精品解析：黑龙江大庆市萨尔图区大庆市祥阁学校2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测

25-26大庆市祥阁学校4月考数学学科 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 考古学家们破译了玛雅人的天文历，其历法非常精确．他们计算的地球一年天数与现代相比仅差天．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较小的数，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此确定的值以及的值即可． 按照科学记数法的表示形式进行解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为：， 故选：． 4. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若去掉一个小正方体，主视图不发生变化，则去掉小正方体的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，减少一个小正方体的组合体的三视图的变化，掌握简单组合体的三视图是解题关键．根据三视图的定义，对比去掉小正方形前后主视图，即可得出答案． 【详解】解：原组合体的主视图如下， 若去掉小正方体①，主视图如下， 主视图发生变化，不符合题意； 若去掉小正方体②，主视图如下， 主视图不发生变化，符合题意； 若去掉小正方体③，主视图如下， 主视图发生变化，不符合题意； 若去掉小正方体④，主视图如下， 主视图发生变化，不符合题意． 故选：B 5. 如图，把一个底面半径是的圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积增加了，原来圆柱的体积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆柱的体积和长方体的体积的关系．先求出圆柱体的高，再求出圆柱体的体积即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴原来圆柱的体积是； 故选：C 6. 一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 5 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据“一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过点（2，﹣1）”确定一次函数y＝﹣kx+3的图象经过的点，然后代入求得k即可． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过点（2，﹣1） ∴点（2，1）在一次函数y＝﹣kx+3的图象上 ∴1=-2k+3，解得：k=1． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式、关于x轴对称的点的特点等知识点，掌握关于x轴对称的点的特点 “横坐标不变、纵坐标变为相反数”成为解答本题的关键． 7. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴， ∴ADOB， ∴， ∴， 过点B作BE⊥OA于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 8. 下列说法正确的有（ ）个 （1）相等的弦所对的圆心角也相等；（2）无理数都是无限小数；（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行：（4）“矩形的对角线相等”的逆命题是真命题：（5）在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于；（6）三角形的三条高线交于一点 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐个判断每个说法的正误，统计正确的个数即可得到答案. 【详解】解：（）∵只有同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，原说法缺少前提条件， ∴该说法错误，不符合题意； （）∵无理数是无限不循环小数，属于无限小数， ∴无理数都是无限小数，该说法正确，符合题意； （）∵只有同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法缺少“同一平面内”的条件， ∴该说法错误，不符合题意； （）∵“矩形的对角线相等”的逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”，等腰梯形对角线相等但不是矩形， ∴逆命题是假命题，该说法错误，不符合题意； （）∵只有在直角三角形中，长度为斜边一半的直角边所对的角才是，任意三角形不满足该结论， ∴该说法错误，不符合题意； （）∵任意三角形的三条高线所在直线交于一点，该点称为三角形的垂心， ∴该说法错误，不符合题意； 综上，正确的说法共个． 9. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而求得得的长即可． 【详解】解：如图所示： ∵正方形的边长为1，即， ∴正方形的面积为1， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由图形的拼接可知：， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，是边的中点，点在斜边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为．如图，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列结论正确的有（ ）个 ；；；的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象可求出的长，过点作交于点，由图知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断和；用的值可判断；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断． 【详解】解：由图可知，当时，，即， ∴， ∵是边的中点， ∴ ∵ 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，， 由图知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故错误； ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故正确， 综上可得：结论正确的有，共个． 二、填空题(每题3分．共24分) 11. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 比较大小：________．(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 13. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 14. 若，则的值为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，根据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：13． 15. 观察下列图形，其中第①个图形由5个“△”组成，第②个图形由8个“△”组成，第③个图形由13个“△”组成，…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共有_______个． 【答案】68 【解析】 【分析】观察图形，找出前三个图形的规律，从而可求出最后结果． 【详解】解：根据题意可知：第①个图形中“△”的个数为， 第②个图形中“△”的个数为， 第③个图形中“△”的个数为， ， 第⑧个图形中“△”的个数为． 16. 已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， ∴分式方程的解为， 当时，由只有4个整数解，得到． 故答案为：． 17. 如图所示为一张矩形纸片，E为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，四边形是矩形，E为的中点，得，，，由折叠得，，，，，，因为的延长线过点C，所以，根据“”证明，得，则，可证明，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，由题意可得：，，，， 由折叠得，，， ，，， 的延长线过点C， ， 在和中， ， ， ， ， ， . ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 18. 定义∶在平面直角坐标系中，如果点满足 (k是常数)，我们称点P为“k级和值点”， 例如∶ 满足， 则称为“2级和值点”，下列结论正确的是___________． （1）函数与函数的图象上都存在“1级和值点”； （2）函数 存在两个“2级和值点”； （3）关于x的二次函数(m，n是常数)与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，则或； （4）已知关于x的二次函数(a，b，c是常数且()的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，， 则 ． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据定义，构造方程组，，，，再利用解方程组，一元二次方程根的判别式，根与系数关系定理求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 解得，故函数的图象上存在“1级和值点”，且为； 根据题意，得， 故， 整理，得， 此时， 故该方程无实数根， 故不存在点满足， 故函数的图象上不存在“1级和值点”， 故（1）错误； 根据题意，得， 故， 整理，得， 此时， 故该方程有两个相等的实数根， 故存在一个点满足， 故（2）函数 存在两个“2级和值点”的说法错误； 根据题意，得， 故， 整理，得， 解得， 由关于x的二次函数(m，n是常数)与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”， 故符合题意，要舍去， 故在函数的图象的图像上， ， ， ， 当与x轴只有一个交点时， 此时， 故， 解得， 故， 此时，抛物线的解析式为， 此时与y轴交于点，满足与坐标轴只有2个交点， 故符合要求； 当与x轴有两个交点时， 此时图象必须经过原点， 故， 解得， 此时，抛物线的解析式为， 此时与y轴交于点，与x轴的交点为，满足与坐标轴只有2个交点， 故符合要求；故（3）正确； 根据题意，得， 故， 整理，得，设，， 则，是方程的两个根， 故， ， ， ， 故， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，取得最小值，且为； 当时，取得最大值，且为； 故， 故（4）错误． 三．解答题 (共10小题，满分66分) 19. 计算∶ 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值化简，再按照实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．先计算括号内的运算，把除法转化为乘法，约分后可得到答案． 【详解】解：原式 当时，原式． 21. 某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 【答案】引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 【解析】 【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米，根据某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 22. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】阴影的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 过点A作于点T，于点K，在中，根据锐角三角函数分别求出，再证明四边形是矩形，即可求得，再根据等腰直角三角形的性质即可求解，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点T，于点K， 在中，，， ∴， ． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴． 答：阴影的长约为． 23. 某市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分(分数为整数，满分为分)． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 阅读课程 信息二：名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为分和分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的名学生中，抽样调查方式更合理的是 ．(填序号) ①从八年级中抽取：②从七年级（1）班中抽取：③抽取名男生：④从个班中各随机抽取一个． （2）填空∶ ， ． （3）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 【答案】（1）④ （2）， （3）更喜欢阅读课程 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的样本要具有广泛性和代表性解答即可； （2）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （3）利用加权平均数公式解答即可． 【小问1详解】 由题意可知，抽样调查方式更合理的是从个班中各随机抽取一个， 故答案为：④． 【小问2详解】 把校外课程的打分从小到大排列，排在中间的两个数均为，故中位数， 在阅读课程的打分中，出现的次数最多，故众数． 【小问3详解】 校外课程的得分为（分）， 阅读课程的得分为（分）， ∵， ∴该校师生更喜欢阅读课程． 24. 如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）与相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明和全等得，根据可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接交于点H，根据菱形性质得，，进而得，在中，由勾股定理得，继而得，再证明是的中位线得，然后证明和相似，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【小问1详解】 证明：， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， 点为中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 在中，，点为中点， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点，如图所示： 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， 点为中点， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 点为中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 设， ， 解得：， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，的坐标分别为和 ． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）当 时，的取值范围是 ； （3）点在轴的负半轴上，若 ，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）结合图象即可求解； （）过点作，交于点，过点作轴，过点作于，于，证明，所以，根据 ，从而求得，，则，然后求出直线解析式即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过和， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的解析式为，， 把和代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可得：时，的取值范围是或， 即当时，的取值范围是或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点，过点作轴，过点作于，于， ∵和， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴． 26. 某市商贸公司购进某种商品，经过多方市场调研，整理出这种商品在第（，为整数）天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间(天) 售价 (元) 日销售量() 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元 （1）求与的函数关系式： （2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）公司在销售的前天中，每销售这种商品就捐赠元给“希望工程”．若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，则的取值范围是 【答案】（1） （2）第25天利润最大，为2450元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“日销售利润（售价进价）日销售量”，分和两种情况，分别推导与的函数关系式； （2）分别分析两种函数关系式的最值：二次函数用顶点式求最大值，一次函数根据增减性求最大值，再比较得出最终最大利润及对应天数； （3）先列出扣除捐赠后的利润函数，再根据二次函数的单调性（对称轴与取值范围的关系），确定的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 当时，， ∴当时，， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴在第天时，利润最大为元． 【小问3详解】 设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， ， ∴对称轴为直线， ∵随的增大而增大，为整数， ∴， 解得， ∴． 27. 如图，在三角形中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当， 时， 求的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）的值为． 【解析】 【分析】（）连接，，由是的直径，则，可得，从而有是中位线，根据中位线定理可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作，交延长线于点，则，证明，所以，然后证明，则，即，然后代入即可求证； （）连接，证明，所以，即，再证明，则，即，所以，得，，设，则， ，然后通过，得，整理得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：如图，过作，交延长线于点，则， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， 经检验：是方程的解，且符合题意， ∴， ∴的值为． 28. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点和，点在抛物线上，点的横坐标为，作轴于点，将线段绕点旋转得到线段，作四边形． （1）求该抛物线的函数表达式： （2）当、两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）当时，抛物线在四边形内部的图象包括边界记为，若图象上的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； （4）当线段与该抛物线只有一个交点时，则的值或取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）将已知点、代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组求出、的值，进而得到抛物线表达式． （2）先由（1）的结果确定抛物线的对称轴，再用表示出、的坐标；根据旋转的性质，得到、的坐标；最后利用、关于对称轴对称的条件列方程求解，进而得到点坐标． （3）先确定抛物线的顶点坐标，根据图象的增减性可知其最低点为抛物线顶点；再结合最高点与最低点纵坐标差为，求出最高点纵坐标，该纵坐标等于点纵坐标，列方程求解，并根据的条件取舍结果． （4）先由（2）得到、、、的坐标表达式，分和两种情况，分别讨论过抛物线顶点、在抛物线上、在抛物线上时对应的值，结合数形结合思想确定的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ， ， 抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线上，横坐标为，轴于点， ， 线段绕点旋转得到线段 与、与分别关于原点对称 ， 、两点关于抛物线的对称轴对称，且在轴上 在对称轴左侧， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为， 图象上的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大， 图象的最低点为抛物线的顶点，纵坐标为， 图象的最高点与最低点的纵坐标之差为， 最高点的纵坐标为， ，图象的最高点为点， 点的纵坐标为， ， ， 解得， ， ； 【小问4详解】 解：由（）可知：，，，， ①当时，当经过抛物线顶点时，如图， ， ， 解得：， ， （舍去），， 当在抛物线上时，如图， ， ， ， ， ， ， 当在抛物线上时，如图， ， ， ， 解得， ， （舍去），， 结合数形结合，当时，与抛物线只有一个交点的范围为：或或， ②当时，当在抛物线上时，如图， ， ， ， ， ， ， 当在抛物线上时，如图， ， ， ， 解得：， ， ， 结合数形结合，当时，与抛物线只有一个交点的范围为： ， 综上，的取值范围是：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的图象与性质、中心对称的性质、图形的旋转、一元二次方程的求解以及数形结合思想的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、中心对称的性质，运用分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26大庆市祥阁学校4月考数学学科 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 考古学家们破译了玛雅人的天文历，其历法非常精确．他们计算的地球一年天数与现代相比仅差天．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若去掉一个小正方体，主视图不发生变化，则去掉小正方体的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图，把一个底面半径是的圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积增加了，原来圆柱的体积是（ ）． A. B. C. D. 6. 一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 5 D. ﹣5 7. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 8. 下列说法正确的有（ ）个 （1）相等的弦所对的圆心角也相等；（2）无理数都是无限小数；（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行：（4）“矩形的对角线相等”的逆命题是真命题：（5）在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于；（6）三角形的三条高线交于一点 A. B. C. D. 9. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边的中点，点在斜边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为．如图，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列结论正确的有（ ）个 ；；；的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题(每题3分．共24分) 11. 函数中自变量的取值范围是______． 12. 比较大小：________．(填“”，“”或“”) 13. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 14. 若，则的值为_______． 15. 观察下列图形，其中第①个图形由5个“△”组成，第②个图形由8个“△”组成，第③个图形由13个“△”组成，…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共有_______个． 16. 已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是______． 17. 如图所示为一张矩形纸片，E为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点若，则的值是______． 18. 定义∶在平面直角坐标系中，如果点满足 (k是常数)，我们称点P为“k级和值点”， 例如∶ 满足， 则称为“2级和值点”，下列结论正确的是___________． （1）函数与函数的图象上都存在“1级和值点”； （2）函数 存在两个“2级和值点”； （3）关于x的二次函数(m，n是常数)与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，则或； （4）已知关于x的二次函数(a，b，c是常数且()的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，， 则 ． 三．解答题 (共10小题，满分66分) 19. 计算∶ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 22. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到；参考数据：，，） 23. 某市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分(分数为整数，满分为分)． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 阅读课程 信息二：名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为分和分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的名学生中，抽样调查方式更合理的是 ．(填序号) ①从八年级中抽取：②从七年级（1）班中抽取：③抽取名男生：④从个班中各随机抽取一个． （2）填空∶ ， ． （3）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 24. 如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）与相交于点，若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，的坐标分别为和 ． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）当 时，的取值范围是 ； （3）点在轴的负半轴上，若 ，求点的坐标． 26. 某市商贸公司购进某种商品，经过多方市场调研，整理出这种商品在第（，为整数）天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间(天) 售价 (元) 日销售量() 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元 （1）求与的函数关系式： （2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）公司在销售的前天中，每销售这种商品就捐赠元给“希望工程”．若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，则的取值范围是 27. 如图，在三角形中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当， 时， 求的值． 28. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点和，点在抛物线上，点的横坐标为，作轴于点，将线段绕点旋转得到线段，作四边形． （1）求该抛物线的函数表达式： （2）当、两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）当时，抛物线在四边形内部的图象包括边界记为，若图象上的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； （4）当线段与该抛物线只有一个交点时，则的值或取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $