期中重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年高一下学期数学 重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

高一下学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：平面向量及其应用、复数】 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．点在所在的平面内，，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．梯形中，，点在线段上，点在线段上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 4．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则(　　) A． B． C． D． 5．在△ABC中，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 8．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列四个命题正确的是（    ） A．若，则的最大值为3 B．若复数满足，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．在中，为所在平面内一点，且，则 11．中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（   ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为锐角三角形，则的面积的取值范围 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为________． 13．已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 14．在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点. (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值. 16．如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 17．平面直角坐标系xOy内，点，动点和Q关于原点O对称，，. （1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐标； （2）若且P、M、A三点共线，求的最小值； （3）若，且，，求直线AQ的解析式. 18．设的三个内角所对应的边分别为． (1)若且，求角； (2)若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 19．一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：平面向量及其应用、复数】 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．点在所在的平面内，，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案. 【详解】由可知，点为外心， 则，，又， 所以① 因为，② 联立方程①②可得，，，因为， 所以，即． 故选： 2．梯形中，，点在线段上，点在线段上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理，将当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出，结合，化简得，将表示成的关系式，再结合基本不等式求解即可 【详解】 ， ， 由，化简得， 则， 当且仅当时取“=”号 故选：A 3．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 4．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，得到的坐标，再根据，得到点坐标，设坐标为，是上一点，，可以得到关于的方程；可得,得到关于的方程；解出得到点坐标，再由向量的夹角公式，得到，从而可得. 【详解】以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为， 则， ， 设坐标为 是上一点，则 ， 由可得，即 解得， ，， ，故选B项. 5．在△ABC中，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系. 【详解】解：由得：，且， ∴，且， ∴， ∴， 化简整理得：，即， ∴或，又， ∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形. 故选：C. 6．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 7．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 8．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题可根据复数的运算法则，分别对选项进行分析判断. 【详解】因为，，所以，. ， ， 则，选项A正确. ， ，所以，选项B正确. ， 显然，选项C错误. ， 则 则, 所以，选项D正确. 故选：ABD. 10．下列四个命题正确的是（    ） A．若，则的最大值为3 B．若复数满足，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．在中，为所在平面内一点，且，则 【答案】ABC 【分析】A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求. 【详解】对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确； 对B，设，因为， 所以，， 所以，所以，B正确； 对C，由正弦定理的，即， ，设中点为， 如图：    则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确； 对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误.    故选：ABC 11．中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（   ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为锐角三角形，则的面积的取值范围 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知，故C错误； 对于D，由正弦定理可知， 所以，， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据向量垂直及数量积运算律得，令，，，则，，结合不等式恒成立及对应几何意义得，进而有，最后应用向量数量积的运算律得到关于的表达式求最值. 【详解】由题设，又，则， 令，，，则，， 由，即恒成立，数形结合易知， 所以，得， ，其对称轴为， 所以，则. 故答案为： 13．已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 【答案】 【分析】三点公式的结论：若三点共线，则且，利用这个结论求解. 【详解】三点共线， ， ，，， 三点共线，，， ①， ，， ， ， ②， ①代入②，得到， 即， 则，解得， 则. 14．在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面向量的线性运算易得的坐标表示，进而可求；由条件得到，从而得到点的轨迹，再利用平面向量的线性运算将所求转化为点到与的距离之和，故而利用点到圆上的点的最小值即可求得的最小值. 【详解】依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系， 所以，则 又，故， 所以； 由知， 所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则， 因为， 所以， 故可转化为点到与的距离之和， 又，则在直线上，即对应线段， 所以要求，只需求的最小值即可， 而关于对称点为， 故，此时，即， 所以的最小值为. 故答案为：；. . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点. (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 同理所以为的外心，， 因为，，所以. （2）设， . 因为，所以. （3）设，，，， 两边同时平方得，，， 令，， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 16．如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解； （2）利用平面向量线性运算，用基底表示，根据得到，从而得到系数与夹角的关系式，利用三角函数的值域确定系数的范围. 【详解】（1）由题意，因为，所以. 设， 则，即, ，即， 所以，解得，所以， 所以. （2）由（1）可知，所以. 设，与的夹角为，其中， 则 ， 而， 因为，所以, 即， 因为，所以， 解得. 因为，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 17．平面直角坐标系xOy内，点，动点和Q关于原点O对称，，. （1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐标； （2）若且P、M、A三点共线，求的最小值； （3）若，且，，求直线AQ的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】(1)设出点B坐标，利用等腰直角三角形的两腰相等且两腰相互垂直，结合平面向量的坐标表示建立方程组求解即可; (2)根据与共线，利用坐标运算列出方程得到，利用模长公式表示，结合二次函数的性质即可求出最小值； (3)将，且，，表示为坐标的形式，列出方程组，求出点Q的坐标，再求出对应的斜率，利用点斜式写出方程即可. 【详解】（1）设，则， 由题意可得： 解得： 或 则向量坐标为或 （2） ， 因为与共线，所以 得： 当 时，取最小值 （3）因为，所以 设 ，则，， ， 因为，且， 所以， ， 解得 或 即或 当时，,所以直线AQ的方程为，即 当时，,所以直线AQ的方程为，即 综上所述，直线AQ的解析式为 18．设的三个内角所对应的边分别为． (1)若且，求角； (2)若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先化简等式，然后利用余弦定理求出，进而求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） ， 当，即 当，即，矛盾，舍. 综上所述：. （2），由正弦定理得，即或（舍）， 由中线长定理得， ，， ， 当且仅当即时，面积取到最大值为6． 19．一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②存在，. 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，. （2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、， （）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）（ⅰ）设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， （ⅰi）设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $