第3章 概率初步 单元复习（4大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学概率初步单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点、常考考点与高频易错点，结合知识框架图呈现事件分类、频率与概率、等可能事件计算及应用的知识脉络，清晰展示各要点间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如频率计算结合沙棘树苗移植情境培养数据意识，提升题型如游戏公平性判断发展推理能力，培优题型通过方程思想求概率相关数量强化模型意识。配套错题警示与解题技巧（如频率与概率区分口诀），助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第3章 概率初步 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.事件的分类（必然事件、不可能事件、随机事件） 1.识别三类事件的类型； 2.根据事件特征判断事件类型（结合生活情境、跨学科背景）； 3.结合事件类型分析可能性大小 1.混淆必然事件与随机事件，误将大概率事件当作必然事件； 2.忽略不可能事件的“绝对不发生”特征，误将小概率事件当作不可能事件； 3.对跨学科情境（如物理、化学实验）中的事件类型判断失误，未提取核心条件 2.频率与概率 1.频率的计算（频数÷总次数）； 2.用频率估计概率（大量重复试验中频率稳定值）； 3.频率与概率的区别与联系 1.混淆频率与概率，认为频率等于概率； 2.用少量试验的频率直接作为概率估计值，忽略“大量重复试验”前提； 3.计算频率时遗漏“放回”“不放回”等条件，导致频数统计错误 3.等可能事件的概率计算 1.简单等可能事件的概率公式应用（）； 2.已知概率求相关数量（如球的个数、卡片张数）； 3.几何概率（面积比、长度比、角度比） 1.应用概率公式时，误将“非等可能结果”当作“等可能结果”（如掷图钉忽略钉尖与钉帽着地概率不同）； 2.计算几何概率时，混淆“部分面积”与“整体面积”，或遗漏图形边界情况； 3.已知概率求数量时，未建立正确方程（如忽略总数量的变化） 4.概率的应用 1.判断游戏公平性（双方获胜概率是否相等）； 2.设计符合要求的概率模型（如指定概率的转盘、摸球游戏）； 3.概率在生活中的实际应用（如抽奖、决策、统计估计） 1.判断游戏公平时，仅关注结果数量，忽略结果的等可能性； 2.设计概率模型时，未保证所有结果等可能，或未满足指定概率条件； 3.应用概率解决实际问题时，误解“概率大”的含义，认为概率大就一定发生 【易错题型】 【题型1】频率与概率、事件类型的易混辨析 1.易错点总结 -概念混淆：将频率（试验后统计值）与概率（理论值）等同，如“掷10次硬币正面朝上6次，认为正面朝上概率为0.6”； -事件判断失误：将“大概率事件”（如中奖概率0.9）当作必然事件，或“小概率事件”（如中奖概率0.01）当作不可能事件； -等可能性误解：认为所有随机事件的结果都等可能，如“掷图钉时钉尖朝上和朝下概率都是0.5”； -应用偏差：判断游戏公平时，只看获胜结果的数量，忽略结果发生的可能性是否相等。 2.纠错技巧 -概念区分口诀：频率是“试验结果”（随次数变化），概率是“固有属性”（固定不变）；必然事件“一定发生”（概率=1），不可能事件“一定不发生”（概率=0），随机事件“可能发生”（0<概率<1）； -等可能性判断：关键看“每个结果发生的条件是否相同”，如掷均匀骰子是等可能，掷图钉因受力点不同非等可能； -游戏公平性判断：先计算双方获胜的概率，而非结果数量，只有概率相等才公平； -频率估计概率：必须强调“大量重复试验”，少量试验的频率不能作为概率估计值。 【例题1】.（25-26九年级下·山西太原·月考）山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·全国·期末）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数 成活数 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据频率估计概率，根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值，移植总数越大，对应的成活频率越接近真实概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在大量重复试验中，频率稳定于概率， ∵移植总数时，成活频率为，此时试验次数最多，频率最接近概率， ∴估计幼树成活的概率约为， 故选：． 【变式题1-2】.（2026·江苏无锡·一模）下列事件中，确定事件为（   ） A．在北半球看，太阳从西边升起 B．未来三天会下雨 C．打开电视，正在播放广告 D．任意两个等腰三角形是相似三角形 【答案】A 【详解】解：A 、在北半球，太阳一定从东边升起，太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，是确定事件； B 、未来三天是否下雨无法确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件； C 、打开电视播放内容不确定，正在播放广告可能发生也可能不发生，属于随机事件； D 、任意两个等腰三角形可能相似也可能不相似，该事件是随机事件. 【变式题1-3】.（24-25九年级上·浙江温州·期中）如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，观察表格中频率的变化趋势，找到频率稳定的数值即可估计结果A出现的概率． 【详解】解：由统计表可知，随着试验次数不断增加，结果出现的频率逐渐稳定在附近， 因此估计结果在这次实验中出现的概率为． 【基础题型】 【题型2】频率的计算与应用 1.考点总结 -核心：频率的定义（），频率在大量重复试验中的稳定性； -常考：计算指定事件的频率，根据频率补全统计表格，判断频率的稳定性； -关键：明确“频数”（事件发生的次数）与“总次数”（试验总次数），注意“放回”“不放回”对总次数的影响。 2.解题技巧 -公式应用：严格代入，计算时注意单位统一、结果化简（如小数或分数）； -表格补全：根据已知频率或频数，反向求未知量（如总次数=频数÷频率，频数=总次数×频率）； -稳定性判断：观察频率变化趋势，当试验次数足够多时，频率是否稳定在某个常数附近。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【答案】D 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率等于频数除以总数进行求解即可． 由频率是频数与总次数的比值，代入求值即可． 【详解】解：∵总投掷次数为100次，“正面朝上”频数为46次， ∴频率为， 故选D． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·广东深圳·期末） （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 【题型3】简单等可能事件的概率计算 1.考点总结 -核心：概率公式（n为所有等可能结果数，m为事件A包含的结果数）； -常考：摸球、掷骰子、抽卡片等简单模型的概率计算，已知概率求结果数； -关键：确保所有结果等可能，准确统计n和m的值（不重复、不遗漏）。 2.解题技巧 -结果列举法：用列表、树状图或直接列举所有等可能结果（适用于结果数较少的情况）； -公式应用步骤：①确定试验的所有等可能结果数n；②找出事件A包含的结果数m；③代入公式计算，结果化为最简分数或小数； -逆向计算：已知P(A)和n（或m），列方程求m（或n），如“已知摸红球概率为0.3，总球数10个，求红球数m=10×0.3=3”。 【例题3】.（25-26七年级下·河南·月考）在英文单词“”中任选一个字母，字母“n”被选中的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：英文单词“”中共有个字母，其中字母“n”有个， 字母“n”被选中的概率是． 【变式题3-1】.（2025·湖南株洲·一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·四川南充·月考）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则盒中白色棋子的个数是______个． 【答案】8 【分析】设盒中有个白色棋子，根据白色棋子的概率可列方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设盒中有个白色棋子，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以，盒中有8个白色棋子． 【变式题3-3】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（四）数学试题）电路图上有S1，S2，S3三个开关和一个小灯泡，随机闭合其中一个开关，使得小灯泡发亮的概率是______． 【答案】 【分析】先理解电路图中开关与灯泡的关系，并计算任意闭合一个开关时灯泡发亮的概率即可． 【详解】由题意知，电路中有3个开关、、，任意闭合其中一个开关，总共有3种情况，只有闭合时小灯泡才会亮， ∴符合条件的情况只有1种， ∴小灯泡发亮的概率是． 【题型4】几何概率的计算 1.考点总结 -核心：几何概率公式； -常考：转盘、方砖地面、不规则图形等情境的概率计算； -关键：准确计算“部分图形”和“整体图形”的相关量（面积、长度、角度），忽略边界情况（边界不计或重算）。 2.解题技巧 -转盘问题：概率=对应扇形圆心角÷360°（前提是转盘被等分或已知圆心角）； -方砖地面问题：概率=阴影方砖面积和÷总方砖面积和（若方砖大小相同，可简化为阴影方砖数÷总方砖数）； -不规则图形问题：通过“整体减空白”计算部分面积，或利用频率估计（如抛小球试验）。 【例题4】.（2026·新疆·一模）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小聪想了解图案的面积是多少，他采取了以下的办法：将不规则图案放置在一个长为、宽为的长方形框内，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计次数），他将试验结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用频率估计概率得到小球落在不规则图案内的概率约为0.4，然后列式求解即可． 【详解】解：由折线统计图可得，小球落在不规则图案内的频率约为0.4， ∴小球落在不规则图案内的概率约为0.4， ∴估计此不规则图案的面积大约为． 【变式题4-1】.（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 【答案】 【分析】由对称性可知黑色部分与白色部分面积相等，进而求概率即可． 【详解】解：“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称， 黑色部分与白色部分面积相等， 故恰好落在黑色部分的概率为． 【变式题4-2】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）小明把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（假设每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板上的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（阴影区域的顶点均在小正方形的顶点上）的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概型的概率计算，掌握概率=阴影面积÷总面积，用割补法求不规则图形面积是解题的关键． 先计算大正方形总面积，再求出四个空白直角三角形的面积，用总面积减空白面积得到阴影面积，最后根据几何概型计算概率． 【详解】解：设小正方形边长为， 大正方形边长为 ，根据正方形面积公式 （为边长），可得大正方形面积 用大正方形面积减去四个空白直角三角形的面积： 左上角空白三角形：底、高，面积 ； 右上角空白三角形：底、高 ，面积 ； 右下角空白三角形：底、高，面积 ； 左下角空白三角形：底 、高 ，面积； 四个空白三角形总面积，则阴影面积 根据几何概型，概率 故答案为：． 【变式题4-3】.（21-22九年级上·广西河池·期末）如图是由三个同心圆构成的图形，分为A，B，C三个区域（A，B两区域为圆环，C区域为小），其中． (1)写出三个区域的面积： ， ， ． (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在A区域的概率； (3)随机往图中扔240粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在B区域． 【答案】(1)，， (2) (3)粒 【分析】（1）根据圆面积公式计算即可； （2）根据面积比估算概率即可； （3）求出概率，估算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ， ； （2）解：； （3）解：， （粒）， 答：大约有多少粒豆子落在B区域80粒． 【提升题型】 【题型5】概率与统计表格的综合应用 1.考点总结 -核心：结合统计表格（频数分布表、频率统计表），计算概率或用频率估计概率； -常考：根据表格补全数据、估计概率、预测事件发生次数； -关键：从表格中提取“总次数”“频数”等关键信息，理解频率与概率的联系。 2.解题技巧 -表格分析步骤：①计算总次数（各频数之和）；②计算各事件的频率；③用稳定的频率估计概率； -预测应用：事件发生次数≈总次数×估计概率（如“估计1000次试验中，事件A发生次数≈1000×0.3=300”）； -注意事项：补全表格时，确保频数之和等于总次数，频率之和为1。 【例题5】.（2026·山西长治·一模）我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； (3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1)400，见解析 (2)600名 (3) 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用该校总人数乘以样本中B等级所占比例即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（名） 答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名； （3）解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种， ∴P（甲乙两人同时被选中）． 【变式题5-1】.（江苏省苏州市盛泽初中教育集团2026年3月份九年级数学随堂练习）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 抽取的成绩统计图 A组： B组： C组： D组： （x表示成绩） 其中B组共有15个成绩， 从高到低分别为： 89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80，80， 80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为 分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】(1)84 (2)50； (3)估计本次竞赛的获奖人数为120名 【分析】（1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由组人数除以其百分比可求出抽取的总数据个数，再根据中位数的定义解答可求出中位数； （3）用总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：直接利用平均数公式计算得： ， B组15个成绩的平均数为84分； （2）解：， 本次被抽取的所有成绩的个数为50， 成绩从高到低排列，中位数为第25和第26位学生成绩的平均数， 组人数为人， 中位数为：分， （3）解：用总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比可得： （名， 答：估计本次竞赛的获奖人数为120名． 【变式题5-2】.（山西省2026学年中考数学一模试卷（2））某市为推动赋能教育，在全市范围内从八、九年级各随机抽取了名教师，对其使用教学水平进行打分．组织人员将八、九年级各名教师使用教学的成绩（成绩用表示，满分为分，所有成绩均不低于分且均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，过程如下： 数据收集与整理：八年级名教师使用教学的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩在这一组的数据为，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩，扇形统计图如下： 分组 成绩/分 A B C D 数据分析：八、九年级各20名教师使用AI教学的成绩数据分析如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 33.2 九年级 35.1 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)填空：_______，_______，________，________． (3)根据上述信息，请你对两个年级的教师使用AI教学的成绩进行评价（任选两个统计量进行说明）． 【答案】(1)抽样调查 (2)，，， (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得采取的调查方式是抽样调查； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求得的值，根据扇形统计图求得的值； （3）比较两个年级的平均数和中位数，即可求解． 【详解】（1）解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查 （2）解：由八年级20名教师的成绩可得八年级成绩的众数为95，故； 九年级名教师测试成绩按从小到大排列 则中位数是第10个数和第个数，中位数出现在这一组中，故， 根据扇形统计图：，故； （3）解：答案不唯一，例如，八年级教师使用AI教学的成绩的平均数与九年级教师使用AI教学的成绩的平均数相同，但八年级教师使用AI教学的成绩的中位数为91分，高于九年级教师使用AI教学的成绩的中位数89分，所以八年级教师使用AI教学的成绩更好． 【变式题5-3】.（2026·江苏无锡·一模）睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（   ） A．少于 B．（含不含) C．(含不含) D．不少于 (1)在这次调查中，一共抽取了_______名学生； (2)补全条形统计图，并写出_______； (3)若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生有多少名？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图见解析， (3)该校每天睡眠时长少于的学生约为200名． 【分析】（1）先根据C组的人数和占比求出总人数； （2）根据B组的人数除以总人数进而可求出m的值，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：（名）， 则一共抽取了40名学生； （2）解：B组的人数为：（名）， ， 则； 补全条形图如下： （3）解：（人） 答：该校每天睡眠时长少于的学生约为200名． 【题型6】游戏公平性的判断与修改 1.考点总结 -核心：计算游戏双方的获胜概率，判断是否相等；若不公平，修改规则使概率相等； -常考：摸球、掷骰子、抽卡片等游戏的公平性判断，设计公平游戏规则； -关键：确保所有结果等可能，准确计算双方获胜的概率。 2.解题技巧 -公平性判断步骤：①列举所有等可能结果；②计算双方获胜的结果数；③代入概率公式计算，若概率相等则公平，否则不公平； -规则修改方法：①调整获胜条件（如改变中奖结果的数量）；②调整游戏道具（如增加/减少某种颜色的球）；③确保修改后双方获胜概率相等（如“原规则摸到红球甲赢，摸到白球乙赢，红球3个白球2个，可增加1个白球使概率相等”）。 【例题6】.（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·全国·假期作业）A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【答案】（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值 【分析】本题考查的是游戏规则的制定，只要符合石子散落的距离小的方案均可． 根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则． 【详解】解：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积； （2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长； （3）含5点的最小圆半径； （4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者； （5）连接任意两点线段长度中的最小值．（答案不唯一） 【变式题6-2】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【详解】解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 【培优题型】 【题型7】已知概率求相关数量（方程思想） 1.考点总结 -核心：利用概率公式建立方程，求解事件中未知的数量（如球的个数、卡片张数、扇形圆心角）； -常考：已知摸某颜色球的概率，求该颜色球的个数；已知转盘某区域概率，求对应圆心角； -关键：明确总数量与事件包含的数量关系，建立正确的一元一次方程。 2.解题技巧 -设元步骤：①设未知量（如设红球有x个）；②表示总数量（如总球数为x+5）；③根据概率公式列方程（如）；④解方程并验证（确保数量为正整数）； -转盘问题特殊处理：圆心角=360°×概率（如某区域概率为0.25，对应圆心角=360°×0.25=90°）。 【例题7】.（2026·湖南·模拟预测）在一个不透明的盒子里，装有红球和白球共40个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，则据此估计盒子中大约有白球______个． 【答案】 【详解】解：由题意得，摸到白球的频率稳定在， 可估计摸出白球的概率为， 根据概率公式，白球个数为． 【变式题7-1】.（2026·山东济南·一模）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 【答案】12 【分析】根据概率公式求出小球的总数量，即可求解． 【详解】解：袋中红、白两种颜色的小球的总数量为个， ∴袋中红球有个． 【变式题7-2】.（2026·重庆·一模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数即可． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， ∴由用频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又∵袋中白球和红球共个， ∴估计袋中白球的个数为：． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【答案】 【分析】先根据摸球试验的结果计算摸到“仲”字小球的频率，用频率估计概率，再结合总球数求出“仲”字小球的估计数量，最后用总球数减去“仲”字小球的数量得到“杜”字小球的估计个数． 【详解】解：共进行了次摸球试验，其中次摸到“仲”字小球， ∴摸到“仲”字小球的频率为， 根据大量重复试验的频率可近似代替概率， ∴估计从箱子中摸到“仲”字小球的概率为， ∴箱子中写着“仲”字的小球的估计个数为， ∴箱子中写着“杜”字的小球的估计个数为． 【题型8】概率模型的设计与优化（探究式） 1.考点总结 -核心：根据指定概率要求，设计转盘、摸球、抽卡片等概率模型，或优化现有模型使满足条件； -常考：设计指定概率的转盘（如指针指向红色概率为）、摸球游戏（如摸到白球概率为），优化不公平游戏为公平游戏； -关键：确保所有结果等可能，准确分配“事件A的结果数”和“总结果数”。 2.解题技巧 -转盘设计：①确定总份数（如8份）；②计算事件A对应的份数（如概率对应2份）；③标注对应区域（确保等分）； -摸球游戏设计：①设定总球数（如5个）；②计算事件A的球数（如概率对应2个白球）；③补充其他颜色球（如3个红球），确保所有球除颜色外无差异； -优化原则：保持游戏形式不变，通过调整“事件A的结果数”使双方概率相等（如原游戏甲赢概率，乙赢概率，可增加甲的获胜结果数）。 【例题8】.（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． (1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1) (2)新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球；获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品 【分析】本题考查概率公式： （1）共有9种等可能的结果，取出的是黄球的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）原方案“获得奖品”的概率为，“获得奖品”的概率为，结合题意设计新的摸球方案及获奖规则即可． 【详解】（1）袋中1个黄球，8个白球，从袋中随机摸取一个小球，每次摸球是等可能的， 共有9种等可能的结果，其中该班某位同学取出的是黄球的结果有1种， 即参加该游戏“获得奖品”的结果有1种， ∴该班某位同学参加该游戏概率为 故答案为：． （2）解：由（1）可知原方案“获得奖品”的概率是， “获得奖品”的概率为， 取走6个白球后，剩余3个球：1个黄球，2个白球， 新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球． 黄球1个，共3球， 第一次摸到黄球的概率：，第二次摸到黄球的概率也是， 两次都摸到黄球的概率：， 两次不全为黄球的概率：， 获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 【答案】(1) (2)红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一） 【分析】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）设加入个红球，个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，列出不等式和方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4， ∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． （2）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个， ∴黑球有个， 往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共个球， 设加入 个红球，个黑球， ∵红球的概率不超过，摸出黑球的概率是， ∴， 解得：，， ∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种答案即可）． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·山西·期中）五一小长假，某商场征集促销活动方案，小明根据数学课本第75页的知识，建议商场设计一个抽奖活动． 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色．商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．    (1)某顾客购物后获得了一次转动转盘的机会，求他获得50元购物券的概率是多少． (2)商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，那么商场需要再给________个扇形涂上颜色． (3)为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，请你帮忙设计一个掷骰子的获奖规则． 【答案】(1) (2)3 (3)答案不唯一 【分析】本题考查了概率公式，已知概率求数量，游戏的公平性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）根据概率求数量的公式列式计算，即可作答． （3）根据游戏的公平性，以及概率求数量的公式进行作答即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵将转盘等分成20个扇形，且指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券， ∴获得50元购物券的概率． （2）解：∵商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，且目前有7个扇形是有颜色的， ∴， 那么商场需要再给3个扇形涂上颜色； 故答案为：3 （3）解：∵为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，且数字1到6中偶数的有这三个情况， ∴掷骰子正面向上的数字为偶数，则可以获奖，满足． 同步练习 一、单选题 1．一名快递员准备将一件包裹随机投放到“01”“02”“03”“04”四个空柜中的某个空柜，则投放到“01”空柜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】解：∵ 总共有四个空柜，投放到“01”空柜的情况只有一种， ∴投放到“01”空柜的概率为． 2．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．打开电视，正在播放新闻联播 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．购买一张体育彩票，中奖500万元 【答案】C 【分析】在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件. 【详解】解：A、打开电视不一定正在播放新闻联播，属于随机事件； B、抛掷硬币不一定正面朝上，属于随机事件； C、根据三角形内角和定理，任意三角形内角和一定为，一定会发生，属于必然事件； D、购买体育彩票不一定中500万元，属于随机事件. 3．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（    ）．（精确到0.01） A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50 【答案】A 【详解】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53． 二、填空题 4．一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为____． 【答案】 【详解】解：随机摸出一球是红球的概率为． 5．现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【答案】 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 6．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 三、解答题 7．不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 (1)将数据表补充完整．(精确到) (2)根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 (3)由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 【答案】(1)，，，； (2)； (3)个 【分析】（1）根据“频率=出现红色的次数÷摸球次数”的公式，分别计算对应摸球次数下的红色球频率，精确到； （2）观察频率数据，随着试验次数增加，频率会稳定在某一常数附近，该常数即为摸出红球的概率； （3）用袋中总球数乘以估计的红球概率，即可得到红球的估计个数． 【详解】（1）解：根据频率计算公式“频率”，计算： 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 故补充表格如下： 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 （2）解：观察表中频率数据，随着摸球次数的增加，出现红色的频率逐渐稳定在附近， ∴估计从袋中摸出一个球恰为红球的概率是； （3）解：∵袋中共有个小球，摸出红球的概率约为， ∴估计袋中红球的个数为(个)． 答：袋中约有红球个． 8．由于包装人员的疏忽，在50包型号为L的衬衫中混进了型号为M的衬衫，数据如下： M号衬衫数 0 1 4 5 7 9 10 11 包数 7 3 10 15 5 4 3 3 从中任取1包，求下列事件发生的概率： (1)包中没有混入M号衬衫； (2)包中混入的M号衬衫数不超过5件； (3)包中混入的M号衬衫数超过9件． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）用没有混入M号衬衫的包数除以总包数即可； （2）用混入的M号衬衫数不超过5件的包数除以总包数即可； （3）用混入的M号衬衫数超过9件的包数除以总包数即可． 【详解】（1）解：没有混入的M号衬衫的包数是7包， 所以P（没有混入的M号衬衫）； （2）解：混入的M号衬衫数不超过5的包数是包， 所以P（混入的M号衬衫数不超过5）； （3）解：混入的M号衬衫数超过9的包数是包， 所以P（混入的M号衬衫数超过9）． 9．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】小明和小丽的说法都是错误的，理由见解析 【分析】根据古典概型概率公式：，分别求出从甲、乙口袋中摸到黄球的概率，比较所求概率的大小后判断说法的正误即可． 【详解】解：∵甲口袋中装有2个黄球和6个红球， ∴P（甲口袋中摸到黄球）， ∵乙口袋中装有4个黄球和12个红球， ∴P（乙口袋中摸到黄球）， ∵， ∴从甲口袋中摸到黄球的概率等于从乙口袋中摸到黄球的概率， 故小明和小丽的说法都是错误的． 10．3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，每张均售元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 【答案】(1) (2)2736元 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“勾股定理”的结果有2种， 随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是； （2）解：活动期间需支付明信片的费用为：（元）， 抽到“勾股定理”的总次数约为：（次）， 抽到“黄金分割、杨辉三角”的总次数约为：（次）， 抽到“七巧板”的总次数约为：（次）， 书店为此活动需支付的总费用估计是： （元）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 概率初步 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.事件的分类（必然事件、不可能事件、随机事件） 1.识别三类事件的类型； 2.根据事件特征判断事件类型（结合生活情境、跨学科背景）； 3.结合事件类型分析可能性大小 1.混淆必然事件与随机事件，误将大概率事件当作必然事件； 2.忽略不可能事件的“绝对不发生”特征，误将小概率事件当作不可能事件； 3.对跨学科情境（如物理、化学实验）中的事件类型判断失误，未提取核心条件 2.频率与概率 1.频率的计算（频数÷总次数）； 2.用频率估计概率（大量重复试验中频率稳定值）； 3.频率与概率的区别与联系 1.混淆频率与概率，认为频率等于概率； 2.用少量试验的频率直接作为概率估计值，忽略“大量重复试验”前提； 3.计算频率时遗漏“放回”“不放回”等条件，导致频数统计错误 3.等可能事件的概率计算 1.简单等可能事件的概率公式应用（）； 2.已知概率求相关数量（如球的个数、卡片张数）； 3.几何概率（面积比、长度比、角度比） 1.应用概率公式时，误将“非等可能结果”当作“等可能结果”（如掷图钉忽略钉尖与钉帽着地概率不同）； 2.计算几何概率时，混淆“部分面积”与“整体面积”，或遗漏图形边界情况； 3.已知概率求数量时，未建立正确方程（如忽略总数量的变化） 4.概率的应用 1.判断游戏公平性（双方获胜概率是否相等）； 2.设计符合要求的概率模型（如指定概率的转盘、摸球游戏）； 3.概率在生活中的实际应用（如抽奖、决策、统计估计） 1.判断游戏公平时，仅关注结果数量，忽略结果的等可能性； 2.设计概率模型时，未保证所有结果等可能，或未满足指定概率条件； 3.应用概率解决实际问题时，误解“概率大”的含义，认为概率大就一定发生 【易错题型】 【题型1】频率与概率、事件类型的易混辨析 1.易错点总结 -概念混淆：将频率（试验后统计值）与概率（理论值）等同，如“掷10次硬币正面朝上6次，认为正面朝上概率为0.6”； -事件判断失误：将“大概率事件”（如中奖概率0.9）当作必然事件，或“小概率事件”（如中奖概率0.01）当作不可能事件； -等可能性误解：认为所有随机事件的结果都等可能，如“掷图钉时钉尖朝上和朝下概率都是0.5”； -应用偏差：判断游戏公平时，只看获胜结果的数量，忽略结果发生的可能性是否相等。 2.纠错技巧 -概念区分口诀：频率是“试验结果”（随次数变化），概率是“固有属性”（固定不变）；必然事件“一定发生”（概率=1），不可能事件“一定不发生”（概率=0），随机事件“可能发生”（0<概率<1）； -等可能性判断：关键看“每个结果发生的条件是否相同”，如掷均匀骰子是等可能，掷图钉因受力点不同非等可能； -游戏公平性判断：先计算双方获胜的概率，而非结果数量，只有概率相等才公平； -频率估计概率：必须强调“大量重复试验”，少量试验的频率不能作为概率估计值。 【例题1】.（25-26九年级下·山西太原·月考）山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·全国·期末）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数 成活数 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·江苏无锡·一模）下列事件中，确定事件为（   ） A．在北半球看，太阳从西边升起 B．未来三天会下雨 C．打开电视，正在播放广告 D．任意两个等腰三角形是相似三角形 【变式题1-3】.（24-25九年级上·浙江温州·期中）如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 【基础题型】 【题型2】频率的计算与应用 1.考点总结 -核心：频率的定义（），频率在大量重复试验中的稳定性； -常考：计算指定事件的频率，根据频率补全统计表格，判断频率的稳定性； -关键：明确“频数”（事件发生的次数）与“总次数”（试验总次数），注意“放回”“不放回”对总次数的影响。 2.解题技巧 -公式应用：严格代入，计算时注意单位统一、结果化简（如小数或分数）； -表格补全：根据已知频率或频数，反向求未知量（如总次数=频数÷频率，频数=总次数×频率）； -稳定性判断：观察频率变化趋势，当试验次数足够多时，频率是否稳定在某个常数附近。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【变式题2-1】.（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【变式题2-2】.（24-25七年级下·广东深圳·期末） （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【变式题2-3】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【题型3】简单等可能事件的概率计算 1.考点总结 -核心：概率公式（n为所有等可能结果数，m为事件A包含的结果数）； -常考：摸球、掷骰子、抽卡片等简单模型的概率计算，已知概率求结果数； -关键：确保所有结果等可能，准确统计n和m的值（不重复、不遗漏）。 2.解题技巧 -结果列举法：用列表、树状图或直接列举所有等可能结果（适用于结果数较少的情况）； -公式应用步骤：①确定试验的所有等可能结果数n；②找出事件A包含的结果数m；③代入公式计算，结果化为最简分数或小数； -逆向计算：已知P(A)和n（或m），列方程求m（或n），如“已知摸红球概率为0.3，总球数10个，求红球数m=10×0.3=3”。 【例题3】.（25-26七年级下·河南·月考）在英文单词“”中任选一个字母，字母“n”被选中的概率是______． 【变式题3-1】.（2025·湖南株洲·一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·四川南充·月考）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则盒中白色棋子的个数是______个． 【变式题3-3】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（四）数学试题）电路图上有S1，S2，S3三个开关和一个小灯泡，随机闭合其中一个开关，使得小灯泡发亮的概率是______． 【题型4】几何概率的计算 1.考点总结 -核心：几何概率公式； -常考：转盘、方砖地面、不规则图形等情境的概率计算； -关键：准确计算“部分图形”和“整体图形”的相关量（面积、长度、角度），忽略边界情况（边界不计或重算）。 2.解题技巧 -转盘问题：概率=对应扇形圆心角÷360°（前提是转盘被等分或已知圆心角）； -方砖地面问题：概率=阴影方砖面积和÷总方砖面积和（若方砖大小相同，可简化为阴影方砖数÷总方砖数）； -不规则图形问题：通过“整体减空白”计算部分面积，或利用频率估计（如抛小球试验）。 【例题4】.（2026·新疆·一模）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小聪想了解图案的面积是多少，他采取了以下的办法：将不规则图案放置在一个长为、宽为的长方形框内，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计次数），他将试验结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 【变式题4-2】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）小明把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（假设每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板上的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（阴影区域的顶点均在小正方形的顶点上）的概率为________． 【变式题4-3】.（21-22九年级上·广西河池·期末）如图是由三个同心圆构成的图形，分为A，B，C三个区域（A，B两区域为圆环，C区域为小），其中． (1)写出三个区域的面积： ， ， ． (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在A区域的概率； (3)随机往图中扔240粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在B区域． 【提升题型】 【题型5】概率与统计表格的综合应用 1.考点总结 -核心：结合统计表格（频数分布表、频率统计表），计算概率或用频率估计概率； -常考：根据表格补全数据、估计概率、预测事件发生次数； -关键：从表格中提取“总次数”“频数”等关键信息，理解频率与概率的联系。 2.解题技巧 -表格分析步骤：①计算总次数（各频数之和）；②计算各事件的频率；③用稳定的频率估计概率； -预测应用：事件发生次数≈总次数×估计概率（如“估计1000次试验中，事件A发生次数≈1000×0.3=300”）； -注意事项：补全表格时，确保频数之和等于总次数，频率之和为1。 【例题5】.（2026·山西长治·一模）我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； (3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【变式题5-1】.（江苏省苏州市盛泽初中教育集团2026年3月份九年级数学随堂练习）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 抽取的成绩统计图 A组： B组： C组： D组： （x表示成绩） 其中B组共有15个成绩， 从高到低分别为： 89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80，80， 80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为 分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【变式题5-2】.（山西省2026学年中考数学一模试卷（2））某市为推动赋能教育，在全市范围内从八、九年级各随机抽取了名教师，对其使用教学水平进行打分．组织人员将八、九年级各名教师使用教学的成绩（成绩用表示，满分为分，所有成绩均不低于分且均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，过程如下： 数据收集与整理：八年级名教师使用教学的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩在这一组的数据为，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩，扇形统计图如下： 分组 成绩/分 A B C D 数据分析：八、九年级各20名教师使用AI教学的成绩数据分析如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 33.2 九年级 35.1 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)填空：_______，_______，________，________． (3)根据上述信息，请你对两个年级的教师使用AI教学的成绩进行评价（任选两个统计量进行说明）． 【变式题5-3】.（2026·江苏无锡·一模）睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（   ） A．少于 B．（含不含) C．(含不含) D．不少于 (1)在这次调查中，一共抽取了_______名学生； (2)补全条形统计图，并写出_______； (3)若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生有多少名？ 【题型6】游戏公平性的判断与修改 1.考点总结 -核心：计算游戏双方的获胜概率，判断是否相等；若不公平，修改规则使概率相等； -常考：摸球、掷骰子、抽卡片等游戏的公平性判断，设计公平游戏规则； -关键：确保所有结果等可能，准确计算双方获胜的概率。 2.解题技巧 -公平性判断步骤：①列举所有等可能结果；②计算双方获胜的结果数；③代入概率公式计算，若概率相等则公平，否则不公平； -规则修改方法：①调整获胜条件（如改变中奖结果的数量）；②调整游戏道具（如增加/减少某种颜色的球）；③确保修改后双方获胜概率相等（如“原规则摸到红球甲赢，摸到白球乙赢，红球3个白球2个，可增加1个白球使概率相等”）。 【例题6】.（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【变式题6-1】.（25-26七年级上·全国·假期作业）A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【培优题型】 【题型7】已知概率求相关数量（方程思想） 1.考点总结 -核心：利用概率公式建立方程，求解事件中未知的数量（如球的个数、卡片张数、扇形圆心角）； -常考：已知摸某颜色球的概率，求该颜色球的个数；已知转盘某区域概率，求对应圆心角； -关键：明确总数量与事件包含的数量关系，建立正确的一元一次方程。 2.解题技巧 -设元步骤：①设未知量（如设红球有x个）；②表示总数量（如总球数为x+5）；③根据概率公式列方程（如）；④解方程并验证（确保数量为正整数）； -转盘问题特殊处理：圆心角=360°×概率（如某区域概率为0.25，对应圆心角=360°×0.25=90°）。 【例题7】.（2026·湖南·模拟预测）在一个不透明的盒子里，装有红球和白球共40个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，则据此估计盒子中大约有白球______个． 【变式题7-1】.（2026·山东济南·一模）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 【变式题7-2】.（2026·重庆·一模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【题型8】概率模型的设计与优化（探究式） 1.考点总结 -核心：根据指定概率要求，设计转盘、摸球、抽卡片等概率模型，或优化现有模型使满足条件； -常考：设计指定概率的转盘（如指针指向红色概率为）、摸球游戏（如摸到白球概率为），优化不公平游戏为公平游戏； -关键：确保所有结果等可能，准确分配“事件A的结果数”和“总结果数”。 2.解题技巧 -转盘设计：①确定总份数（如8份）；②计算事件A对应的份数（如概率对应2份）；③标注对应区域（确保等分）； -摸球游戏设计：①设定总球数（如5个）；②计算事件A的球数（如概率对应2个白球）；③补充其他颜色球（如3个红球），确保所有球除颜色外无差异； -优化原则：保持游戏形式不变，通过调整“事件A的结果数”使双方概率相等（如原游戏甲赢概率，乙赢概率，可增加甲的获胜结果数）。 【例题8】.（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． (1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·山西·期中）五一小长假，某商场征集促销活动方案，小明根据数学课本第75页的知识，建议商场设计一个抽奖活动． 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色．商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．    (1)某顾客购物后获得了一次转动转盘的机会，求他获得50元购物券的概率是多少． (2)商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，那么商场需要再给________个扇形涂上颜色． (3)为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，请你帮忙设计一个掷骰子的获奖规则． 同步练习 一、单选题 1．一名快递员准备将一件包裹随机投放到“01”“02”“03”“04”四个空柜中的某个空柜，则投放到“01”空柜的概率是（   ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．打开电视，正在播放新闻联播 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．购买一张体育彩票，中奖500万元 3．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（    ）．（精确到0.01） A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50 二、填空题 4．一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为____． 5．现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 6．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 三、解答题 7．不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 (1)将数据表补充完整．(精确到) (2)根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 (3)由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 8．由于包装人员的疏忽，在50包型号为L的衬衫中混进了型号为M的衬衫，数据如下： M号衬衫数 0 1 4 5 7 9 10 11 包数 7 3 10 15 5 4 3 3 从中任取1包，求下列事件发生的概率： (1)包中没有混入M号衬衫； (2)包中混入的M号衬衫数不超过5件； (3)包中混入的M号衬衫数超过9件． 9．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 10．3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，每张均售元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $