专题1.6 二次根式60道计算题专项训练（6大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.6 二次根式60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 化为最简二次根式 题型三 分母有理化 题型四 二次根式的混合运算 题型五 已知字母的值或条件式，化简求值 题型六 二次根式的应用 【经典计算题一 二次根式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）已知x ，y是实数，且．求的值． 2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：，求的值． 5．（24-25八年级下·重庆梁平·期中）按要求解答： (1)若x，y都是实数，且，求的立方根． (2)先化简再求值：，其中． 6．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）化简计算 (1)化简； (2)请说明（1）中式子的值能否为0； (3)当时，（1）中式子的值为________． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中、满足． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）计算： (1)． (2)若，都是实数，且，求的立方根． 9．（25-26八年级下·全国·期中）已知为实数，且，求的值． 10．（25-26八年级下·全国·期中）解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 【经典计算题二 化为最简二次根式】 11．（2026·八年级下 广东深圳）计算： 12．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 14．（25-26八年级下·江苏南通·月考）先化简，再求代数式的值：，其中 15．（24-25八年级下·河南许昌·月考）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 16．（24-25·八年级下 河南信阳）计算与化简： (1)计算：． (2)化简：． 17．（2023·八年级下 贵州安顺）（1）计算：； （2）解不等式组： 18．（24-25·八年级下 贵州遵义）先化简分式，再从－2，－1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 19．（25-26八年级下·全国·假期作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 20．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）已知，，求的值． 【经典计算题三 分母有理化】 21．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 23．（25-26八年级下·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 24．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）先化简，再求值：，其中实数、满足等式． 25．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）问题1：计算：（1）；   （2） 问题2：观察上面运算的结果，可以看出，若一个式子乘以另一个式子其积是有理式，则其中的一个式子叫做另一个式子的有理化因式．将式子的分母进行有理化处理． 26．（24-25八年级下·河南信阳·月考）观察下列等式：①；②；③；…， (1)请用字母表示你所发现的律：即__________（为正整数）； (2)计算：． 27．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）计算： (1)； (2)； 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（其中）． (3)． 29．（2026八年级下·全国·专题练习）化简：． 30．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（25-26八年级下·福建三明·期末）计算：． 32．（23-24八年级下·重庆江津·期中）计算： (1)； (2)（）． 33．（25-26八年级下·陕西西安·期中）计算：． 34．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知实数，，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 35．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知四个二次根式，，，，． (1)计算：； (2)类似“点”游戏，请用这个二次根式（每个根式有且只能用一次）通过加、减、乘、除和括号，使得运算结果等于．（写出一种方法即可） 36．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 37．（25-26八年级下·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 38．（25-26八年级下·全国·周测）已知实数，满足等式，求的值． 39．（25-26八年级下·上海·月考）计算：． 40．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【经典计算题五 已知字母的值或条件式，化简求值】 41．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值． ，其中，． 42．（2026·八年级下 甘肃白银）先化简，再求值：，其中． 43．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 44．（23-24八年级下·吉林·月考）已知，，求代数式的值． 45．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）现有：，，． (1)填空：①________，②________．③若， 则________． (2)若，求的值． 46．（25-26八年级下·上海·月考）化简，求值：已知，求． 47．（24-25八年级下·全国·单元测试）化简求值： (1)，其中； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求的值． 48．（25-26八年级下·上海·月考）若，求的值． 49．（25-26八年级下·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 50．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）（1）已知：，，求代数式的值； （2）已知实数x、y满足，则的值是多少？ 【经典计算题六 二次根式的应用】 51．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若，且，求：的最小值． 52．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 53．（23-24八年级下·山东德州·月考）古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 54．（23-24八年级下·河南驻马店·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 55．（24-25八年级下·浙江·期末）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 56．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）已知 ，其中a，b为有理数，则_____，_____； （2）已知，其中a，b为有理数，求的平方根． 57．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 58．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知、是有理数，且，求、的值． 59．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知满足且，求的值． 60．（23-24八年级下·安徽池州·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 二次根式60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 化为最简二次根式 题型三 分母有理化 题型四 二次根式的混合运算 题型五 已知字母的值或条件式，化简求值 题型六 二次根式的应用 【经典计算题一 二次根式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）已知x ，y是实数，且．求的值． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求得的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：根据二次根式的意义可得：， 解之得：， 把代入，得： ∴． 2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件． （1）根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解即可； （2）根据二次根式和分式有意义的条件可得且，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得，且， 解得且． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，整式的化简，解方程，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件及性质，绝对值的性质化简即可； （2）结合已知条件，根据二次根式有意义的条件及性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ， 原式 ； （2）解：由题意可得， ， ， 原方程化为 ， 两边同时平方得：， ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查非负性和分式的求值，根据非负性求出的值，代入分式中，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·重庆梁平·期中）按要求解答： (1)若x，y都是实数，且，求的立方根． (2)先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到，即可得到，代入求值即可； （2）根据分式的运算法则进行化简计算，再代数求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故； （2）解：原式 ； 将代入，原式． 6．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）化简计算 (1)化简； (2)请说明（1）中式子的值能否为0； (3)当时，（1）中式子的值为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了分式的化简求值、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识． （1）利用分式的除法和减法法则计算得到化简结果： （2）根据分式有意义的条件得到结论； （3）根据二次根式有意义的条件得到，，代入（1）中的化简结果计算即可． 【详解】（1）解： （2）根据分式有意义的条件得到， ∴ （3）∵ ∴，， ∴ 即（1）中式子的值为， 故答案为： 7．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】 ，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、二次根式的性质，首先把整式各部分展开、合并同类项，可得：原式，根据平方根的非负性、平方的非负性，可得：，，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时， 原式． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）计算： (1)． (2)若，都是实数，且，求的立方根． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式有意义的条件，不等式组的解法； （1）先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）由二次根式有意义的条件可得，求解，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意可知，， 解得：，则， ∴， ∴的立方根是3． 9．（25-26八年级下·全国·期中）已知为实数，且，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算，求代数式的值；先由二次根式有意义的条件可求出，的值，再代入所求的代数式计算即可求解． 【详解】解：， 因为有和都有意义， 所以, 所以和都是非负数， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了二次根式的计算化简，关键是要由二次根式的非负性先求出，的值． 10．（25-26八年级下·全国·期中）解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程． （1）根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算后求平方根． （2）由变形得，两边平方得到降幂式，代入代数式逐步化简求值． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， 的平方根为． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典计算题二 化为最简二次根式】 11．（2026·八年级下 广东深圳）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 12．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式化简，利用平方差公式化简A； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解：将代入得： ． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，化为最简二次根式，先计算算术平方根，立方根，化为最简二次根式，再计算乘法，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级下·江苏南通·月考）先化简，再求代数式的值：，其中 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式加减，同时将除法化为乘法，再进行乘法运算，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 15．（24-25八年级下·河南许昌·月考）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 【答案】 【分析】根据数轴可得，，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图可知，，，则， 原式 ． 16．（24-25·八年级下 河南信阳）计算与化简： (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再把各项结果相加即可； （2）先通分，再因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 17．（2023·八年级下 贵州安顺）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂和二次根式的性质进行求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∴不等式组的解集为． 18．（24-25·八年级下 贵州遵义）先化简分式，再从－2，－1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【分析】先根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后在－2、－1、1、这4个数中选取使原分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件，且且，且a≠0， 所以当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值以及最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练运用分式的运算法则． 19．（25-26八年级下·全国·假期作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二次根式的性质，解二元一次方程组．根据二次根式的性质，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ， ∴，，． 20．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式加法，二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运用整体的思想解题是关键． 根据分式的性质将原式化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∴ ． 【经典计算题三 分母有理化】 21．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时，原式． 22．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 23．（25-26八年级下·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式的计算，然后将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，最后代入并分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）先化简，再求值：，其中实数、满足等式． 【答案】 【分析】首先把分式化简，可得：原式，根据可得：，，再把，代入化简后的分式计算求值． 【详解】解： ， 实数、满足等式， ， 解得：，， 原式． 25．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）问题1：计算：（1）；   （2） 问题2：观察上面运算的结果，可以看出，若一个式子乘以另一个式子其积是有理式，则其中的一个式子叫做另一个式子的有理化因式．将式子的分母进行有理化处理． 【答案】问题1：（1）；（2）；问题2：． 【分析】本题考查平方差公式和二次根式的运算，正确计算是解题的关键： 问题1：（1）根据平方差公式和二次根式的运算计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式的运算计算即可； 问题2：根据平方差公式和二次根式的运算计算即可； 【详解】问题1：（1）解： ； （2） ； 问题2： ． 26．（24-25八年级下·河南信阳·月考）观察下列等式：①；②；③；…， (1)请用字母表示你所发现的律：即__________（为正整数）； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分母有理化的方法计算即可得出结论； （2）由（1）所得出结论去分母，再计算即可． 【详解】（1）； 故答案为：； （2） 【点睛】本题考查分母有理化．根据题意发现规律，并用所总结规律解决问题是解题关键． 27．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先分母有理化和化简二次根式，再计算零指数幂和化简绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（其中）． (3)． 【答案】(1) (2)4 (3)2025 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算； （2）利用完全平方公式展开，再进行加减运算； （3）先对第一个括号内的每一项进行分母有理化，再进行裂项相消，最后利用平方差公式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是活用乘法公式，掌握分母有理化与裂项相消． 29．（2026八年级下·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】先将分子拆分为与的和，再把原分式拆成两个分式的和，最后对每个分式进行分母有理化，合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握拆分分子、分式拆分及分母有理化是解题的关键． 30．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，非负性，先根据分式的混合运算法则进行计算，化简，再根据非负性求出的值，然后把的值代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（25-26八年级下·福建三明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，求一个数的立方根，根据二次根式的性质，先化简再计算即可． 【详解】解： ． 32．（23-24八年级下·重庆江津·期中）计算： (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、化简与合并，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用分配律将原式变形为，根据二次根式的除法运算，再合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（25-26八年级下·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 先计算二次根式的乘除，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 34．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知实数，，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）运用平方差公式求出，与结合求出，由可求出x的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， ∴，代入，得： , 解得， ∴ ∴， ∵， ∴． 35．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知四个二次根式，，，，． (1)计算：； (2)类似“点”游戏，请用这个二次根式（每个根式有且只能用一次）通过加、减、乘、除和括号，使得运算结果等于．（写出一种方法即可） 【答案】(1) (2) （答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）先运用完全平方公式与平方差公式简化运算，再合并同类项即可； （2）结合四个二次根式的特征，通过构造商为的形式（即被除数与除数相等），合理组合四个根式，确保每个根式仅使用一次即可． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解： ．（答案不唯一） 36．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方； （2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键． 37．（25-26八年级下·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化； （1）分子、分母乘以，将分母有理化，然后再化简即可； （2）仿照例题分别把加数分母有理化，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：                   （2）解：          38．（25-26八年级下·全国·周测）已知实数，满足等式，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出、的值，再结合二次根式的乘除运算法则化简求值． 【详解】解：∵一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴非负项的和为时，每一项都为，可得方程组： 解得 化简二次根式：． 当时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和二次根式的乘除运算，解题关键是利用非负性求出、的值，再通过二次根式的运算法则化简式子后代入求值． 39．（25-26八年级下·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化，再利用完全平方公式表示变形为，接着根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 40．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【经典计算题五 已知字母的值或条件式，化简求值】 41．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 42．（2026·八年级下 甘肃白银）先化简，再求值：，其中． 【答案】 , 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可. 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 43．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 【答案】（1）；（2）选： ；选：15；选：4（任选其一即可） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ， ， ； ； ． 44．（23-24八年级下·吉林·月考）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 45．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）现有：，，． (1)填空：①________，②________．③若，则________． (2)若，求的值． 【答案】(1)①1；②；③1 (2)2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式的应用、求代数式的值等，熟练掌握相关知识点并能够灵活运用是解题的关键． （1）利用题干给出的平方差公式和二次根式的性质进行化简即可得解； （2）对依次进行分母有理化可得，再通过移项、平方等变形可得、，然后将其整体代入所求代数式，进行化简即可得解． 【详解】（1）解：①； ②； ③若，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①1；②；③1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 46．（25-26八年级下·上海·月考）化简，求值：已知，求． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 47．（24-25八年级下·全国·单元测试）化简求值： (1)，其中； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)70 (3)3 【分析】（1）先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入即可得出答案； （2）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可得出答案； （3）将进行平方，化简原式，再代入，，进行计算，即可得出答案． 【详解】（1） 当时 原式＝ ＝ ＝； （2）∵，， ， ∴ （3）∵，， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、二次根式的化简求值，涉及到完全平方公式的变形，熟练掌握运算法则是解题的关键． 48．（25-26八年级下·上海·月考）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，代数式求值，由，得，，则，故有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得，， ∴， ∴， ∴ ． 49．（25-26八年级下·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 50．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）（1）已知：，，求代数式的值； （2）已知实数x、y满足，则的值是多少？ 【答案】（1）4；（2）． 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值、非负数的性质、有理数的乘方运算等知识点，明确二次根式化简求值的方法是解答本题的关键． （1）先求得和，再对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）先根据完全平方公式配方，再根据非负数的性质求得x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴． （2）∵实数x、y满足， ∴， ∴，解得：， ∴． 【经典计算题六 二次根式的应用】 51．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若，且，求：的最小值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的最值问题．将代数式转化为，理解为到、的距离的最小值，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即可理解到、的距离的最小值． 如图：的最小值即的长度． ∵， ∴的最小值为13． 52．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原长方形木板的面积=； （2）最多能裁出块这样的木条．理由如下： ，， 块， 块， 块． 从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 53．（23-24八年级下·山东德州·月考）古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用；先将代入求得，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 54．（23-24八年级下·河南驻马店·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，然后求和即可得到答案； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和， ∴大正方形的边长； （2）解：∵大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 55．（24-25八年级下·浙江·期末）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长为8cm，宽为5cm；（2）能，cm2 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，列出方程组，解之即可； （2）设底面正方形边长为，分别计算前后单个纸盒的面积，作差比较即可． 【详解】解：（1）设长方形的长为，宽为，且； 由题意可得：， 解得：或，舍去）； 长方形的长为，宽为． （2）设底面正方形边长为，则有， ，（舍去）， 此时单个纸盒的面积为， 原来纸盒的面积为， ， ， 能节约包装盘的纸张面积，且每个牛奶盘可节约． 【点睛】本题考查二次根式的应用和剪纸的相关内容，解题的关键在于熟记长方体的体积公式并准确运算． 56．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）已知 ，其中a，b为有理数，则_____，_____； （2）已知，其中a，b为有理数，求的平方根． 【答案】（1）2；5；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意确定出 a 与 b 的值即可； （2）根据题意确定出 a 与 b 的值，代入计算的值，进而即可解答． 【详解】解：（1）∵其中a，b为有理数， ∴，； 故答案为：2；5 （2）∵， ∴， ∵其中a，b为有理数， ∴，解得， ∴， ∴的平方根是． 57．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【详解】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 58．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知、是有理数，且，求、的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据、是有理数得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：∵、是有理数， ∴， 解得：． 59．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知满足且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二次一次方程组，由二次根式的非负性可得，由方程组可得，把代入计算即可求出，掌握二次根式的非负性和整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由方程得，， ∴， 即， ∴． 60．（23-24八年级下·安徽池州·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)；严禁高空抛物 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 【详解】（1）∵，, ∴． （2）∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 学科网（北京）股份有限公司 $