第七章 相交线与平行线 综合实践与数学活动-【金牌导学案】2025-2026学年七年级下册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了相交线与平行线的性质及判定，通过动手操作如折纸画平行线，问题探究如动态射灯旋转，结合证明推理等方式串联核心知识，帮助学生构建从实践到理论的完整知识网络。 其亮点在于以“动手操作-问题探究-拓展延伸”为主线，设计折纸验证平行、旋转角度计算等活动，培养学生的几何直观和推理能力，分层探究（初探到拓展）满足不同学生需求，助力教师精准教学，有效巩固知识。

 第七章 金牌导学案 相交线与平行线 1．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：图1－图2－图3－图4. 【问题初探】（1）通过上述的折纸过 程，图2的折痕PQ与直线AB的位置关 系是　　　　　；如图4，∠1＝∠2＝ 　　　　　，则AB与CD的位置关系 为　　　　　　； 画平行线的方法 垂直 90° 平行 第七章　综合实践与数学活动 解：(1)如答图1， 由折叠性质可知直线AB折叠重合为两个角，平角为180°， ∴∠AQP＝90°，即AQ⊥PQ， ∴PQ与直线AB的位置关系是垂直， 如答图2， ∵AB⊥PQ，∴∠2＝90°， 由折叠可知∠1＝∠CPF＝90°， ∴∠1＝∠2＝90°， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， 答图1 答图2 第七章　综合实践与数学活动 【问题二探】（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P，Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从PD开始绕点P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时针旋转至QB后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是1°/ s、3°/ s，若灯P射线转动20 s后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t s时，灯P射线PN转动到 如图5的位置． ①用含t的式子表示∠DPN＝　　　　　； ②当t＝45 s时，两条射线的夹角为 　　　　　； (20＋t)° 70° 第七章　综合实践与数学活动 (2)①由条件可知灯P转动20秒后度数为20×1＝20°， ∵当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如答图3的位置， ∴此时灯P再次转动了t·1＝t°， ∴∠DPN＝(20＋t)°， ②当t＝45 s时，∠DPN＝20＋t＝65°，∠AQH＝45×3＝135°， ∵AB∥CD，∴∠PHQ＝∠HQB＝180°－∠AQH＝45°， ∴两条射线的夹角为180°－45°－65°＝70°. 答图3 第七章　综合实践与数学活动 【问题三探】（3）在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达PC之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． (3)设灯Q转动a s，两灯的光束互相平行， ①当0≤a≤60时，如答图4， 由条件可知∠DPN＝∠PNA， ∠HQA＝∠PNA， ∴3a＝1×(20＋a)， 解得a＝10； 答图4 第七章　综合实践与数学活动 ②当60＜a≤120时，如答图5， 由条件可知∠DPN＝∠PNA，∠PNA＝∠AQH， ∴∠DPN＝∠AQH， ∴360°－3a＝1×(20＋a)， 解得a＝85； 答图5 第七章　综合实践与数学活动 ③当120＜a≤160时，如答图6， 由条件可知∠CPN＝∠PNB，∠HQB＝∠PNB， ∴∠CPN＝∠HQB， ∴∠NPH＝∠NQH， ∴3a－360°＝180°－1×(20＋a)， 解得a＝130， 综上所述，当a为10 s或85 s或130 s时，两灯的光束互相平行. 答图6 第七章　综合实践与数学活动 2.【知识初探】（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P.过点P折叠纸片，使得点C的对应点C′落在直线BC上 （如图2），记折痕DE与BC的交点为A， 将纸片展开铺平； 第七章　综合实践与数学活动 ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）.此时王芳说，PF就是BC的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整． 证明：由折叠可知∠PAB＝∠PAC， 又∵∠PAB＋∠PAC＝180°， ∴∠PAC＝90°. … 第七章　综合实践与数学活动 (1)证明：由折叠可知∠PAB＝∠PAC， 又∵∠PAB＋∠PAC＝180°， ∴∠PAC＝90°， 同理，∠EPF＝∠E′PF＝90°， ∴∠PAC＝∠E′PF， ∴PF∥BC； 第七章　综合实践与数学活动 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（如图4）中量得∠PFM＝α，请你求出∠ABM的大小（用含α的代数式表示）； (2)解：作MH∥PF，则MH∥PF∥BC， ∴∠PFM＋∠FMH＝180°，∠ABM＋∠HMB＝180°， ∴∠PFM＋∠FMH＋∠ABM＋∠HMB ＝∠PFM＋∠ABM＋∠FMB＝360°， ∵∠PFM＝α，∠FMN＝90°(正方形的一个内角为90°)， ∴∠ABM＝270°－α； 第七章　综合实践与数学活动 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线BC和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到FK∥BC后（点B，C，K，F分别在线段MN，NQ，QR，RM上），再画出∠PFM和∠ABM的平分线FH，BI，FH，BI所在的直线交于点G，请求出∠FGB的度数． 第七章　综合实践与数学活动 (3)解：当点G在直线PF的下方时，如答图1，过点G作GJ∥PF，则GJ∥PF∥BC， ∴∠FGJ＝∠PFG，∠BGJ＝∠ABG， ∴∠FGB＝∠FGJ＋∠BGJ＝∠PFG＋∠ABG， ∵FH，BI分别平分∠PFM和∠ABM， ∴∠PFG＝ ∠PFM，∠ABG＝ ∠ABM， 由(2)可知∠PFM＋∠ABM＝270°， ∴∠FGB＝∠PFG＋∠ABG＝ ∠PFM＋ ∠ABM＝ ×270°＝135°； 答图1 第七章　综合实践与数学活动 当点G在PF上方时，如答图2，过点G作GJ∥PF，则GJ∥PF∥BC， ∴∠BGJ＋∠CBG＝180°，∠FGJ＝∠PFH， ∴∠FGB＝∠BGJ－∠FGJ＝(180°－∠CBG)－∠PFH ＝180°－∠CBG－∠PFH， ∵FH，BI分别平分∠PFM和∠ABM， ∴∠PFH＝ ∠PFM，∠CBG＝ ∠ABM， 由(2)知∠ABM＋∠PFM＝270°， ∴∠FGB＝180°－∠CBG－∠PFH＝180°－ ∠PFM－ ∠ABM ＝180°－135°＝45°； 综上所述，∠FGB＝135°或∠FGB＝45°. 答图2 第七章　综合实践与数学活动 感谢聆听 16 $