精品解析：山东临沂第一中学2025-2026学年高二下学期第一次教学检测数学试题

临沂一中高二年级下学期第一次教学检测 数学试题 一、单选题 1. 已知，则n＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. 21 D. 22 4. 将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 300种 5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可使用，则不同的染色方法的总数为（ ） A. 120 B. 260 C. 340 D. 420 6. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，...，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999，428+571=999，285+714=999，...，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 120 7. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解. A. 171 B. 190 C. 342 D. 380 二、多选题 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知函数展开式中二项式系数和为256.则下列说法正确的有（  ） A. B. C. D. 被6整除余数为1 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________(用数字作答). 13. 已知函数在处有极大值，则______. 14. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是______． 杨辉三角 莱布尼茨三角形 第0行 第1行 第2行 第3行  第n行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1  1 … 1 1  第0行 第1行 第2行 第3行  四、解答题 15. 在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， （1）求的值； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）求系数最大的项. 16. 某学习小组有3个男生和4个女生共7人： （1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？ （2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？ （3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？ （4）3个男生自左向右按照由高到矮的顺序排列（不一定相邻，有多少种排法？） （5）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？ 17. 某化学实验室在进行药品整理过程中，发现有6瓶无色无味的溶液标签遗失，但可以确定其中有2瓶溶液A，4瓶溶液.工作人员需要利用试剂逐一对它们进行检测，直到能鉴别出两种溶液，检测停止. （1）求在第一次检测出一瓶溶液的条件下，检测进行4次停止的概率； （2）求检测进行了5次停止的概率； （3）若检测前发现检测试剂只剩下4盒，每盒只能检测1瓶，求检测试剂够用，且至多能余一盒的概率. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 19. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂一中高二年级下学期第一次教学检测 数学试题 一、单选题 1. 已知，则n＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. 【详解】解：，整理得， 解得（舍），． 故选：C． 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的运算法则和复合函数求导的法则，准确运算，即可求解. 【详解】对于A，由 ，所以A错误； 对于B，由，所以B正确； 对于C，由，所以C错误； 对于D，由，所以D错误. 故选：B. 3. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得，，解得，因为，所以， 解得，所以，，所以，所以. 4. 将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】分安排1名同学去A公司实习和安排2名同学去A公司实习，两类情况讨论求解即可. 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可使用，则不同的染色方法的总数为（ ） A. 120 B. 260 C. 340 D. 420 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出用五种，四种，三种颜色涂色的方法数，再求和即可. 【详解】由题设四棱锥为，若用五种颜色，则共有（种）方法； 若用四种颜色，A，C同色，或B，D同色，共有（种）方法； 若用三种颜色，则底面的两组对角顶点必须分别同色（A和C同色，B和D同色），且与顶点P的颜色不同，相当于从5种颜色中选3种对P点、点组、点组进行全排列，方法数为（种）； 综上，不同染色方法共有120+240+60=420（种）． 故选：D 6. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，...，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999，428+571=999，285+714=999，...，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】 观察，将数字分成三组，每组取一个数字可构成符合条件的，由此分析求解即可. 【详解】∵这六个数中，，，，共3组 要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，且，则从每组数字中抽取一个构成，所以共有种情况，的每个数字对应的同组数字按顺序构成对应的，故所有可能的有序实数组的个数也为48. 故选：A 7. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用单调性列出恒成立的不等式即可求解. 【详解】函数，求导得， 由在区间上单调递增，得，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，因此， 所以实数k的取值范围为. 故选：B 8. 已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解. A. 171 B. 190 C. 342 D. 380 【答案】A 【解析】 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 二、多选题 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数的图象，根据导函数值的正负判断函数的单调性，从而得出极值点，逐项判断即可. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 10. 已知函数展开式中二项式系数和为256.则下列说法正确的有（  ） A. B. C. D. 被6整除余数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式系数和为256，可得，再利用赋值方法来求，利用展开式通项公式求得，利用求导数和赋值方法可求得，利用构造二项式的展开式来判断整除和余数. 【详解】由二项式系数和为256，可得：，所以， 由，令得：， 令得：，代入， 可得：，故选项A是正确的； 由展开式公式得：，故选项B是错误的； 由函数求导得：，令得： ，故选项C是正确的； 由， 可知选项D是正确的； 故选：ACD． 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】首先将三项式变形为，再根据讨论如何得到项，即可求解. 【详解】，其中的系数为 中常数项乘以中含项，此时含的系数为， 中含的项乘以中含项，此时含的系数为, 中含的项乘以中含项，此时含的系数为, 中含的项乘以中的常数项，此时含的系数为, 所以展开式中含的系数为. 故答案为： 13. 已知函数在处有极大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可． 【详解】由已知， 可得， 令，解得或， 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 不是极大值点，舍去； 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点． 综上． 故答案为：． 14. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是______． 杨辉三角 莱布尼茨三角形 第0行 第1行 第2行 第3行  第n行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1  1 … 1 1  第0行 第1行 第2行 第3行  【答案】 【解析】 【分析】根据题目可知确定的数是第9行第4个数，即n=9，r=3，代入即可. 【详解】根据题目可知确定的数是第9行第4个数，即n=9，r=3， 代入中，得到 所以“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是 故答案为：. 四、解答题 15. 在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， （1）求的值； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）求系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由展开式中只有第五项的二项式系数最大求解即可. （2）根据二项展开式的通项，由为整数求解即可. （3）利用二项式定理求出通项，设第项的系数的绝对值最大求解即可. 【小问1详解】 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以 【小问2详解】 第项为 若项为有理项，则为整数，则，，，， 所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为 【小问3详解】 因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为， 设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得 又因为第6项的系数，第7项的系数， 所以，第7项的系数最大，. 16. 某学习小组有3个男生和4个女生共7人： （1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？ （2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？ （3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？ （4）3个男生自左向右按照由高到矮的顺序排列（不一定相邻，有多少种排法？） （5）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？ 【答案】（1）144 （2）3720 （3）432 （4）840 （5）480 【解析】 【分析】（1）利用排列中相间问题插空法及分步乘法计数原理即可求解； （2）利用排列中特殊位置与特殊元素优先处理及分类加法计数原理即可求解； （3）利用排列组合中遵循先选后排及分步乘法计数原理即可求解； （4）利用排列组合中定序问题即可求解； （5）利用排列中的相邻问题插空法及分步计数原理即可求解. 【小问1详解】 根据题意，分2步进行分析： ①，将3个男生全排列，有种排法，排好后有4个空位， ②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有种排法， 则一共有种排法； 【小问2详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①，男生甲在最右边，有， ②，男生甲不站最左边也不在最右边，有， 则有720+3000＝3720种排法； 【小问3详解】 根据题意，分2步进行分析： ①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有种选取方法， ②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有种情况， 则有种不同的安排方法 【小问4详解】 根据题意，7个座位连成一排，3个男生自左向右按照由高到矮的顺序排列, 分2步进行分析： ①，将4个女生从7个位置选4个位置排序，有种情况， ②，将3个男生自左向右按照由高到矮安排在剩下3个空位，有1种情况， 所以3个男生自左向右按照由高到矮的顺序排列有种 【小问5详解】 根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位， 分2步进行分析： ①，将4名女生全排列，有种情况，排好后有3个空位， ②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有种情况，则有种排法． 17. 某化学实验室在进行药品整理过程中，发现有6瓶无色无味的溶液标签遗失，但可以确定其中有2瓶溶液A，4瓶溶液.工作人员需要利用试剂逐一对它们进行检测，直到能鉴别出两种溶液，检测停止. （1）求在第一次检测出一瓶溶液的条件下，检测进行4次停止的概率； （2）求检测进行了5次停止的概率； （3）若检测前发现检测试剂只剩下4盒，每盒只能检测1瓶，求检测试剂够用，且至多能余一盒的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）符合题意的4次的排列情况为，借助概率公式与组合数与排列数公式计算即可得； （2）分析题意可得前4次必须有次，次，借助概率公式与组合数与排列数公式计算即可得； （3）分检测试剂用了盒与盒，借助概率公式与组合数与排列数公式计算可得其概率，求和即可得. 【小问1详解】 符合题意的4次的排列情况为， 则， 【小问2详解】 符合题意的5次的排列情况中，前4次必须有次，次， 则； 【小问3详解】 设检测试剂用了盒， 时，前次检测出次，次，第次检测出， 则， 时，要么前次检测出次，次，第次检测出， 要么前次都检测出， 则， 即. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【小问1详解】 当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． 【小问2详解】 因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 19. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 【答案】（1） （2） （3） 由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 【解析】 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【小问1详解】 恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 【小问2详解】 由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $