第八章 平面向量（高效培优单元自测·强化卷）数学沪教版高一必修第二册

第八章 平面向量（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：.    2．已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求投影向量 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 3．已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 4．已知是内部一点，，，且，则的面积为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知数量积求模、平面向量共线定理的推论 【分析】由可得，设D为AC中点，则，可得，从而可得O为BD的中点，进而可得，由可得，再由即可求出. 【详解】在中，由可得， 设D为AC中点，则， ，O为BD的中点，， ，， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为_________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据，以及扇形与剩余部分的圆心角的弧度数之和为，简单计算即可. 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，剩余部分的圆心角为 所以，由与的比值为 则，所以 故答案为： 6．若向量，则的单位向量的坐标为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量的定义及已知向量坐标求单位向量的坐标. 【详解】由题设，单位向量. 故答案为： 7．已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量公式求解. 【详解】投影向量. 故答案为：. 8．奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 9．已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】结合题意可设，，，表示出，进而求解出最大值. 【详解】由，则， 不妨设，，， 则， 则 ，其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 10．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 11．定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】振幅仅是保证与总有交点，的变化仅是改变函数的周期，与线段长度的比无关，令即可，由题意研究图象解出的取值范围即可. 【详解】 由题意，振幅仅是保证与有交点， 且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则， 故且， 又的变化仅改变函数的周期(长度)，与线段长度的比无关， 要使，第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长， 不妨令，，作出(注意代换且)的图象， 如图： 由，且，， 所以，由图象得：，或，结合， 所以的取值范围为：. 所以的最大值是 故答案为： 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积. 【详解】因为，所以. 设，则， 在中，由余弦定理可得，解得， 所以. 故答案为：. 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．设P是所在平面内的一点，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则 【详解】移项得.故选B 14．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 15．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】求出各个角的度数，在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米. 故选：A. 16．在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、诱导公式五、六 【分析】作出图形，确定点的轨迹图形，结合图象可求得线段所形成图形的面积. 【详解】因为，所以点在单位圆上， 由于，， 所以，是其与轴正方向的有向角为， ，则， 记点，，所以，点的轨迹是劣弧， 所以，动线段所形成图形为阴影部分区域， 因为，因此，阴影部分区域的面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点的轨迹图形，数形结合求出图形的面积. 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且    (1)若时，求的长； (2)若△的面积是△的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1)2； (2)； (3)时，的面积取最小值为. 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； （2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解； （3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【详解】（1）由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则，                              因为，所以， ∵，∴， （2）设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得，                        从而，即，而， 由，得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得，          所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 18．已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)共线，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为， 则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 19．如图，在中，，，，，且，. (1)若，求的值； (2)若向量与向量平行，求的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）以向量为基底表示向量，再根据数量积公式表示； （2）利用基底表示向量，再根据向量平行的充要条件，即可列式求解； （3）首先利用基底表示，再结合数量积公式，以及基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， , ，,， 所以 所以. （2）， 因为， 所以存在实数使得， 即，消去可得，所以， （3）， ， 所以，化简得， 又因为，所以，解得或 又因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 20．设是两个不共线的非零向量 （t∈R） (1)记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ (2)若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值； （2）由题设条件，可以表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值． 【详解】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数使得， 则有， 又， ，又是两个不共线的非零向量， 解得， 故存在时，A、B、C三点共线； （2）且两向量的夹角是120°， ， ∴当时，的值最小为. 21．如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，记． (1)若，求PB的长； (2)用表示，并求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先根据题意求得，，再利用余弦定理求解即可； （2）先根据题意得到，则，再利用正弦定理得到，再结合三角形的面积公式得到，再根据三角形的内角关系得到，再结合正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形， 则，且， 所以在中， 由余弦定理得， 所以． （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有，得， 所以 ， 又，且， 则，则， 所以，则， 故的取值范围为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 2．已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 3．已知向量、的夹角为，且，，则___________ 4．已知是内部一点，，，且，则的面积为________. 5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为_________ 6．若向量，则的单位向量的坐标为______. 7．已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为______. 8．奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 9．已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________. 10．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 11．定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________. 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．设P是所在平面内的一点，，则 A． B． C． D． 14．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 15．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 16．在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且    (1)若时，求的长； (2)若△的面积是△的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 18．已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 19．如图，在中，，，，，且，. (1)若，求的值； (2)若向量与向量平行，求的值； (3)若，求的最大值. 20．设是两个不共线的非零向量 （t∈R） (1)记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ (2)若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 21．如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，记． (1)若，求PB的长； (2)用表示，并求的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $