专题2.7 一元二次方程70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题2.7 一元二次方程70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 由一元二次方程的解求参数 题型二 一元二次方程的解法 题型三 配方法的应用 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 题型七 一元二次方程的应用 【经典计算题一 由一元二次方程的解求参数】 1．（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 2．（24-25八年级下·重庆永川·月考）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，先对分式通分，再计算括号外的，再根据一元二次方程解的定义，可得，最后代入化简后的分式求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式． 3．（24-25八年级下·重庆开州·月考）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中为方程的根． 【答案】（1）（2）， 【分析】（1）根据整式的乘除运算解答即可 ． （2）先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，解方程，结合分式有意义，确定取值，舍值，后代入求值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵是一元二次方程的实数根． 故， ， 故． 【点睛】本题考查了整式的乘除，分式的化简求值，求代数式的值，方程的解，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义． （1）根据已知等式得出，代入进而根据，得出式子的符号，即可得证； （2）根据一元二次方程的解的定义可得，代入，结合条件化简并判断符号，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：是的根， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】（1）解：， ，，， ,， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 【答案】(1)是等腰三角形，不是等边三角形，证明见解析 (2)的周长为 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入一元二次方程计算得出，从而可得是等腰三角形，再由一元二次方程的定义得出，从而可得不是等边三角形； （2）根据二次根式有意义的条件得出，解一元二次方程得出或，再分两种情况并结合三角形三边关系计算即可得解． 【详解】（1）解：是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下： ∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴不是等边三角形； （2）解：∵代数式有意义， ∴，， ∴， ∴， ∵为方程的根， ∴， 解得或， ∴或， 当时，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，的周长为． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 10．（2026·八年级下 江苏南通）计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 (3) (4)；当时，原式 【分析】（1）将代入，再依次计算乘方，绝对值，化简二次根式，最后进行加减运算； （2）先求出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可； （3）将代入解方程即可计算m的值； （4）先通分进行分式加减法，再进行分式乘除法进行化简，然后从，0，1，2中选一个使得原分式有意义（分母不为0）的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是，， 解集在数轴上表示如下： （3）解：将代入， 得，， 解得，； （4）解： ， ，， ，， 当时， 原式． 【经典计算题二 一元二次方程的解法】 11．（2026·八年级下 浙江衢州）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解方程： 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）根据整式乘法法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）先提出公因式得出两个因式乘积等于0的形式，再根据每个因式都等于0解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 因式分解，得， 即或， ∴，． 12．（25-26八年级下·江苏常州·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， 解得． 13．（2026·八年级下 安徽芜湖）观察图形，解答以下问题： (1)填空： 第①个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为1； 第②个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为3； 第③个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为________； 以此类推…， 第n个图形中黑点的个数与白点的个数之差为________．（用含有n的式子表示） (2)若第n个图形中“M”黑点的个数与白点的个数之差为28，试求n的值． 【答案】(1)6； (2)7 【分析】（1）观察图形可知，第③个图形中黑点的个数与白点的个数之差，然后分析前几个图形中黑点个数与白点个数之差的规律，推导出第n个图形的差值公式； （2）利用（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知：第③个图形中黑点的个数与白点的个数之差为6， 第①个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第②个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第③个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为； （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 14．（2026八年级下·福建漳州·专题练习）已知为正数，且． (1)求证：； (2)若． ①求的值； ②探究之间的关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①1或9；②或 【分析】本题考查了作差法比较大小，配方法，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握对应知识点是解题的关键． （1）将等式变形为后两边平方表示出，再作差法比较和，利用配方法得到的值大于0即可； （2）①将（1）中代入得到，降次换元法后因式分解法解一元二次方程即可；②将的值分别代入即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵c为正数， ∴， ∴； （2）①解：∵， ∴， 即， ∵c为正数， ∴两边同时除以，得：， 令，得：， ， 解得：或， ∴或； ②解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴或． 15．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）解方程或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的混合运算，掌握解方程的方法，分式运算顺序和法则是解题的关键． （1）先移项提公因式化成两个一元素次方程，进行计算即可求解； （2）先计算括号内的分式加法，再除法，最后计算加减法． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴； （2）解：原式＝ ＝ ． 16．（25-26八年级下·山东临沂·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换； 设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求即的值． 【详解】解：设，则由原方程，得，       整理，得，即， 分解得：， 解得：， 则的值是或1． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】本题考查分式的化简、解一元二次方程，掌握分式的化简步骤是解题的关键． 首先将已知分式进行化简，最后结合和分式有意义条件求得，进而代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴原式． 18．（25-26八年级下·上海·月考）解方程： (1)（用配方法）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟知公式法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则， 所以； （2）解：， ， ， 则， 所以． 19．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）以下是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程：小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以a，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理左边得，后续步骤未完成． 请根据以上信息完成问题： (1)小明的推导过程中，第______步存在错误； (2)请写出正确的推导过程； (3)已知方程（m为整数）的两个根均为整数，利用求根公式求出整数m的所有可能值． 【答案】(1)③ (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． （1）按照求根公式的推导过程进行解答即可； （2）按照配方法写出正确的推导过程； （3）根据公式法得到或，再根据方程（m为整数）的两个根均为整数进行分析即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的推导过程中，第③步存在错误，两边应该同时加上一次项系数一半的平方，即应该加上； 故答案为：③ （2）①由，得； ②两边同时除以a，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理左边得， 当时， ， ∴， 即 （3） 由题意可知，，即一定有两个实数根， ∴， ∵m为整数， ∴， 或， ∵方程（m为整数）的两个根均为整数， ∴是整数， 则的值为． 20．（25-26八年级下·山东烟台·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)； (3)，； (4)． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则或， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， ， 解得：； （3）解：， ， 则，， 解得：，； （4）解：， ， 解得：． 【经典计算题三 配方法的应用】 21．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期中）（1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法的应用； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法将代数式化为，根据非负数的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ，． （2）解∶ ，   ， 故无论x取何实数，代数式的值总大于0． 22．（24-25八年级下·四川宜宾·月考）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4，5 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得的值，即可求出的值． 【详解】（1） ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 23．（24-25八年级下·湖南永州·月考）求二次三项式的最大值或最小值． 【答案】最小值为 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法将二次三项式化为，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴当，即时，取得最小值，最小值为 24．（25-26八年级下·全国·周测）解下列一元二次方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）先转化为完全平方公式再求解即可； （3）利用配方法求解即可。 【详解】解：（1）整理方程，得， 两边开平方，得， ． （2）整理方程，得， ． （3）整理方程，得, 配方，得, 即, 两边开平方,得, ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当方法解一元二次方程是解题的关键。 25．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ，即的最小值为2． (1)请直接写出，的最小值 ； (2)试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查配方法的应用，二次根式有意义的条件．读懂题意，掌握利用配方法求二次三项式的最值是解题关键． （1）原式配方变形为，即可求解； （2）被开方式配方变形为，即得出无论x取何实数，的值都大于0，再结合二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为； （2）解：∵， 又∵无论x取何实数，都有， ∴，即无论x取何实数，的值都大于0， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义． 26．（2025八年级下·全国·学业考试）已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 27．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 28．（25-26八年级下·山东济宁·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：， 又； 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知实数，满足，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． ()根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； ()利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出的值，代入计算即可； 【详解】（1）（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ； 29．（2025八年级下·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可； （2）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可得到的值，将求出的代入方程，利用配方法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， ∴多项式关于镜像， 故答案为：． （2）原式， 当或1时，原式， ， 关于的方程可化为， 即，， ． 故方程的解为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握把整式通过配方写成完全平方式的形式． 30．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）（1）已知：中，，，第三边长是的一个实数根，求：的面积 （2）阅读材料： 我们知道：任何实数的平方一定是一个非负数，即：，且． 据此，我们可以得到下面的推理： ， 而，， 故的最小值是2． 试根据以上方法：判断代数式是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 【答案】（1）96；（2）有最小值，为8． 【分析】（1）解一元二次方程得，，分类讨论：当时，得是直角三角形，利用三角形的面积公式求解即可；当时，不符合三角形的三边关系，故舍去； （2）利用配方法得，进而判断即可求解． 【详解】解：（1）， 解得，， 当时，，即， ∴是直角三角形， ； 当时，， ∴不符合三角形的三边关系，故舍去； （2）存在最小值，最小值为8，理由如下： ∵， ∴， ∴的最小值为8． 【点睛】本题考查解一元二次方程、三角形的三边关系、勾股定理逆定理、配方法的应用、非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【经典计算题四 换元法解一元二次方程】 31．（25-26八年级下·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 32．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）81；（3）1 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【详解】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 33．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 34．（24-25八年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可； （3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 35．（2026八年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 36．（25-26八年级下·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【答案】当为偶数时，；当为奇数时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程可化为，利用因式分解法求出方程的解，进而分为偶数和奇数两种情况解答即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或， 即或， 当为偶数时，，此时仅有， ∴； 当为奇数时，或， ∴或； 综上，当为偶数时，；当为奇数时，或． 37．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知实数a，b满足 (1)若，求的最小值； (2)设实数x，y满足，且，求a，b，x，y的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， 当时，由得不成立， ∴， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 38．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1)，； (2)，，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 39．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 【答案】(1)， (2)15 (3)，，， (4)， 【分析】本题主要考查了换元法解方程，解一元二次方程等知识点，熟练运用换元思想转化方程是解决此题的关键． （1）设，则原方程化为关于的一元二次方程，求解后再转换成关于的方程求解即可； （2）设则原方程转化为关于的一元二次方程，求解后根据确定的值即可得解； （3）设则原方程转化为关于的一元二次方程，求解后，根据绝对值定义求即可； （4）设，，则，原方程化为，进而求得，则，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 因式分解得， 解得或， ∴当时， 因式分解得，解得或， 当时，即， ∵， ∴方程无实数解， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程化为， 展开得， 因式分解得， 解得或， 因为，所以舍去， 故 （3）解：设，则，原方程化为， 因式分解得， 解得或， 当时，解得或， 当时，解得或， ∴，，，； （4）解：设，，则， 原方程化为， ∴，则， ∴或， ∴，． 40．（2024八年级下·全国·专题练习）求方程的实数解 【答案】 【分析】本题考查了换元法一元二次方程解，先把方程化为关于x的方程，利用根的判别式求出的值，然后代入原方程即可求解出的值，转化为一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：将方程化为关于x的方程， 该方程的根的判别式， 即， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 解得 将代入原方程， 得，即， ∴， 解得， 故原方程的实数解是． 【经典计算题五 根据一元二次方程根的情况求参数】 41．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 (2)m的值为5或9 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）求出根的判别式，通过判别式与0的大小关系分类讨论方程实数根的情况； （2）先解方程求出c的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5两种情况，结合三角形三边关系确定m的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， 计算判别式， 当，即时，方程有两个不相等的实数根； 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程没有实数根； （2）解方程得：， 因为是三角形的边长， 所以， 情况一：若，则方程有两个相等的实数根， 所以， 解得， 将代入方程得， 解得：， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 情况二：若或，即是方程的根， 将代入方程得， 解得， 将代入方程得， 解得：，， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 综上，m的值为5或9． 42．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是掌握以上知识． （1）求出，然后问题可求证； （2）由的一个实数根为2，可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或． 43．（25-26八年级下·上海普陀·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根可得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴， ∴， ∵是一元二次方程， ∴， 综上所述，的取值范围为且． 44．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知关于x的一元二次方程的根的判别式的值为4，求m的值及方程的根． 【答案】， 【分析】利用根的判别式得到关于的方程求出 值，再代入原方程并解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 将代入原方程，得， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式，建立关于方程求得的值是解题的关键． 45．（25-26·八年级下 山东青岛）（1）计算： （2）解不等式组： （3）关于的方程有两个实数根，求的取值范围 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为；（3）的取值范围为且． 【分析】（1）由分式的加减乘除混合运算进行化简，即可得到答案； （2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案； （3）根据根的判别式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1） = = =； （2） 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为； （3）∵关于的方程有两个实数根， ∴， ∴； 当，即时，原方程是一元一次方程，只有一个解，不符合题意； ∴； ∴的取值范围为且． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简，解不等式组，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算． 46．（25-26八年级下·上海·期中）（1） ，且 ，求 的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先求出则是方程的两根，代入可得，整体代入即可求出结果； （2）由题意可将看成的两个实数根，再由，结合即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴是方程的两实根， ∵， ∴， ∴， 即：的最大值是. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式；关键是灵活应用知识点解决问题. 47．（25-26·八年级下 山东日照）（1）先化简，再求值：，然后m从2、3、4三个数中选一个你认为合适的数代入求值． （2）已知关于x的一元二次方程有实数根． ①求k的取值范围； ②若此方程的两个实数根，，满足，求k的值． 【答案】（1）；；（2）①k≤；②k=-1． 【分析】（1）先把括号内通分，再进行减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后根据分式有意义的条件把m=4代入计算即可． （2）①根据方程有实数根得出Δ=（2k-1）2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解之可得．②利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1） = = = ∵ ∴ ∴原式= （2）①∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根， ∴△≥0，即（2k-1）2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0， 解得k≤． ②由根与系数的关系可得x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2+k-1， ∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[-（2k-1）]2-2（k2+k-1）=2k2-6k+3， ∵x12+x22=11， ∴2k2-6k+3=11， 解得k=4或k=-1， ∵k≤， ∴k=4（舍去）， ∴k=-1． 【点睛】（1）考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （2）主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 48．（25-26·八年级下 河南信阳）（1）关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先根据根的判别式的意义得到，解不等式，从而得到正整数的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可； （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得， 所以正整数的值为， 原方程化为， ， 所以； （2）原式， ， ， ， 原式， 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是掌握根的判别式，以及分式的运算法则，本题属于基础题型． 49．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)当 时，求出方程的解． (2)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (3)若方程有两个实数根 ，且 求m的值． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)8． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握是方程的两根时，． （1）将代入方程，再解一元二次方程即可； （2）根据根的判别式得出，据此可得答案； （3）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于m的方程，解之可得答案． 【详解】（1）解：当 时，得方程， 解得：； （2）证明： ， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （3）解：由根与系数的关系得出 由得， 解得． 50．（25-26八年级下·山东青岛·期中）计算： (1)（配方法）． (2)． (3)． (4)若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先变形为，然后因式分解法解方程； （3）先变形为，然后因式分解法解方程； （4）根据判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，； （3）解：， ， 或， 所以，； （4）解：根据题意得：， 解得：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程． 【经典计算题六 一元二次方程的根与系数的关系】 51．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，由根与系数的关系得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意，得：， 解得，； 故m的值为，方程的另一个根为． 52．（25-26八年级下·新疆和田·期末）若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程系数与根的关系式． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出 ，，再将进行变换即可． 【详解】（1）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ， ， ． 53．（25-26八年级下·全国·期末）若关于x的方程有一根为，求方程的另一根及c值． 【答案】方程的另一根为3； 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 设方程的另一根为，根据即得，把代入已知方程得到关于c的一元一次方程，通过解该方程求得c的值即可． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵关于x的方程有一根为， ∴， ∴， ∴方程的另一根为3； 将代入方程得， 解得． 54．（25-26八年级下·广东广州·期末）某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 【答案】(1)的值为25，便签纸的边长为 (2)的值为24，便签纸的长为、宽为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根的判别式和根与系数关系等知识，熟练掌握根的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据判别式的值为0得到，解一元二次方程即可得到答案； （2）根据根与系数关系列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：∵便签纸的形状刚好是正方形 ∴矩形的长和宽相等，即方程的两个实数根相等 ∴ 解得 此时方程为 解得 答：的值为25，此时便签纸的边长为． （2）解设便签纸的宽为，则长为， 由题意得：， 解得 ∴ 答：的值为24，此时便签纸的长为、宽为． 55．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）阅读下列材料，并解决问题． (1)已知方程的两根分别为，计算：_____，_____． (2)已知方程的两根分别为，，计算：_____，_____． (3)已知关于的方程有两根分别记作，且，，请通过计算及，探究出它们与的关系． 【答案】(1)，2 (2)3， (3)， 【分析】本题考查了根与系数关系定理． （1）根据方程的根，计算即可． （2）根据方程的根，计算即可． （3）根据方程的根，计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 故答案为：，2． （2）∵，， ∴，， 故答案为：3，． （3）∵，， ∴， ， 即，． 56．（25-26八年级下·河南洛阳·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ①； ②； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①是“倍根方程”，②不是“倍根方程” (2)的值为或 (3)或 【分析】（1）先解方程，然后根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接判断． （2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）①， ， 解得， ∴是“倍根方程”， ②， ， 解得， ∴不是“倍根方程” （2）是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为和， 或， 当时，即， 当时，即， ∴的值为或 （3）设与是方程的解， ，， 解得 ∴或 【点睛】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键． 57．（25-26八年级下·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． 58．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知a，b是一元二次方程的两个根，解方程组． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系求得，，方程组变形得到，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ， 得， 当时，①得， ∴， ∴， ∴方程组的解为； 当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， 而，明显不是方程的解， ∴此情况不满足题意，故舍去； 综上，方程组的解为． 59．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 设，，等量代换后可得、， 则为的根，可解得，然后再对变形后将代入计算即可． 【详解】解：设，， ，， 为的根， ， ∴       ． 60．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，这就是著名的韦达定理．已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算： (1)； (2)m-3n． 【答案】(1)﹣10 (2)或 【分析】根据根与系数的关系即可而得出m+n＝、mn＝． （1）将m+n＝、mn＝代入+＝中即可求出结论； （2）将m+n＝、mn＝代入m-3n中变形，运用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝，mn＝． +＝＝＝﹣10； （2）m-3n＝m-2n-n＝m-2n-(-m)＝2(m-n)- ． (m-n) 2＝(m+n) 2-4mn＝， m-n＝；m-n＝-； 原式＝或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，解决此类为题的关键是熟练掌握根与系数的关系，熟练运用完全平方公式． 【经典计算题七 一元二次方程的应用】 61．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 62．（25-26八年级下·浙江金华·月考）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每件应降价5元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低元，根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设降价y元， ， 整理得， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价5元． 63．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 64．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．若，请问在点运动过程中，的面积能否等于？若能，请求出点的运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】能，点的运动时间为秒时，的面积为。 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．设运动时间为秒，表示出和，根据三角形的面积公式列出方程，求解一元二次方程即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可得：，， ∵，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动， ∴，， ∴的面积为， 则， 解得：或舍， ∴点的运动时间为秒时，的面积为 65．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 66．（25-26八年级下·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 67．（25-26八年级下·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 68．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】(1)10人； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 69．（24-25八年级下·全国·单元测试）容积为100升的容器内装满纯酒精，倒出一部分后加满水搅匀，然后再倒出与第一次倒出液体等体积的混合液，再加满水，每次应倒出多少升溶液，才能使第二次加水后，混合液中的水是纯酒精的3倍？ 【答案】50升 【分析】本题考查一元二次方程的应用，若设每次应倒出x升溶液，根据最后的溶质是溶液的列方程求解．因为一开始容器内装的都是纯酒精，所以第一次倒出的x是溶质，当用水加满后的溶液的浓度是，第二次倒出的溶质是，然后根据已知条件即可列出方程． 【详解】解：设每次应倒出升溶液，根据题意，得 ， （不合题意，舍去）． ． 答：每次应倒出50升溶液，才能使第二次加水后，混合液中的水是纯酒精的3倍． 70．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， 【详解】（1）解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； （2）解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 一元二次方程70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 由一元二次方程的解求参数 题型二 一元二次方程的解法 题型三 配方法的应用 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 题型七 一元二次方程的应用 【经典计算题一 由一元二次方程的解求参数】 1．（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 2．（24-25八年级下·重庆永川·月考）已知是方程的一个根，求的值． 3．（24-25八年级下·重庆开州·月考）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中为方程的根． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 6．（25-26八年级下·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 10．（2026·八年级下 江苏南通）计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 【经典计算题二 一元二次方程的解法】 11．（2026·八年级下 浙江衢州）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解方程： 12．（25-26八年级下·江苏常州·月考）解方程： (1)； (2)． 13．（2026·八年级下 安徽芜湖）观察图形，解答以下问题： (1)填空： 第①个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为1； 第②个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为3； 第③个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为________； 以此类推…， 第n个图形中黑点的个数与白点的个数之差为________．（用含有n的式子表示） (2)若第n个图形中“M”黑点的个数与白点的个数之差为28，试求n的值． 14．（2026八年级下·福建漳州·专题练习）已知为正数，且． (1)求证：； (2)若． ①求的值； ②探究之间的关系，并证明． 15．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）解方程或计算： (1)； (2)． 16．（25-26八年级下·山东临沂·期末）若实数，满足，求的值． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）先化简，再求值：，其中． 18．（25-26八年级下·上海·月考）解方程： (1)（用配方法）； (2)． 19．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）以下是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程：小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以a，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理左边得，后续步骤未完成． 请根据以上信息完成问题： (1)小明的推导过程中，第______步存在错误； (2)请写出正确的推导过程； (3)已知方程（m为整数）的两个根均为整数，利用求根公式求出整数m的所有可能值． 20．（25-26八年级下·山东烟台·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题三 配方法的应用】 21．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期中）（1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 22．（24-25八年级下·四川宜宾·月考）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 23．（24-25八年级下·湖南永州·月考）求二次三项式的最大值或最小值． 24．（25-26八年级下·全国·周测）解下列一元二次方程： (1)． (2)． (3)． 25．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ，即的最小值为2． (1)请直接写出，的最小值 ； (2)试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 26．（2025八年级下·全国·学业考试）已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 27．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 28．（25-26八年级下·山东济宁·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：， 又； 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知实数，满足，求的值； 29．（2025八年级下·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 30．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）（1）已知：中，，，第三边长是的一个实数根，求：的面积 （2）阅读材料： 我们知道：任何实数的平方一定是一个非负数，即：，且． 据此，我们可以得到下面的推理： ， 而，， 故的最小值是2． 试根据以上方法：判断代数式是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 【经典计算题四 换元法解一元二次方程】 31．（25-26八年级下·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 32．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 33．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 34．（24-25八年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 35．（2026八年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 36．（25-26八年级下·上海·期中）解方程：（为正整数）． 37．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知实数a，b满足 (1)若，求的最小值； (2)设实数x，y满足，且，求a，b，x，y的值． 38．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 39．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 40．（2024八年级下·全国·专题练习）求方程的实数解 【经典计算题五 根据一元二次方程根的情况求参数】 41．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 42．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 43．（25-26八年级下·上海普陀·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 44．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知关于x的一元二次方程的根的判别式的值为4，求m的值及方程的根． 45．（25-26·八年级下 山东青岛）（1）计算： （2）解不等式组： （3）关于的方程有两个实数根，求的取值范围 46．（25-26八年级下·上海·期中）（1） ，且 ，求 的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 47．（25-26·八年级下 山东日照）（1）先化简，再求值：，然后m从2、3、4三个数中选一个你认为合适的数代入求值． （2）已知关于x的一元二次方程有实数根． ①求k的取值范围； ②若此方程的两个实数根，，满足，求k的值． 48．（25-26·八年级下 河南信阳）（1）关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． （2）先化简，再求值：，其中，满足． 49．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)当 时，求出方程的解． (2)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (3)若方程有两个实数根 ，且 求m的值． 50．（25-26八年级下·山东青岛·期中）计算： (1)（配方法）． (2)． (3)． (4)若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【经典计算题六 一元二次方程的根与系数的关系】 51．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 52．（25-26八年级下·新疆和田·期末）若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) 53．（25-26八年级下·全国·期末）若关于x的方程有一根为，求方程的另一根及c值． 54．（25-26八年级下·广东广州·期末）某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 55．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）阅读下列材料，并解决问题． (1)已知方程的两根分别为，计算：_____，_____． (2)已知方程的两根分别为，，计算：_____，_____． (3)已知关于的方程有两根分别记作，且，，请通过计算及，探究出它们与的关系． 56．（25-26八年级下·河南洛阳·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ①； ②； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 57．（25-26八年级下·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 58．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知a，b是一元二次方程的两个根，解方程组． 59．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知，，求． 60．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，这就是著名的韦达定理．已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算： (1)； (2)m-3n． 【经典计算题七 一元二次方程的应用】 61．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 62．（25-26八年级下·浙江金华·月考）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 63．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 64．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．若，请问在点运动过程中，的面积能否等于？若能，请求出点的运动时间；若不能，请说明理由． 65．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 66．（25-26八年级下·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 67．（25-26八年级下·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 68．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 69．（24-25八年级下·全国·单元测试）容积为100升的容器内装满纯酒精，倒出一部分后加满水搅匀，然后再倒出与第一次倒出液体等体积的混合液，再加满水，每次应倒出多少升溶液，才能使第二次加水后，混合液中的水是纯酒精的3倍？ 70．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $