不等式成立的未知数的值,不等式的解集是不等式的所有解; (2)不等式的任何一个解一定在不等式的解集内;从不等式的解集内任选一个数,这个数一定是不等式的一个解; (3)不等式的一个解是一个具体的数,而不等式的解集中可能有无数个解. 重点2　用数轴表示不等式的解集(模型观念、几何直观) 【典例2】(教材再开发·P54随堂练习T2强化) 把下列不等式的解集在数轴上表示出来. (1)x≥-3;(2)x>-1; (3)x≤1;(4)x<-. 【自主解答】(1)将x≥-3表示在数轴上为: (2)将x>-1表示在数轴上为: (3)将x≤1表示在数轴上为: (4)将x<-表示在数轴上为: 举一反三 1.一个不等式的解集在数轴上表示如图,则这个不等式可以是( ) A.x+2>0　 B.x-2<0　 C.2x≥4　 D.2-x<0 2.不等式的解集x<3与x≤3有什么不同?在数轴上表示它们时怎样区别?分别在数轴上把这两个解集表示出来. B 【解析】(1)不同:前者不包含3,后者包含3; (2)前者表示数3的点用“空心圆圈”,后者表示数3的点用“实心圆点”; (3)①将x<3表示在数轴上为: ②将x≤3表示在数轴上为: 技法点拨 用数轴表示不等式解集的三个步骤 素养　思维提升 阅读理解 绝对值不等式 阅读材料:如果一个不等式中含有绝对值,并且绝对值符号中含有未知数,我们把这个不等式叫作绝对值不等式,求绝对值不等式|x|>3的解集. 小明同学的思路如下: 先根据绝对值的定义,求出|x|恰好是3时x的值,并在数轴上表示为点A,B,如图所示.观察数轴发现,以点A,B为分界点把数轴分为三部分: 点A左边的点表示的数的绝对值大于3; 点A,B之间的点表示的数的绝对值小于3; 点B右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此,小明得出结论,绝对值不等式|x|>3的解集为x<-3或x>3. 参照小明的思路,解决下列问题: (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集. ①|x|>1的解集是______________.  ②|x|<2.5的解集是______________.  (2)直接写出不等式x2>4的解集是______________.  　x>1或x<-1　 　-2.5<x<2.5　 　x>2或x<-2　 1　不等式及其性质 第3课时 基础　主干落实 重点　典例研析 素养　思维提升 课时目标 1.经历不等式的基本性质的探索过程,体会不等式与等式的异同.(推理能力) 2.能初步运用不等式的基本性质对不等式进行变形,把简单的不等式转化为“x>a(x≥a)”或“x<a(x≤a)”的形式.(运算能力) 基础　主干落实 新知要点 基本性质 文字表示 符号表示 基本性质1 不等式的两边都加(或减)同一个__________,不等号的方向__________ 如果a>b, 那么a±c>b±c 基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个________,不等号的方向__________ 如果a>b,c>0, 那么ac>bc,a÷c>b÷c 基本性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个________,不等号的方向__________ 如果a>b,c<0, 那么ac<bc,a÷c<b÷c 　代数式　 　不变　  　正数　 　不变　  　负数　 　改变　  对点小练 1.如果a>b,那么下列结论一定正确的是( ) A.a+c<b+c B.a>b C.ac>bc D.a2>b2 2.已知4>3,则下列结论:①4a>3a;②4+a>3+a;③4-a>3-a,正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.已知不等式-3x≤-6,两边同时除以“-3”得_________.  4.如果a<b,那么3-b_______3-a(填“<”或“>”).  B C 　x≥2　 　<　 重点　典例研析 重点1　不等式的基本性质(模型观念、抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P56随堂练习T1强化) 如果a>b,那么下列运算正确的是( ) A.a-3<b-3 B.a+3<b+3 C.3a<3b D.< D 举一反三 1.已知a>b,则一定有-4a□ - 4b,“□ ” 中应填的符号是( ) A.> B. < C.≥ D. = 2.(2025·重庆质检)下列说法正确的是( ) A.若a>b,则a+2<b+2 B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b B D 技法点拨 应用不等式基本性质的两个步骤 重点2　利用不等式的基本性质解不等式(运算能力) 【典例2】(教材再开发·P55例强化)根据不等式的基本性质解下列不等式: (1)5x>4x-1; (2)x<2. 【自主解答】(1)根据不等式的基本性质1,两边同时减去4x, 得5x-4x>4x-1-4x,即x>-1; (2)根据不等式的基本性质2,两边都乘3,得x×3<2×3,即x<6. 举一反三 1.不等式-x-5<0的解集在数轴上表示正确的是( ) 2.(2025·周口质检)根据不等式的基本性质解下列不等式: (1)x+8>3. (2)-3x<12. 【解析】(1)∵x+8>3, ∴根据不等式的基本性质1,两边都减8,得x+8-8>3-8,即x>-5; (2)∵-3x<12, ∴根据不等式的基本性质3,两边都除以-3,得-3x÷(-3)>12÷(-3),即x>-4. D 技法点拨 解不等式时用到的基本性质 mx-a<b→mx<a+b mx<a-nx→(m+n)x<a 不等式的 基本性质1 ax <b→x< (a>0) 不等式的 基本性质2 ax <b→x> (a<0) 不等式的 基本性质3 素养　思维提升 趣味数学 买卖如何赚钱 在买卖货物中,如果买入货物的钱数大于卖出货物的钱数,这时候是赔钱;如果买入货物的钱数等于卖出货物的钱数,这时候不赚不赔;如果买入货物的钱数小于卖出货物的钱数,这时候是赚钱. 某人从一鱼摊上买了3条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了2条鱼,平均每条 b元,而后以每条元的价格售出,结果发现赔了钱,原因是( ) A.a=b 　　　 B.a>b C.a<b 　　　 D.与a,b间的大小无关 B 本课结束 $