专题3.7 整式的除法重难点题型专训（2个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦整式的除法核心知识点，系统梳理单项式除以单项式（系数与同底数幂分别相除，单独字母连同指数为商的因式）和多项式除以单项式（每一项除以单项式再相加），构建从基础到综合的学习支架，为整式四则混合运算及科学记数法应用奠定基础。 资料通过即时训练、经典例题（如面积计算、实际问题）、拓展训练及自我检测，培养运算能力与推理意识，结合生活情境（如人均面积计算）发展数学眼光，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题3.7 整式的除法重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 多项式除以单项式 题型三 整式四则混合运算 题型四 用科学记数法表示数的除法 拓展训练一 单项式与多项式除法综合运算 知识点一：单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【即时训练】 1．（2026·七年级下 陕西西安）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算：______； 知识点二：多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·福建漳州·期末）某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）计算：___． 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）数学课上老师布置了4道随堂测验的题，如图是小文的作业本，若每小题2分，根据作业本上的做题情况，小文本次测验的得分为（    ） （1） （2） （3） （4） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 【例2】（25-26七年级下·广东广州·期末）计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 1．（2025·七年级下 陕西西安）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）若，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．9 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算______． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 多项式除以单项式】 【例1】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（       ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这条边上的高为__________． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则____________． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算及化简： (1)计算：． (2)化简： 【经典例题三 整式四则混合运算】 【例1】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·上海嘉定·期中）化简：_______ 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘，加上，除以，最后减去你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 4．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算: (1)； (2)； (3) (4)． 【经典例题四 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·七年级下 广东汕头）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海黄浦·月考）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·七年级下 河南焦作）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山东·期中）计算：____． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【拓展训练一 单项式与多项式除法综合运算】 【例1】（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列各式的计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 1．（25-26七年级下·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知 ，则 的值为__________． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 1．（2023·七年级下 河北张家口）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知 ，则整式M=（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南郑州·月考）小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（    ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 5．（24-25七年级下·重庆大渡口·月考）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两种颜色．第一堆里的黑子和第二堆的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山西朔州·月考）下列算式是小明的作业，那么小明做对的题数为（    ） （1）若，，则；    （2）； （3）；    （4）； （5）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（25-26七年级下·河北邢台·期末）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 8．（23-24七年级下·浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 9．（24-25七年级下·重庆开州·月考）对于正整数a、b定义一种新运算如下：等于由a开始的连续b个正整数的和，比如：，，．给出如下结论：①；②对任意正整数n，的运算结果一定是3的倍数；③对任意正整数n，；④对任意正整数m，n，代数式的值都大于1．在上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的次多项式（为正整数，），若满足，则多项式称为“对称系数多项式”．例如：、，若为“对称系数多项式”，则下列说法：①若，则当时，多项式的值为，②若，则存在一个“对称系数多项式”，使得；③若次多项式（为偶数），满足是“对称系数多项式”，则，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 12．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）小红从家骑车上学，当她以4米/秒的速度骑完前一半路程时发现时间紧张，为了不迟到，她改用6米/秒的速度骑完后一半路程，则小红从家到学校的平均速度是______． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为________ 14．（22-23七年级下·山东青岛·月考）一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 15．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则___．    16．（25-26七年级下·全国·课后作业）最小刻度为（）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺． (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：）． (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的多少倍？ 17．（25-26七年级下·山东青岛·月考）先化简后求值： (1)，其中． (2)，其中，． 18．（23-24七年级下·四川达州·期中）按要求解答下列各题： (1)对于任意自然数n，代数式的值都能被4整除吗？请说明理由． (2)小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为乘以，结果是，那么你能知道正确的结果是多少吗？ 19．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 20．（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算： (1) (2)（运用乘法公式） (3) (4) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 整式的除法重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 多项式除以单项式 题型三 整式四则混合运算 题型四 用科学记数法表示数的除法 拓展训练一 单项式与多项式除法综合运算 知识点一：单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【即时训练】 1．（2026·七年级下 陕西西安）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算：______； 【答案】 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 知识点二：多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·福建漳州·期末）某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据“份数总花费单价”，用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵总花费为元，每份奖品的价格是元， ∴购买的奖品的份数为： ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）计算：___． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可求解. 【详解】解：原式 ； 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）数学课上老师布置了4道随堂测验的题，如图是小文的作业本，若每小题2分，根据作业本上的做题情况，小文本次测验的得分为（    ） （1） （2） （3） （4） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算、幂的乘方运算、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、零指数幂运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据积的乘方运算、幂的乘方运算、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、零指数幂运算法则求解即可． 【详解】解：（1），正确； （2），原式计算错误； （3），正确； （4），正确． ∴小文本次测验的得分为（分）． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·广东广州·期末）计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）运用单项式除以单项式计算法则，系数和同底数幂分别相除； （2）运用单项式除以单项式计算法则，系数相除时转化为乘法，同底数幂相减； （3）运用有理数的乘除法则、同底数幂的除法运算法则和科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：，，． 1．（2025·七年级下 陕西西安）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘法和除法、整式加减的应用，设长方形的B的长为，则宽为，进一步表示出长方形A的长和宽，即可求出答案． 【详解】解：设长方形的B的长为，则宽为， 由B、D的面积相等可得D的较短边长为，较长边为， ∴长方形A的较长边为， 由A、B面积相等可知长方形A较短边 ， ∴长方形A的长宽之比为． 故选：D 2．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）若，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法法则化简所求式子，再整体代入已知条件计算即可. 【详解】解： ，且 代入得 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算______． 【答案】 【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式运算法则分别计算再合并，即可得到答案． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）根据幂的混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （4）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题二 多项式除以单项式】 【例1】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形面积公式，邻边长面积已知边长，利用多项式除以单项式的法则计算即可得到结果． 【详解】解：长方形面积=相邻两边长的乘积，已知面积为，一边长为， 邻边长为： ． 【例2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这条边上的高为__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积公式和多项式除以单项式的运算，根据三角形面积公式推导出所求高的表达式，再根据整式运算法则化简即可得到结果． 【详解】解：设这条边上的高为， 根据三角形面积公式，可得： 整理得： ． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则____________． 【答案】54 【分析】本题考查了多项式除以单项式，化简求值，正确的计算，利用整体思想进行求值是解题的关键． 将多项式除以后，得到，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：原式 由 ，得 ，， ∴原式 ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算及化简： (1)计算：． (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂、最后算加减即可； （2）先算括号内的乘法、合并同类项，最后算整式除法即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【经典例题三 整式四则混合运算】 【例1】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．由题意得到，代入各项的左边分别计算，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ， 故A选项错误， ， 故B选项正确； ， 故C选项错误， ， 故D选项错误， 故选：B 【例2】（23-24七年级下·上海嘉定·期中）化简：_______ 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算乘法，在合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘，加上，除以，最后减去你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值是解题的关键； 根据题意，设这个数为，列式子求解即可； 【详解】解：设这个数为， ； 故选：B 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 【答案】100 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算得100． 【详解】根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． 故答案为：100． 4．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算: (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) 【分析】（1）根据积的乘方，以及单项式乘单项式的运算法则计算，即可解题； （2）根据零指数幂，绝对值性质，负整数指数幂化简各项，再进行加减计算，即可解题； （3）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并即可； （4）利用平方差公式，以及完全平方公式进行计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方，整式的混合运算，零指数幂，绝对值性质，负整数指数幂，平方差公式，以及完全平方公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 【经典例题四 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·七年级下 广东汕头）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【例2】（25-26七年级下·上海黄浦·月考）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 2．（2023·七年级下 河南焦作）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解． 【详解】解：1纳米米， 1立方米立方纳米， 的空间可以放个的物体， 故选：D． 【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化． 3．（22-23七年级下·山东·期中）计算：____． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【拓展训练一 单项式与多项式除法综合运算】 【例1】（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列各式的计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别利用平方差公式、完全平方公式、单项式除法、多项式除法法则计算各选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、，结果与选项不等，故错误； B、，结果与选项一致，故正确； C、，结果与选项不等，故错误； D、，结果与选项不等，故错误． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、幂的乘方逆用、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式除以单项式，然后计算幂的乘方的逆用，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式的计算，根据单项式除以单项式、积的乘方，多项式除以单项式法则分别计算即可判断． 【详解】解：A.，故原选项错误； B.，故原选项错误； C.，故原选项正确； D.，故原选项错误； 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握整式的乘除法运算法则是解题的关键，计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式． 先通过整式的除法求出，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知 ，则 的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1； (3) (4) 【分析】（1）根据解答即可； （2）构造平方差公式，解答即可． （3）构造平方差公式，解答即可． （4）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂乘法，单项式除以单项式解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，绝对值，熟练掌握公式地解题的关键． 1．（2023·七年级下 河北张家口）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵预算花费约为元，实际花费约为元， ∴预算花费约是实际花费的倍数是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知 ，则整式M=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查单项式的乘除法运算，根据题意得出，求解即可 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 3．（24-25七年级下·河南郑州·月考）小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘除法的运算，理解整式乘除法的运算法则是解答关键． 根据整式乘除法的运算列出算式得到即可求解． 【详解】解：根据题意得 ， ， ， ． 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（    ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 【答案】B 【分析】按照程序逐步对式子进行运算，再判断结果是否随变化． 【详解】解：根据程序，先计算，再除以，最后减． 首先计算，根据整式混合运算法则， 先算括号里的，，所以括号里为：． 然后除以，即：． 再减，得到． 所以无论（为非零实数）取何值，结果都是，不随的变化而变化． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握整式混合运算的顺序和法则，准确计算出结果． 5．（24-25七年级下·重庆大渡口·月考）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两种颜色．第一堆里的黑子和第二堆的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示数，解题的关键是善于找到黑白棋子数的等量关系． 【详解】解：设第一堆里的黑子数为a，白子数为b，又设黑子总数为x，则第三堆里的黑子数为．由于第一堆里的黑子和第二堆的白子一样多，且每堆棋子数一样多， ∴第一、第二堆里的黑子数总和为，即， ∴第三堆里的白子数为：． 所有白子总数为： ∴白子占全部棋子的： 故选：A． 6．（23-24七年级下·山西朔州·月考）下列算式是小明的作业，那么小明做对的题数为（    ） （1）若，，则；    （2）； （3）；    （4）； （5）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算问题，分别利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方法则、多项式的除法、乘法法则计算各式进行判断即可． 【详解】（1）若，，则； 小明计算正确； （2）；小明计算正确； （3）；小明计算错误； （4）；小明计算错误； （5）．小明计算错误； 故正确的有2个 故答案为：A． 7．（25-26七年级下·河北邢台·期末）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，多项式的除法．逐一检查每道题，第一题指数运算错误，第二题科学记数法计算错误，第三题和第四题正确． 【详解】解：∵① ，∴错误； ∵② ，∴错误； ∵③ ，，，∴正确； ∵④ 宽 = ，∴正确； ∴共做对2道题． 故选：C． 8．（23-24七年级下·浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键． 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可． 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 9．（24-25七年级下·重庆开州·月考）对于正整数a、b定义一种新运算如下：等于由a开始的连续b个正整数的和，比如：，，．给出如下结论：①；②对任意正整数n，的运算结果一定是3的倍数；③对任意正整数n，；④对任意正整数m，n，代数式的值都大于1．在上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了整式的混合运算．根据新定义的运算逐项进行计算即可解答． 【详解】解：①由题意可得，， ∴ 故①正确； ∵， ∴对任意正整数n，的运算结果一定是3的倍数； 故②正确； ∵ ， 故③正确； ④∵ ∵ ∵m是正整数， ∴， ∴， ∴对任意正整数m，n，代数式的值都小于1． 故④错误； 综上可知正确的是①②③， 故选：C 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的次多项式（为正整数，），若满足，则多项式称为“对称系数多项式”．例如：、，若为“对称系数多项式”，则下列说法：①若，则当时，多项式的值为，②若，则存在一个“对称系数多项式”，使得；③若次多项式（为偶数），满足是“对称系数多项式”，则，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，求代数式的值，若，根据“对称系数多项式”的定义得，，则，然后将代入进行计算即可判断①；设为次“对称系数多项式”，则，代入得，即可判断②；设，其中为次“对称系数多项式”，设，且，则 ，根据（为偶数），然后计算，， ，可判断③．正确理解“对称系数多项式”的定义是解题的关键． 【详解】解：若，则， ∵多项式称为“对称系数多项式”， ∴，， ∴， 当时， ，故说法①正确； 设为次“对称系数多项式”，则， ∴ ， ∵， ∴，，， ∴多项式是次“对称系数多项式”， ∴若，则存在一个“对称系数多项式”，使得，故说法②正确； 设，其中为次“对称系数多项式”， 设，且， ∴ ， ∵（为偶数）， 又∵，， ， 即，故说法③正确； ∴正确的个数是． 故选：D． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 12．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）小红从家骑车上学，当她以4米/秒的速度骑完前一半路程时发现时间紧张，为了不迟到，她改用6米/秒的速度骑完后一半路程，则小红从家到学校的平均速度是______． 【答案】米/秒 【分析】本题主要考查了列代数式、行程问题等知识点，明确路程、速度、时间的关系是解题的关键． 设全程的路程为米，则前一半路程用时，后一半路程用时，总用时为，然后根据路程、速度、时间的关系列式计算即可． 【详解】解：设全程的路程为米，则前一半路程用时，后一半路程用时，总用时为， 所以，小红从家到学校的平均速度是（米/秒）． 故答案为：米/秒． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为________ 【答案】54 【分析】本题考查了多项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式除以单项式可得原式等于，再利用幂的乘方与积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：54． 14．（22-23七年级下·山东青岛·月考）一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 15．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则___．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）最小刻度为（）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺． (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：）． (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的多少倍？ 【答案】(1) (2)最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的倍 【分析】本题考查了科学记数法及用科学记数法表示数的除法的应用； （1）由科学记数表示绝对值小于的方法进行表示，即可求解； （2）由题可得，进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以， 所以最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的倍． 17．（25-26七年级下·山东青岛·月考）先化简后求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1) (2)；9 【详解】（1）解：原式， 当时，原式； （2）解：原式 ． 当时，原式． 18．（23-24七年级下·四川达州·期中）按要求解答下列各题： (1)对于任意自然数n，代数式的值都能被4整除吗？请说明理由． (2)小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为乘以，结果是，那么你能知道正确的结果是多少吗？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则和多项式乘以多项式法则计算乘法，再合并求解即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可； 【详解】（1）解：能被4整除，理由如下： ， ∵任意自然数n， ∴能被4整除， ∴原式能被4整除； （2）解：依题意得，原多项式为：， 正确结果为：． 19．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)图阴影部分面积为，图阴影部分面积为； (3)图中的阴影部分的面积是． 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，掌握数形结合的思想，是解题的关键； （1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据图形列出表示面积的代数式即可； （3）根据，，求出，然后代入化简后的阴影部分的面积表达式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵两个正方形，，边长分别为，， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴图2阴影部分面积为：； 图3阴影部分面积为：． 答：图2阴影部分面积为，图3阴影部分面积为． （3）解：根据题意得： ，， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图4阴影部分面积为： ， ． 答：图4中的阴影部分的面积是． 20．（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算： (1) (2)（运用乘法公式） (3) (4) 【答案】(1)9 (2)9 (3) (4) 【分析】（1）根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，乘方的意义等计算即可； （2）把变形为，然后根据平方差公式计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则、合并同类项法则等计算即可； （4）根据平方差公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则等计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $