03函数与导数：切线问题讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：切线问题 函数与导数：切线问题 知识点解析 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 3. 导数与切线斜率、倾斜角的关系 （1）. （2）为切线，为切线倾斜角，为切线上异于的一点. 4.直线平行与垂直的关系 （1）若直线与平行，则斜率或斜率均不存在. （2）若直线与垂直，则斜率或斜率一个不存在一个为0. 考点一 已知切点，求函数切线（或斜率） 【知识点解析】 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点. 步骤2：求导数，得. 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 3．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西·开学考试）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 5．（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·吉林长春·期末）函数在点处的切线方程为 ． 9．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 10．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）曲线在处的切线方程为 考点二 已知切线斜率，求切线 【知识点解析】 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 1．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（    ） A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．x－4y＋3＝0 D．4x＋y＋4＝0 4．（24-25高二下·四川雅安·阶段练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（    ） A． B．1 C．3 D． 5．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）曲线在点处的切线与直线垂直，则切线方程为 ． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 8．（2025·江苏泰州·模拟预测）若曲线的一条切线与直线垂直，则直线的方程为 ． 考点三 求函数过某点的切线 【知识点解析】 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程. 【例题分析】 1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 4．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 9．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 10．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 考点四 利用函数过某点的切线的数量求参数或参数范围 【知识点解析】 1. 利用函数过某点的切线的数量求参数的思路 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向三，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 2.求参数的两个常见方法 （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 3.解题步骤 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 【例题分析】 1．（24-25高三下·广东·开学考试）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南·期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ． 8．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ． 10．（24-25高三上·山西运城·开学考试）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 考点五 公切线问题 【知识点解析】 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 【例题分析】 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西运城·期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·广东汕头·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 7．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知曲线与的公切线为，则实数 . 8．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知直线是曲线与抛物线的公切线，则 . 9．（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数 . 10．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 考点六 利用切线求最值 【例题分析】 1．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2023·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆合川·阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 5．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 . 7．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）已知点是曲线上任意的一点，则点到直线的距离的最小值是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：切线问题 函数与导数：切线问题 知识点解析 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 3. 导数与切线斜率、倾斜角的关系 （1）. （2）为切线，为切线倾斜角，为切线上异于的一点. 4.直线平行与垂直的关系 （1）若直线与平行，则斜率或斜率均不存在. （2）若直线与垂直，则斜率或斜率一个不存在一个为0. 考点一 已知切点，求函数切线（或斜率） 【知识点解析】 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点. 步骤2：求导数，得. 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 3．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 4．（24-25高三下·山西·开学考试）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】∵，∴曲线在处的切线的斜率为2，即． 又∵， 故选：A 5．（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 6．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 7．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 8．（24-25高三上·吉林长春·期末）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 9．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】/ 【详解】由，得，则. 又，所以所求切线方程为. 又切线与轴、轴分别交于点，， 所以所求的三角形面积. 故答案为：. 10．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）曲线在处的切线方程为 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，所以曲线在处的切线斜率为， 当时，，所以切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为：. 故答案为：. 考点二 已知切线斜率，求切线 【知识点解析】 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 1．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 2．（2025·广东广州·模拟预测）若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，求导函数可得， ∵切线与直线平行， ∴， ∴， ∴切点P坐标为， ∴过点P且与直线平行的切线方程为，即． 故选：C． 3．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（    ） A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．x－4y＋3＝0 D．4x＋y＋4＝0 【答案】D 【详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为 因为曲线f (x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即 所以l的方程为，即 故选：D 4．（24-25高二下·四川雅安·阶段练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】设切点，的导数为， 可得切线的斜率为， 由切线与直线垂直， 可得，解得或（舍）， 所以P的横坐标为， 故选：C 5．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ∴， 设切点坐标为，则切线的斜率， 解得，所以， 故切线的方程为，即． 故选：A 6．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）曲线在点处的切线与直线垂直，则切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得， 设，则， 由题意可得，直线的斜率为，所以切线的斜率为3， 所以，解得， 则可得切点，所以切线方程为，即. 故答案为：． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】 【详解】因为曲线在点处的切线与直线垂直， 又直线的斜率为所以； 由，，， 即，所以解得 ，，由，解得或(舍去). 故答案为： 8．（2025·江苏泰州·模拟预测）若曲线的一条切线与直线垂直，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】因为切线与直线垂直，所以切线的斜率为， 由得，设切点为， 则切线斜率，解得，切点为， 所以切线的方程为：，即. 故答案为：. 考点三 求函数过某点的切线 【知识点解析】 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程. 【例题分析】 1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 2．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 4．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 5．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ． 【答案】， 【详解】先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点坐标为， 则由，得切线斜率为，又切线的斜率为， 所以，解得， 代入，得， 所以切线斜率为，切线方程为． 因为为偶函数，所以时切线与的切线关于轴对称， 可求得当时的切线方程为． 综上可知，两条切线方程为． 故答案为：． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 9．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 【答案】或（任写一个即可） 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 由于切线过原点，故， 整理得，解得或. 当时，切线方程为，即. 当时，切线方程为，即. 故答案为：或（任写一个即可） 10．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 【答案】2 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 考点四 利用函数过某点的切线的数量求参数或参数范围 【知识点解析】 1. 利用函数过某点的切线的数量求参数的思路 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向三，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 2.求参数的两个常见方法 （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 3.解题步骤 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 【例题分析】 1．（24-25高三下·广东·开学考试）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为. 由切线过点，得. 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点. ， 当或时，，函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增； 当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值， 且当时，恒有.又，， 如图，作出函数的大致图象， 由形可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，由，求导得， 则切线方程为：，而切线过点， 于是，又，则， 依题意，方程有且仅有两个不等实根，则， 解得或，所以符合题意. 故选：D 3．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 4．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设曲线与其切线相切于点，由，求导得， 则曲线在点处的切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 由过点可以作曲线的两条切线，得方程有两个解， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 而当从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于0，， 因此当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：A 5．（24-25高二上·湖南·期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 6．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，∴切线的斜率， ∴切线方程是， ∵切线过点A（a，0）， ∴，即， ∵过点A（a，0）可以作两条切线， ∴方程有两个不同的根， ∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3． 故选：D. 7．（2024·安徽·模拟预测）若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ． 【答案】 【详解】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 又切线过点，则. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，，当时，，故. 故答案为：. 8．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设切点为，， 故切线方程为， 将代入切线方程得， ， 过点作曲线的切线有且仅有两条, 则关于的方程有两解， 可转化为直线与函数的图象有两个交点. 令，则 ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故的单调减区间，增区间是. 当时，，当时，， 且， 当与有且仅有两个交点时，， 故答案为：. 10．（24-25高三上·山西运城·开学考试）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， ∵切线过原点， ∴， 整理得：, ∵切线有两条， ∴，解得或， ∴的取值范围是, 故答案为： 考点五 公切线问题 【知识点解析】 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 【例题分析】 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 3．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，消去整理得， 令，则，所以在上单调递增， 又， 所以方程组的解为， 即曲线与的公共点的坐标为， 设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得， ，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程为，整理得． 故选：B． 4．（24-25高三上·山西运城·期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设公切线与曲线与的交点分别为，，其中， 对于，得，则与相切的切线方程为，即， 对于，得，则与相切的切线方程为，即， 由公切线，得，，有，， 令，则，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减. 所以，故，即. 故选：C. 5．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 6．（22-23高二下·广东汕头·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： 7．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】2 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：2 8．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知直线是曲线与抛物线的公切线，则 . 【答案】 【详解】先考虑与相切，设切点的横坐标为， 由得， 由相切的性质可得①及②， 由②可得带入①可求出，从而有， 再考虑与相切， 联立，消去可得， 由解得或（舍去）， 故答案为： 9．（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为： 10．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，. 在点处的切线方程为：； （2）设曲线与曲线的公切点为， ，， 令，即， 或（舍）， ， ∴所求公切线方程：，即. 考点六 利用切线求最值 【例题分析】 1．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 3．（2023·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 4．（24-25高三上·重庆合川·阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题设且，令，可得（舍）或， 所以，则曲线上切线斜率为1的切点为， 故对应切线为，其与的距离，即为P到直线距离的最小值， 所以最小值为. 故选：B 5．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，即， 所以， 故选：D． 6．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 . 【答案】 【详解】设直线与相切，则切线的斜率为 且，令，则，即切点的横坐标为， 将，代入，可得，即切点坐标为， 所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离， 即， 故答案为: 7．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）已知点是曲线上任意的一点，则点到直线的距离的最小值是 ． 【答案】 【详解】设，，， 所以，解得.，即. . 则点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$