21.3.1 矩形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

矩形 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．矩形的对角线相互垂直 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形是轴对称图形 D．平行四边形的对角线相等 2．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 4．下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（   ） A． B．9 C． D．18 8．如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 9．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 10．如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 11．如图，O是矩形的对角线的中点，E是的中点．若，2，则四边形的周长为______． 12．如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 三、解答题 13．如图，在矩形中，点、在边上（点在点左侧），连接、，．求证：． 14．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 15．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 16．如图，是矩形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 矩形 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．矩形的对角线相互垂直 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形是轴对称图形 D．平行四边形的对角线相等 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定相互垂直，故该选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项符合题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、平行四边形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； 2．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 3．如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 4．下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 【答案】D 【分析】利用矩形的判定定理，通过举反例或推理判断每个命题的真假，即可得到答案． 【详解】A、有一组对角是直角且一组对边平行，可由平行线的性质得到其余两个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意； B、如图， ，，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形； 故B是真命题，不符合题意； C、若两个直角是对角，根据B中证明可得四边形是矩形， 如图，若，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形； 如图，若，， 假设，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∵在中，， 这与相互矛盾， ， ， ∴四边形是矩形； 故C是真命题，不符合题意； D、直角梯形有两个内角是直角，且有一组对边平行，但直角梯形不是矩形，因此该命题是假命题，符合题意． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 7．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 8．如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据矩形的特点可得的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 二、填空题 9．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 10．如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 【答案】124 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，求得的度数，再判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 11．如图，O是矩形的对角线的中点，E是的中点．若，2，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】在矩形中，，， ， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 12．如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质求出，根据勾股定理得到，然后根据解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在矩形中，点、在边上（点在点左侧），连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由四边形是矩形，得到对边相等，四个角为直角，进而得到直角三角形全等，由全等三角形对边相等即可得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 15．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 16．如图，是矩形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若，，求的长． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线，矩形，勾股定理的运用 ，解题的关键是掌握垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理的运用，进行解题，即可． （1）根据垂直平分线的作图，即可； （2）根据垂直平分线的性质，得到，设，则，根据勾股定理，，求出，即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $