7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3复数的三角表示 7.3.2复数乘除运算的三角表示 及其几何意义 人教A 版必修第二册 主讲人：XXX 第七章复数 r是复数z的模 θ是以 x轴的非负半轴 为始边，向量OZ所在射线 为终边的角，叫作复数z=a+bi 的 辐角 规定：在 0≤θ<2π 范围内的辐角θ的值为辐角的主值 两个非零复数相等 它们的模与辐角主值分别相等 复数z= a的² 示式为a+bi= 其 中 ， b 角 r a r(cosθ+isinθ) 导学聚焦 1、掌握复数三角形式的乘法、除法运算法则及其推导过程。 2、理解复数乘、除运算的几何意义：旋转与伸缩，能利用几何意义解释或构造 复数乘除运算，实现数形结合。 学 习 目 标 内容索引 1 2 3 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 这是复数的代数形式的乘除运算。 我们学习了复数的三角表示式，比如两个复数Z₁=r₁ (cosθ1+isinθ₁), Z₂=r₂ (cosθ₂+isinθ₂), 那么它们的乘除运算有怎样的规律呢?今天 我们就来揭开它们的神秘面纱，你们会发现它们蕴含着极其优美的几何规律! 回顾旧知：已知两个复数Z₁,Z₂,Z₁=a+bi,Z₂=C+di, 它们的乘积为 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i, 情 境 导 入 它们的商为 C 1、复数乘法运算的三角表示 设复数z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁),Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂), 求z₁Z₂。 推导过程： Z₁Z₂=r₁(cosθ₁+isinθ₁)·r₂(cosθ₂+isinθ₂) =r₁r₂(cosθ₁+isinθ₁)(cosθ₂+isinθ₂) =r₁r2(cosθ₁cosθ₂+icosθ₁sinθ₂+isinθ₁cosθ₂-sinθ₁sinθ₂) =r₁r2[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)] 复数乘法的三角表示： r₁(cosθ1+isinθ1)·r₂(cosθ₂+isinθ₂) =r₁r₂[cos(θ1+θ₂)+isin(θ1+θ₂)] 两个复数相乘，积的模等于各 复数的模的积，积的辐角等于 各复数的辐角的和。 新 知 探 究 新 知 2、复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数乘法运算的三角表示： r₁(cosθ1+isinθ1)·r₂(cosθ₂+isinθ₂) =r₁r₂[cos(θ1+θ₂)+isin(θ1+θ₂)] 2.22=3.c-+ismy)-³+325, 3.=2(c5→ +ism?) Z₁ 2.=2(s+isim 台) 探 究 两个复数相乘时，先分别画出Z₁,Z₂ 对应的 向量0Z¹,OZ₂, 然后把向量0Z₁ 绕点0按 逆时针方向旋转角θ2,再把它的模变为原 来的r₂ 倍，得到向量OZ,OZ 表示的复数 就是积z₁Z₂, 这是复数乘法的几何意义。 首先作Z₁,Z₂ 对应的向量0Z1,OZ₂, 然后把向量0Z₁ 绕点0按逆时针方向旋转 再将其长度伸长为原来的2 倍，这样得到一个长度为3, 辐角为 的向量0Z,0Z 即 为积Z₁Z₂=3i 所对应的向量。 请把结果化为代数形式，并作出几何解释。 解 ： 1、已知 随 堂 练 习 求Z₁Z₂, 2、如图，向量OZ 对应的复数为1+i, 把OZ 绕点0按逆时针方向旋转120°, 得到0Z, 求向量0Z 对应的复数(用代数形式表示)。 解 ： 向量0Z 对应的复数为 (1+i)(cos120°+isin120°) 复数除法的三角表示： 3、复数除法运算的三角表示 设复数z₁=r₁ (cosθ₁+isinθ₁), Z₂=r₂ (cosθ₂+isinθ₂), 且Z₂ ≠0, 求Z₁Z₂。 两个复数相除，商的模等于被 除数的模除以除数的模所得的 商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差 新 知 探 究 推导过程： 再把它的模变为原来的 ,得到向量0Z,OZ 表示的 复数就是利 G 这是复数除法的几何意义。 复数除法的三角表示： 两个复数相除时，先分别画出z₁,Z₂ 对应的向量0Z₁,OZ₂, 然后把向量OZ₁ 绕点0按顺时针方向旋转角θ₂ , 4、复数除法运算的三角表示的几何意义 新 知 探 究 随 堂 练 习 并把结果化为代数形式。 解 ： 解 ： 讲 练 互 动 1、 计 算 ： 讲 练 互 动 2、 计 算 ： 解 ： (1) 求与所得的向量对应的复数。 解 ： 3 、在复平面内，把与复数3- √ 3i 对应的向量绕原点0按顺时针方向旋转60°, 讲 练 互 动 所以所求的复数为-2 √ 3i。 4、复 方程x⁶-α=0 的一个根，则α= 解 ： 因为复 方程x⁶- α=0 的一个根， 讲 练 互 动 5、若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则( ) A.z² 不可能为纯虚数 B.z² 在复平面内对应的点可能位于第二象限 C.z² 在复平面内对应的点一定位于第三象限 D.z² 在复平面内对应的点可能位于第四象限 答案：D 由于复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以其对应辐角范围 所以z²对应的辐角范围是(π,2π),所以z² 在复平面内对应的点 可能位于第三象限、第四象限、 y 轴负半轴，故A,B,C错误。 讲 练 互 动 为 两个复数相乘时，把向量OZ₁ 绕点0按逆时针方向旋转 角θ₂ ,再把它的模变为原来的r2 倍，得到向量OZ, OZ 表示的复数就是积z₁Z₂, 这是复数乘法的几何意义。 两个复数相除时，把向量OZ₁ 绕点0按顺时针方向旋 转角θ2,再把它的模变为原来的 倍，得到向量OZ, OZ表示的复数就是积 7 这是复数除法的几何意义。 作业布置：教材第90页习题7 . 3第4、8题 复数乘法的三角表示 ： r₁(cosθ1+isinθ1)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂[cos(θ1+θ₂)+isin(θ1+θ₂)] 复数除法的三角表示： 本 课 小 结 $