7.3 复数的三角表示 复数乘、除运算的三角表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义 LOGO 引 入 问题1 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，复数代数形式加法和乘法运算的法则分别是什么？ =(ac－bd) + (bc+ad) i 类似多项式展开 把i2换成－1，合并实部与虚部 分子分母同乘以分母的共轭复数， 从而使分母“实数化” 分子，分母运用乘法进行化简 化为复数的代数形式 (a + bi) (c + di )=ac + bci+adi+ bdi2 复数的几何意义 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b） 一一对应 一一对应 平面向量OZ 一一对应 a b z=a＋bi Z（a，b） 复数z＝a＋bi与向量OZ =(a，b)一一对应， 复数z由向量OZ 的坐标 (a，b)唯一确定．我们 知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定， 那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来 表示复数呢？你认为如何表示？ 探究 a b z=a＋bi r 向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线（射线 OZ）为终边的角θ来刻画OZ的方向． θ 你能用向量OZ的模和角θ表示复数z吗？ a b z=a＋bi r θ 记向量|OZ|＝|z|＝|a＋bi|＝r，由图可以得到 所以 其中 这样，我们就用刻画向量大小的模r，和刻画向量方向的角θ表示了复数z. a b z=a＋bi r θ 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式． r 是复数z的模； θ 是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角， 叫做复数z＝a＋bi的辐角； 其中： a＋bi 叫做复数z的代数表示式，简称代数形式； 辐角 模 r(cosθ+isinθ) 叫做复数z的三角表示式，简称三角形式； 复数的三角表示式 问题：一个复数的辐角的值有多少个？ 问题：这些辐角的值之间有什么关系呢？ 问题：若复数为0，它的辐角是哪个角？ a b z=a＋bi r θ 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值． 这些值相差2π的整数倍． 对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的． 我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z， 即0 ≤ arg z < 2π． 例如，arg 1= ，arg i= ，arg(－1)= ，arg (－i)= ． 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形 式．我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化． 每个非零复数的幅角的主值有且只有一个 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. θ 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. θ 把复数z＝a＋bi的代数形式转化成三角形式的基本步骤： （1）求复数的模r: （2）求复数的辐角的主值θ: （3）写出复数的三角形式: 【例2】分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式. 【例2】分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式. LOGO 首先做与复数z1对应的向量OZ1，然后把向量OZ1绕 点O按逆时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为 的向量OZ． OZ即为z1z2=3i所对应的向量． 例3 已知 ， ，求 z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释. 解： LOGO 例4 如图，向量OZ 对应的复数为 ，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）． LOGO 问题5 复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 这就是说，两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 2. 复数除法运算：①三角表示 模相除，辐角相减 LOGO 追问 你还有其他的推导方法吗？ LOGO 问题6 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ ②复数乘法运算的几何意义 旋转运算 LOGO 例5 计算 并把结果化为代数形式． LOGO 课堂练习 1.计算 : 复数的三角表示式 其中 a b z=a＋bi r θ r 是复数z的模； θ 是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做z的辐角； 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z． 两个复数相等 ⟺ 两个复数的模相等且辐角主值相等 把复数z＝a＋bi的代数形式转化成三角形式的基本步骤： （1）求复数的模r: （2）求复数的辐角的主值θ: （3）写出复数的三角形式: 【练习】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. LOGO 课堂小结 1.①复数乘法运算的三角表示： 2.①复数除法运算的三角表示： 模相除，辐角相减 ②复数除法运算的几何意义 ②复数乘法运算的几何意义 模相乘，辐角相加 $