专题05一元一次不等式（组）与一次函数专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题05一元一次不等式（组）与一次函数专项训练 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型02.两直线交点求不等式解集 题型03.求不等式组的解集 题型04.解特殊不等式组 题型05.求不等组整数解 题型06.不等式组解集求参数 题型07.不等式组解集的情况求参数 题型08.不等式组与方程组结合 题型09.列一元一次不等式 题型10.不等式组经济问题 题型11.不等式组行程问题 题型12.不等式组方案选择问题 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 题型14.不等式组的其他应用 解答题7题 知识点01.一元一次不等式组 基本概念 一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起。 不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 解不等式组：求不等式组解集的过程。 知识点02:解一元一次不等式组的步骤（必考） 1.分别求出每个不等式的解集。 2.在同一数轴上表示出所有解集。 3.找出公共部分，就是不等式组的解集。 4.写出解集（若无公共部分则写无解）。 知识点03:四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口决总结如下: 知识点04.含参一元一次不等式组的核心考点 一.含参含义 不等式组中，除未知数x外，还含有其他未知字母（如a、m、n等），需根据解集的相关条件，求解这些字母的具体取值或取值范围。 二、核心类型 & 解题思路 1. 根据解集求参数 结合不等式组解集口诀，建立关于参数的方程或不等式，求解参数。 2. 根据有解 / 无解求参数 利用两个不等式解集的公共部分是否存在，确定参数的临界边界，进而得到取值范围。 3. 根据整数解的个数求参数 结合数轴确定整数解的分布范围，锁定参数的取值区间，注意验证边界等号是否成立 知识点05.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 知识点06:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 1．如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，从数形两方面理解一次函数与一元一次不等式的关系是解答问题的关键．根据直线经过点，得出值小于2的点都符合条件，利用函数图象，找出直线上M点下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】直线经过点， 由图象知，当时，， 的解集为． 故选C． 2．一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当时，，即可求出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点与y轴交于点， ∴y随x的增大而减小，且时，， 当时，，即， ∴不等式的解集为． 3．一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：根据函数图象可知，时，，时，， 则当时，x的取值范围是；当时，y的取值范围是． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得． 【详解】解：在函数中，令得，令得，则，， 点P在的内部， ∴， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键. 题型02.两直线交点求不等式解集 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】本题考查由函数图象解不等式，掌握由函数图象求不等式解集的方法步骤是解决问题的关键．当时，直线图象在直线图象上方，故关于x的不等式的解集是． 【详解】解：由图可知，当时，直线图象在直线图象上方，故关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 6．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 7．如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的整数解的和是______． 【答案】 【分析】根据两图象的交点，求出图象中在下面的部分中的范围即可． 【详解】解：， ， 函数和的图象相交于，两点． 根据图象可以看出，当时，的取值范围是，即当时，； 在范围内的整数有，， 的整数解的和是． 8．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 题型03.求不等式组的解集 9．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，分别解出两个不等式，然后即可求出不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式的解集为， 故选：C． 10．已知关于x的不等式组，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的点A，则不等式组的解集为___________． 【答案】 【分析】分别解不等式，然后根据数轴上点的位置可知，最后得出答案． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， 根据题意，可知， ∴不等式组的解集为：． 11．若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再结合恰好有2个正整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有个正整数解， ∴不等式组的个正整数解为，， ∴， 解得． 12．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先根据平行于y轴的直线性质求出点B、C的坐标，得到的长度表达式，再结合绝对值不等式恒成立的条件，通过分类讨论转化为关于k的不等式，进而求出k的取值范围． 【详解】解：过点作平行于y轴的直线为， 将代入，得， 将代入，得， 两点横坐标相同，为纵坐标差的绝对值， ， 由题意，在时，恒成立， 即，化简得， 情况1：当时，，不等式恒成立 情况2：当时， ， 不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 对于恒成立： ，越大越大，当时取最大值为：， ，解得， 对于恒成立，解得， ， 的取值范围为且． 题型04.解特殊不等式组 13．下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可． 【详解】解：①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，不正确，不符合题意； ②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集，符合题意； ③不等式两边乘（或除以）同一个数（不为0），不等号的方向不变，故不符合题意； ④ 是方程x﹣2y＝3的一组解，不是唯一解，故不符合题意； ⑤不等式组 的解集为x＝1，故不符合题意． 所以正确的个数是：1个 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式组．熟悉二元一次方程的解，以及一元一次不等式组的解集是解题的关键． 14．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 15．已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解一元一次不等式组，先求出一元一次方程的解，再根据其解为负数得出或，分别解不等式组，求出解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 当时，，此方程无解； 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的根是负数， ∴或， 解得， 故答案为：． 题型05.求不等组整数解 16．写出满足不等式组的一个整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 17．不等式组的最小整数解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求解两个不等式，找出解集的公共部分，然后确定最小整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为， 故答案为：． 18．关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的范围． 先分别解出两个不等式的解集，再合并得到不等式组的解集，结合整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 设，则解集为， 由于有5个整数解，且，整数解为， 为确保这些整数解都在解集中，需满足，即， 为确保不在解集中，需满足， 因此，， 代入，得， 解该不等式： 左边，乘以2得，即， 右边，乘以2得，即． 故的取值范围为． 故答案为． 19．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 题型06.不等式组解集求参数 20．不等式的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查求不等式解集，熟记不等式性质是解决问题的关键． 通过简化不等式得到，再讨论系数的正负情况，由不等式性质确定解集为时的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，，则，与给定解集一致； 当时，，则，与给定解集矛盾； 当时，，则，无解，与给定解集矛盾； 综上所述，只有当时，不等式解集为， 故答案为：． 21．关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 22．不等式组的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式，再根据已知解集，结合一元一次不等式组的解集法则，即可求出参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，移项得，即， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 根据“同大取大”的解集法则，得． 23．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可． 【详解】解：∵方程 的解为整数， 展开得，即， ∴为整数， 故为偶数， ∵5为奇数， ∴为奇数，即为奇数， 对于不等式组 ， 解不等式①，可得，即， ∴， 解不等式②，可得，两边乘5得， 即， ∴， ∴， 故该不等式组的解为且， ∵有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， ∴，即， ∴为整数，可能值为， 又∵为奇数，故或15， 当时，，为整数； 当时，，为整数． 且不等式组整数解均为，满足条件． ∴满足条件的整数和为． 故选：D． 题型07.不等式组解集的情况求参数 24．不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数，由不等式组可得，整数解为和，从而确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：由可得， ∵不等式组只有两个不同的整数解， ∴这两个整数解为和， ∴， 故答案为：． 25．已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关键，注意端点值的取舍．先求得不等式组的解集，再根据不等式组解集的情况，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由不等式得， 由不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为， ∴， ∴． 故答案为：． 26．不等式组的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，根据不等式组的解集以及一元一次不等式组“同大取大”的法则，即可得到m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ， 解得：． 27．若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 题型08.不等式组与方程组结合 28．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到，再利用得到不等式即可求解． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到的值． 29．在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为____________________． 【答案】// 【分析】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域是解题的关键．作出 不等式组所对应的平面区域，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作出不等式组对应的平面区域，则， 由， 得， 即， 由， 得， 即， 设直线与轴的交点为，， ， ， 故答案为：． 30．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 题型09.列一元一次不等式 31．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 【详解】解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 32．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 33．如图． 则小华求的是______边形的内角和． 【答案】十三 【分析】本题考查多边形内角和，解一元一次不等式组．由对话可知“内角和为”和“多加了一个外角的度数”的条件，这其中隐含着所设计的多边形的内角和满足的不等关系：①小于，②大于，从而构造不等式组进行求解． 【详解】解：设小华设计的图案是边形，由题意得： ， 解得． ∵是正整数， ∴． ∴小华求的是十三边形的内角和， 故答案为：十三． 题型10.不等式组经济问题 34．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 35．请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 【答案】笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元 【分析】设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据“笔记本的标价小于8元，笔记本和橡皮的标价之和大于8元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x是正整数，即可求出结论． 【详解】解：设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据题意得 ， 解得：， 又∵x是正整数， ∴， 则． 答：笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元． 36．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速．某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务．现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务： 素材一：型无人机：适用于城市内短途配送；型无人机：适用于跨城际长途配送． 素材二：已知采购架型无人机和架型无人机总价为万元；采购架型无人机和架B型无人机总价为万元． 素材三：该公司欲采购这两种无人机共架．根据大湾区配送网络规划： ①型无人机数量不少于型无人机的倍，以确保城市内配送密度； ②型无人机至少采购架，以满足跨城际配送需求． (1)任务一：确定型无人机和型无人机的单价； (2)任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金． 【答案】(1)型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架 (2)最省钱的购买方案为购买型无人机架，型无人机架，购买资金为万元 【分析】（1）设型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架，利用总价=单价×数量，结合两次采购的费用和数量列二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型无人机架，则购买型无人机架，购买资金为万元，根据型无人机数量不少于型无人机的倍，型无人机至少采购架，列不等式组，求出的取值范围，用表示出，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）解：设型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架， ∵架型无人机和架型无人机总价为万元；架型无人机和架B型无人机总价为万元， ∴， 解得：． 答：型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架． （2）解：设购买型无人机架，则购买型无人机架，购买资金为万元， 根据题意得，， 解得：， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值， 此时（万元）， （架）． 答：最省钱的购买方案为购买型无人机架，型无人机架，购买资金为万元． 题型11.不等式组行程问题 37．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 38．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 39．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 题型12.不等式组方案选择问题 40．为迎接“六一”，某儿童玩具店计划购进一批甲、乙两种玩具，已知2件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为90元，3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为160元． (1)求甲乙两种玩具每件进价各多少元？ (2)如果该玩具店准备购进甲乙两种玩具共20件，总进价不超过700元，且不低于600元，问有几种进货方案，哪种进货方案总进价最低？ 【答案】(1)甲、乙两种玩具每件进价分别为20元、50元 (2)有4种进货方案，其中购进甲玩具13件，乙玩具7件的方案总进价最低 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲种玩具进价x元/件，乙种玩具进价为y元/件，根据2件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为90元，3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为160元可列方程组求解． （2）设购进甲种玩具a件，则购进乙种玩具件，根据总进价不超过700元，且不低于600元，可列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种玩具每件进价分别为x元、y元，由题意，得 ， 解得：， 答：甲、乙两种玩具每件进价分别为20元、50元； （2）设总进价为W元，购进甲玩具a件，由题意得 ， 由， 解得：， ∵a为整数， ∴， 由一次函数可知，，W随a增大而减小． ∴当时，W取得最小值． 答：有4种进货方案，其中购进甲玩具13件，乙玩具7件的方案总进价最低． 41．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示： 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． 项目 空调 彩电 进价（元/台） 售价（元/台） (1)试写出与之间的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可以选择？ (3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)有三种购买方案：方案1：购买空调台，彩电台，方案2：购买空调台，彩电台，方案3：购买空调台，彩电台 (3)购买空调台，彩电台时，利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用． (1)根据空调和彩电的利润列出与之间的函数关系式； (2)根据总利润不低于万元，进货资金不超过万元，列不等式组，解不等式组可得，又因为为整数，可得进货方案； (3)根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：购进空调台，则购进彩电台， 销售空调的利润是元，销售彩电的利润是元， ， 与之间的函数关系式是； （2）解：由题意得：， 解得：， 为整数， 或或， 有三种购买方案， 方案1：购买空调台，彩电台， 方案2：购买空调台，彩电台， 方案3：购买空调台，彩电台； （3）解：一次函数，中， 该函数随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时， 时，利润最大，最大利润为元． 42．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 43．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 44．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 45．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 46．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 题型14.不等式组的其他应用 47．如图，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围___． 【答案】 【分析】结合已知条件，根据不等式的定义即可求得答案． 【详解】解：根据题意知，，即． 48．某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设去过峨眉山的人数为x，根据给定的三个条件，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：设去过峨眉山的人数为x人，去过五台山的人数为y人， 由题意得：， ∵x，y为整数， 由可得， 结合，可得， 即， 又∵， ∴， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为6， ∴去过峨眉山的人数的最大值为6． 故答案为：6． 49．按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与一元一次不等式组，根据流程图结合程序操作进行了两次才停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 50．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为w， 则． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 解答题 51．如图，一次函数解析式交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求A、B两点坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）分别将、代入计算即可； （2）先求出，，再根据三角形面积公式计算即可； （3）直接根据函数图象及A点坐标作答即可． 【详解】（1）解：将代入得； 将代入得， 得：； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 52．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，在数轴上表示见详解 (2)，在数轴上表示见详解 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 解不等式② 移项合并同类项得：， 解得： 故不等式组的解集为， 在数轴上表示出来如图： （2）解：， 解不等式① 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 解不等式②， 两边同乘去分母得：， 去括号整理得：， 移项合并同类项得： 故不等式组的解集为， 在数轴上表示出来如图： 53．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】，见解析， 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 解得， 解集为：， 不等式组的所有整数解为． 54．已知不等式组共有个整数解． (1)求的取值范围； (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先解不等式组得到，再根据个整数解，，反推的取值范围即可； （2）根据的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组共有个整数解，小于的连续整数为，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 55．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 56．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【答案】(1) (2)数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，旨在考查学生的数形结合能力． （1）找到数轴上与B点距离等于3的两点即可求解； （2）由（1）可知，当，数所对应的点到点B的距离小于3；当或，数所对应的点到点B的距离大于3；当或，数所对应的点到点B的距离等于3． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上两点与B点距离等于3， ∵A，B两点的距离小于3， ∴点A在之间， ∴； （2）解：∵ 由（1）可知：数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3． 57．如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）联立（1）中两个函数表达式得到交点坐标 （3）由的面积，即可求解； （4）当点在轴右侧时，由，则，求出点，即可求解；当点在轴左侧时，得到直线的表达式为：，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的函数表达式得：， 则直线的表达式为：； 将点、的坐标代入直线的函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）联立（1）中两个函数表达式得：， 解得：，则点， 结合图像可知时 ，； （3）解：由直线的表达式知，点，则， 则的面积； （4）解：当点在轴右侧时，令与直线的交点为， ，则， 设点，则， 解得：，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点； 当点在轴左侧时， ，则， 则直线的表达式为：， 则点； 综上，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元一次不等式（组）与一次函数专项训练 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型02.两直线交点求不等式解集 题型03.求不等式组的解集 题型04.解特殊不等式组 题型05.求不等组整数解 题型06.不等式组解集求参数 题型07.不等式组解集的情况求参数 题型08.不等式组与方程组结合 题型09.列一元一次不等式 题型10.不等式组经济问题 题型11.不等式组行程问题 题型12.不等式组方案选择问题 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 题型14.不等式组的其他应用 解答题7题 知识点01.一元一次不等式组 基本概念 一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起。 不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 解不等式组：求不等式组解集的过程。 知识点02:解一元一次不等式组的步骤（必考） 1.分别求出每个不等式的解集。 2.在同一数轴上表示出所有解集。 3.找出公共部分，就是不等式组的解集。 4.写出解集（若无公共部分则写无解）。 知识点03:四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口决总结如下: 知识点04.含参一元一次不等式组的核心考点 一.含参含义 不等式组中，除未知数x外，还含有其他未知字母（如a、m、n等），需根据解集的相关条件，求解这些字母的具体取值或取值范围。 二、核心类型 & 解题思路 1. 根据解集求参数 结合不等式组解集口诀，建立关于参数的方程或不等式，求解参数。 2. 根据有解 / 无解求参数 利用两个不等式解集的公共部分是否存在，确定参数的临界边界，进而得到取值范围。 3. 根据整数解的个数求参数 结合数轴确定整数解的分布范围，锁定参数的取值区间，注意验证边界等号是否成立 知识点05.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 知识点06:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 1．如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点，则不等式的解集为________． 3．一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 题型02.两直线交点求不等式解集 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 6．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的整数解的和是______． 8．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03.求不等式组的解集 9．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 10．已知关于x的不等式组，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的点A，则不等式组的解集为___________． 11．若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______． 12．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 题型04.解特殊不等式组 13．下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 题型05.求不等组整数解 16．写出满足不等式组的一个整数解________． 17．不等式组的最小整数解是___________． 18．关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 19．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 题型06.不等式组解集求参数 20．不等式的解集为，则的取值范围为__________． 21．关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________． 22．不等式组的解集是，则的取值范围是______． 23．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 题型07.不等式组解集的情况求参数 24．不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是______． 25．已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是_____． 26．不等式组的解集是，则的取值范围是______． 27．若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 题型08.不等式组与方程组结合 28．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 29．在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为____________________． 30．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09.列一元一次不等式 31．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 32．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 33．如图． 则小华求的是______边形的内角和． 题型10.不等式组经济问题 34．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 35．请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 36．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速．某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务．现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务： 素材一：型无人机：适用于城市内短途配送；型无人机：适用于跨城际长途配送． 素材二：已知采购架型无人机和架型无人机总价为万元；采购架型无人机和架B型无人机总价为万元． 素材三：该公司欲采购这两种无人机共架．根据大湾区配送网络规划： ①型无人机数量不少于型无人机的倍，以确保城市内配送密度； ②型无人机至少采购架，以满足跨城际配送需求． (1)任务一：确定型无人机和型无人机的单价； (2)任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金． 题型11.不等式组行程问题 37．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 38．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 39．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 题型12.不等式组方案选择问题 40．为迎接“六一”，某儿童玩具店计划购进一批甲、乙两种玩具，已知2件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为90元，3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为160元． (1)求甲乙两种玩具每件进价各多少元？ (2)如果该玩具店准备购进甲乙两种玩具共20件，总进价不超过700元，且不低于600元，问有几种进货方案，哪种进货方案总进价最低？ 41．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示： 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． 项目 空调 彩电 进价（元/台） 售价（元/台） (1)试写出与之间的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可以选择？ (3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？ 42．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 43．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 44．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 45．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 46．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 题型14.不等式组的其他应用 47．如图，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围___． 48．某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为______． 49．按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是__________． 50．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 解答题 51．如图，一次函数解析式交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求A、B两点坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 52．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 53．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 54．已知不等式组共有个整数解． (1)求的取值范围； (2)化简： 55．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 56．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 57．如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $