精品解析：重庆市第八中学校2026届高三下学期第10次周考数学试题

重庆八中高2026级高三下数学周考（十） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 小于 20 的质数 . 因为， 所以. 2. 若想要直观展示某城市一年内各个月份平均气温的变化趋势， 最合适的统计图是（ ） A. 饼图 B. 频数分布直方图 C. 折线图 D. 散点图 【答案】C 【解析】 【详解】要展示某城市一年内各月份平均气温的变化趋势，需选择能直观反映数据增减变化的统计图. 饼图用于展示各部分占总体的比例，频数分布直方图用于展示数据分布，散点图用于展示两变量相关关系，均不适合. 折线图通过线段连接数据点，可清晰体现变化趋势，故最合适. 3. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 若，则，上式成立； 若，则，则，得， 故方程的解为. 4. “直线与函数相切”是“直线与函数只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设“直线与函数相切”为命题，“直线与函数只有一个公共点”为命题， 函数的图象可看作是双曲线， 因为直线与函数相切，所以直线与函数只有一个公共点，所以是的充分条件； 反之，当直线的方程为与函数只有一个公共点，但此时直线与函数并不相切，所以不是的必要条件； 所以是的充分不必要条件. 5. 已知扇形 ，其圆心角 ，将扇形绕 旋转一周得到几何体的体积为 ，则扇形的半径为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】设扇形 的半径为，依题意，所得几何体是以为球心，为半径的半球， 因此，解得， 所以扇形的半径为3. 6. 已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，结合余弦定理逐项判断即可. 【详解】选项A： 因为 ，则， 由正弦定理：，所以 ， 只有当（即，不可能）时，故A错误； 选项B：因为，所以， 又因为，所以，即， 化简可得：， 若，则，即； 若，则 ， ，，，， 此时，也成立，故B正确； 选项C：因为 ，则， 所以，只有当时才相等，故C错误； 选项D：因为，由正弦定理可得，D错误. 7. 已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（ ） A. 共线 B. 关于实轴对称 C. 是等边三角形 D. 是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】依题意设出复数，根据，可得的关系，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可. 【详解】设，且,不全为0，不全为0， 则，即， 可得， 故或， 即得或，故不关于实轴对称，即B错误； 则或, 当时，; 当时，， 故恒有，所以是直角三角形，故D正确； 故、、三点不共线且不是等边三角形，故A，C错误. 8. 函数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元法构造函数利用单调性求最值 【详解】令，则，且， 所以，， 因为， 令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数为增函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，设幂函数（ 为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 10. 已知抛物线，其焦点为 ，准线为，过 的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ） A. 是定值 B. 以为直径的圆过点 C. 对于上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC. 【详解】抛物线的焦点，准线，设直线 ， ， 由消去，得 ，则， 对于A，，A正确； 对于B，连接，由， 得，则， 因此以为直径的圆过点 ，B正确； 对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误； 对于D，， 当且仅当 时取等号，因此面积的最小值为2，D正确. 11. 在长方体中， ， ，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，为直角 B. 存在，使得平面 C. 当时，取得最小值 D. 当时，顶点到平面的距离取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，当为中点时，根据判断A；当平面有，求出判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析判断D. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，， 则，则， 故，则， ， A，当为中点时，则，，则，， 所以，则为锐角，故A错误； B：当平面，因为平面，所以， 则，解得，故存在点，使得平面，故B正确； C，当时，取得最小值， 由B得，此时，则，， 所以，即的最小值为，故C正确； D，，设平面的法向量， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 当 时，点到平面的距离为0， 当时，， 当且仅当时取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题-每小题5分；共15分. 12. 已知平面向量和，若，则 _____. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，得. 13. 若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可) 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知所给函数性质找出函数验证条件即可. 【详解】由得：， 令，则，所以函数为奇函数. 所以所求函数要满足： ①为奇函数；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 例如：. 由 ，满足①， 由， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故满足②③, 所以函数满足题意. 14. 边长为 2 的正方形 中， 是以为圆心为半径的圆在正方形内的部分，是的中点，交 于 ，则四边形的面积为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出 点坐标，利用切割法求四边形的面积. 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系. 直线的方程为：，所在圆的方程为：. 将代入，得， 整理得： ， 又，所以，所以. 即. 故 作于， 则, . 所以四边形的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. （1）求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； （2）记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）， 的分布列为： 【解析】 【分析】（1）利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据古典概型的概率公式可求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率. （2）先确定的可能的取值，再根据超几何分布可求 的分布列，最后根据期望公式可求. 【小问1详解】 设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”， 则. 【小问2详解】 由题设有可取， 又，， ， 故的分布列为： 故. 16. 已知函数的极值点分别为1和2． （1）求实数m，n的值； （2）记曲线在点处的切线为l，若直线l经过点，求b的最大值． 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，1和2是方程的两个根，由韦达定理得到方程组，求出 ，，检验后得到答案； （2）得到切线方程，令，可得．设，求导，得到的单调性，从而求出函数的最大值，得到b的最大值． 【小问1详解】 的定义域为， 依题意，得， 由题意知，1和2是方程的两个根， 则解得 检验， ，时，， 令 得或 ，令 得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 故1为极大值点，2为极小值点，故 ，； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以直线l的方程为， 令，可得． 设，则， ， 令，可得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以时，，即b取得最大值，为． 17. 如图，在四棱锥 中，， ，， ， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求三棱锥 外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可证得，，再根据线面垂直的判定定理即可证出；（2）由二面角定义知 即为所求角，再解三角形即可得出二面角的大小； （3）根据三棱锥的结构特征确定外接球的球心位置，即可求出. 【小问1详解】 如图，连接 ，因为 ，， 故为等边三角形，所以 ，. 在中，由余弦定理得， 所以，所以，故； 同理 .又，所以平面. 【小问2详解】 由二面角定义知 即为所求角. 在 中，由余弦定理可得， 又，所以. 即二面角 的大小为. 【小问3详解】 如图：设 的外心为，由正弦定理得，外接圆的直径为， 所以.连接.过作， 过 作，，易得的中点满足， 所以求三棱锥 外接球半径为，表面积为. 18. 已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若不过，且直线,的斜率成等差数列，求的取值范围； （3）若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆左焦点为得 ，即 ；又椭圆过点，代入椭圆方程，联立解出和即可； （2）设：，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和；由题意得，代入化简得到与的关系；再根据直线与椭圆有两个交点，利用判别式，求出的取值范围。 （3）设： ，先求 的长度；设 ，得到的方程，再求出到直线的距离，最后利用基本不等式求出面积的最大值 【小问1详解】 由题意得 ，所以 又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得 即，整理得，解得 （舍去负根）所以 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设，因为不过，所以 设 ，化简得 因为直线，的斜率成等差数列，所以即 又,，所以， 整理得 将代入化简得 整理得 即 解得（舍去） 所以，代入 得，整理得解得或， 故的取值范围为 【小问3详解】 设 解得， 故 所以 设 ，则，其斜率为 又，所以 因为 在椭圆上，所以解得 不妨令则， 所以点到直线 的距离 所以面积 化简得 令， 则 ，当且仅当时取等号， 所以 即面积的最大值为 19. 已知函数定义在区间内，时，恒有. （1）证明：为奇函数； （2）若数列满足 ，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若 对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明：由题意知 的定义域为，关于原点对称．且 ， 令 ，则 ，故 ． 再令，则 ， 所以，故 为奇函数． （2）（i）由题意得 ， 又 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 故 是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据 得到 ，进而得到 是等比数列，从而得到数列 的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入 恒成立求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为， 所以 ， 所以 ， 两式相减得， 所以． 所以 对恒成立， 即 恒成立，即 恒成立． 设，则 ， 所以数列 单调递增． 当n为奇数时，，当 时，有最大值，故 ； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2026级高三下数学周考（十） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若想要直观展示某城市一年内各个月份平均气温的变化趋势， 最合适的统计图是（ ） A. 饼图 B. 频数分布直方图 C. 折线图 D. 散点图 3. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 4. “直线 与函数相切”是“直线 与函数只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知扇形 ，其圆心角 ，将扇形绕 旋转一周得到几何体的体积为 ，则扇形的半径为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（ ） A. 共线 B. 关于实轴对称 C. 是等边三角形 D. 是直角三角形 8. 函数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数为增函数 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知抛物线，其焦点为，准线为 ，过的直线与抛物线交于两点，过分别作 的垂线，垂足分别记为，则（ ） A. 是定值 B. 以 为直径的圆过点 C. 对于 上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2 11. 在长方体中， ， ，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，为直角 B. 存在，使得平面 C. 当时，取得最小值 D. 当时，顶点到平面的距离取得最大值 三、填空题：本题共3小题-每小题5分；共15分. 12. 已知平面向量和，若，则 _____. 13. 若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可) 14. 边长为 2 的正方形 中， 是以为圆心为半径的圆在正方形内的部分， 是的中点，交 于，则四边形的面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. （1）求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； （2）记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望. 16. 已知函数的极值点分别为1和2． （1）求实数m，n的值； （2）记曲线在点处的切线为l，若直线l经过点，求b的最大值． 17. 如图，在四棱锥 中，， ，， ， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求三棱锥 外接球的表面积. 18. 已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线 的斜率为，且与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若 不过，且直线,的斜率成等差数列，求的取值范围； （3）若 经过原点，过椭圆上一点的切线与 垂直，求面积的最大值. 19. 已知函数定义在区间内，时，恒有. （1）证明：为奇函数； （2）若数列满足 ，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若 对恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $