第三章 概率初步重难点检测卷-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第三章 概率初步重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：概率初步全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 2．（2024·七年级下 甘肃金昌）近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（    ） 区域 A B C D E 人数 A．去区域服务的人数最少 B．去区域服务的人数的频率是 C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务 D．这次抽样调查的样本容量是 【答案】C 【分析】本题考查了样本容量，频率，用样本估计总体．熟练掌握样本容量，频率，用样本估计总体是解题的关键． 由表格可知，去区域服务的人数最少，可判断A的正误；样本容量为，可判断D的正误；去区域服务的人数的频率是，可判断B的正误；若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，可判断C的正误． 【详解】解：由表格可知，去区域服务的人数最少，正确，故A不符合要求； 样本容量为，正确，故D不符合要求； 去区域服务的人数的频率是，正确，故B不符合要求； 若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，错误，故C符合要求； 故选：C． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）在一场大型的抽奖活动中，主办方进行了多次抽奖试验．每次抽奖都是在相同的条件下进行，经过大量的抽奖试验后，某一特定奖品被抽中的频率为f，而该特定奖品被抽中的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．抽奖次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．抽奖次数越多，f越接近于P D．当抽奖次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率是事件本身固有的属性，是固定不变的，频率随试验次数改变而变化，大量重复试验下，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：首先明确，概率是特定事件的固有属性，是固定不变的常数，频率是试验中得到的结果，会随试验次数变化． ∵频率不一定随抽奖次数增加而增大，仅会围绕概率波动，∴A错误； ∵概率固定不变，只有频率会发生变化，∴B错误； ∵抽奖次数越多，多的程度不明确，当多的程度比较少时，频率不一定接近，∴C错误； ∵当抽奖次数很大时，频率会在概率附近摆动，整体趋于稳定，符合频率估计概率的结论，∴D正确． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 7．（2026·七年级下 河北）如图．有一些只写有数字的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，若摸到数字的概率为，则这些卡片所标数字合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】根据概率公式： 由图可知，总共有张卡片，题目要求摸到的概率为，因此写有的卡片数量应为：张， 逐一验证选项： A：共有张写的卡片，概率为，不符合； B：共有张写的卡片，概率为，不符合； C：共有张写的卡片，概率为，符合要求； D：共有张写的卡片，概率为，不符合． 8．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 【答案】B 【分析】本题主要考查频率与概率的关系，掌握频率的计算方法、频率与概率的区别是解题的关键． 频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，概率是事件发生的理论可能性，频率随试验次数增多趋近于概率，但二者不能直接等同，且试验结果具有随机性，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 抽取次数越多，优质果的频率越接近概率，故A选项错误，不符合题意； B．此次抽取优质果的频率为，故B选项正确，符合题意； C．频率是概率的估计值，不能确定概率一定为，故C选项错误，不符合题意； D．再抽取100次是随机试验，抽到优质果的次数具有随机性，不一定为80次，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 9．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 10．（25-26七年级下·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026·七年级下 四川泸州）某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 【答案】 【分析】本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：袋子中球的总个数为：（个）， 则黑球的个数为（个）， 要使摸到黑球的可能性变成， 则球的总个数为（个）， ∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球， 也可以往口袋里再放入黑球（个）， 故答案为：，，． 13．（25-26七年级下·浙江杭州·自主招生）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是_____________________ ． 【答案】 【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意，得出所有的情况数及符合条件的情况数是解题关键． 根据题意列出所有的情况数及符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：， ， ， ，共有24种， 恰好两名拿对：共有6种情况， 不存在恰好有三名同学拿对书包的情况， 恰好有四名同学拿对书包的情况有1种， ∴符合条件的情况数为种， 概率为， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·北京·期末）将一个表面涂满红色的正方体的每条棱等分（，n为整数），分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了简单几何概率，熟练掌握正方体体积公式，面积公式，概率意义，几何概率计算，是解题的关键． 小正方体总个数为，只有一面涂红色的小正方体个数为，概率为两者之比． 【详解】解：将正方体每条棱等分后，小正方体总个数为． 只有一面涂红色的小正方体位于每个面的中心部分， 每个面有个，共6个面， ∴总数为． 故任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 【答案】44 【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子中，对于5个元素，错位排列即可． 【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同， ∴第一个盒子放2的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；25431，共11种； 第一个盒子放3的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；35412，共11种； 第一个盒子放4的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；45231，共11种； 第一个盒子放5的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；54231，共11种； ∴一共有种 故答案为：44． 16．（24-25七年级下·重庆垫江·期中）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 __________________． 【答案】 【分析】本题考查求概率，关键是求出所有可能情况数及事件发生时的可能情况数；先选取2人到社区1，再从余下4人中选取2人到社区2，余下2人到社区3，可得到所有可能情况数；甲乙两人从3个社区中任选一个，余下4人在剩下的2个社区中选，得到甲乙在一个社区的情况数，再由概率公式求解可得． 【详解】解：6个人选取2人到社区1有种可能，余下4人选取2人到社区2有种可能，最后2人只能到社区3，所以所有可能情况有种；把甲乙看成一个整体，则分到3个社区有3种可能，余下4个选取2人到另外两个社区中的一个，有种可能，余下2人只能到最后一个社区，所以甲乙分到同一社区的可能情况有种，所以甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为． 故答案为：． 17．（2026七年级下·安徽·学业考试）某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________． 【答案】 【分析】先列出“乘风”队所有等可能的出场顺序，再找出“乘风”队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可。 【详解】解：“飞云”队出场顺序固定为快、中、慢，设“乘风”队的三种龙舟为快、中、慢，对“乘风”队出场顺序进行排列，共有快中慢、快慢中、慢快中、慢中快、中快慢、中慢快，所有等可能的结果共种， 根据规则，“乘风”队要获得三局两胜，必须满足：“乘风”队慢速舟对“飞云”队快速舟（输一局），“乘风”队快速舟对“飞云”队中速舟（赢一局），“乘风”队中速舟对“飞云”队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，故“乘风”队获胜的概率为． 18．（2023七年级下·广东佛山）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是___________（结果用数值表示）． 【答案】 【分析】本题考查了排列与组合问题的应用、概率的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目要求排列中属性相克的两种物质不相邻，所以当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性，第二位排定后，其他三种属性也确定，进而求出概率． 【详解】解：如下排列，金、土、火、木、水， 当左边的位置排定后（例如：金）， 第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性， 第二位排定后，其他三种属性也确定； 排在第一位的选择有5种， 故一共有：种情况符合题意， 总的情况数为：种， 所以事件出现的概率是：． 故答案为：． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25七年级下·广东深圳·期中）红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 【答案】(1)402 (2)150 (3)顾客选择肯德基餐饮店．理由见解析 【分析】本题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）用800减去四星和三星及三星以下的人数，即可得出m的值； （2）用800乘以三星及三星以下占比，即可求出k的值； （3）根据概率公式先求出三家餐饮店获得良好的用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：402； （2）解：由题意，可得． 故答案为：150； （3）解：顾客选择肯德基餐饮店．理由如下： 从样本看，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 真功夫餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 必胜客餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高， 由此估计，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高． 故答案为：肯德基． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 【答案】(1)随机 (2)3 【分析】本题考查了随机事件的概念、用频率估计概率的方法，掌握随机事件的定义，以及用频率估计概率的步骤是解题的关键． （1）根据必然、随机、不可能事件的定义，结合图中面的内容，判断抽到写有文具的面是否具有不确定性； （2）先计算获得钢笔的频率，用频率估计概率，再结合总面数计算写有钢笔的面数． 【详解】（1）解：∵图②中既有写文具的面，也有写零食、图书的面，随机挑选时，可能抽到文具，也可能抽到其他内容， ∴这是随机事件． （2）解：先计算获得钢笔的频率：试验次数越多，频率越接近概率，取160次试验的数据，频率为． ∵总面数为8，用频率估计概率， ∴写有钢笔的面数为． 22．（25-26七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． (1)列出两次摸球的所有可能结果； (2)求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，根据概率公式计算概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，列出两次摸球的所有可能结果； （2）得出两次摸出的小球上的数字之和为正数的可能结果数，再利用概率公式求解． 【详解】（1）解：两次摸球的所有可能结果有： ，，，，，，，，，，，，，，，， 共16种； （2）解：数字之和为正数的结果有： ，，， 共3种， ∴P(数字之和为正数) ． 23．（25-26七年级下·广东广州·期末）某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先列表列举所有等可能结果，再根据概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：共有35种等可能结果，其中两个社团都未参加的等可能结果有20种， 所以从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率是； （2）解：列表如下： 共有8种等可能结果，其中未被选中但被选中的等可能结果有3种， 所以未被选中但被选中的概率． 24．（23-24七年级下·山东烟台·期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷次，则出现4点朝上的次数正好是次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】(1)； (2)两位同学的说法均错误，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率频数总数”即可求得； （2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误； （3）运用概率的计算公式计算即可 【详解】（1）解： “1点朝上”的频率为； “6点朝上”的频率为； （2）两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷次，则出现4点朝上的次数不一定正好是次； （3）点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种， ． 25．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 26．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 27．（23-24七年级下·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 28．（25-26七年级下·全国·假期作业）A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【答案】（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值 【分析】本题考查的是游戏规则的制定，只要符合石子散落的距离小的方案均可． 根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则． 【详解】解：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积； （2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长； （3）含5点的最小圆半径； （4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者； （5）连接任意两点线段长度中的最小值．（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：概率初步全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 2．（2024·七年级下 甘肃金昌）近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（    ） 区域 A B C D E 人数 A．去区域服务的人数最少 B．去区域服务的人数的频率是 C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务 D．这次抽样调查的样本容量是 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）在一场大型的抽奖活动中，主办方进行了多次抽奖试验．每次抽奖都是在相同的条件下进行，经过大量的抽奖试验后，某一特定奖品被抽中的频率为f，而该特定奖品被抽中的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．抽奖次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．抽奖次数越多，f越接近于P D．当抽奖次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 5．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 6．（25-26七年级下·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 7．（2026·七年级下 河北）如图．有一些只写有数字的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，若摸到数字的概率为，则这些卡片所标数字合理的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 9．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026·七年级下 四川泸州）某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 13．（25-26七年级下·浙江杭州·自主招生）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是_____________________ ． 14．（24-25七年级下·北京·期末）将一个表面涂满红色的正方体的每条棱等分（，n为整数），分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____． 15．（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 16．（24-25七年级下·重庆垫江·期中）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 __________________． 17．（2026七年级下·安徽·学业考试）某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________． 18．（2023七年级下·广东佛山）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是___________（结果用数值表示）． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25七年级下·广东深圳·期中）红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 22．（25-26七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． (1)列出两次摸球的所有可能结果； (2)求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 23．（25-26七年级下·广东广州·期末）某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 24．（23-24七年级下·山东烟台·期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷次，则出现4点朝上的次数正好是次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 25．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 26．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 27．（23-24七年级下·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 28．（25-26七年级下·全国·假期作业）A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 学科网（北京）股份有限公司 $