专题3.1 整式的乘除（8大知识点5大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 整式的乘除（8大知识点5大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】幂的运算性质 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加.即： ； （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘.即：； （3）积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘. （4）同底数幂相除：底数不变，指数相减. 【要点说明】以上公式的都可以逆用. 常见的错误：，，，，. 【知识点2】单项式乘以单项式 单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 【知识点3】单项式乘以多项式 单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 【知识点4】多项式乘以多项式 多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 【知识点5】平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：由公式特点：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 【知识点6】完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误： 【知识点7】单项式除以单项式 单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 【知识点8】多项式除以单项式 多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 考点与题型目录 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】幂的运算...........................................................2 【题型2】幂的逆运算.........................................................3 【题型3】幂的运算化简求值...................................................3 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算.....................................................3 【题型5】整式乘法化简求值...................................................4 【题型6】整式乘法中的几何问题...............................................4 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算...............................................5 【题型8】乘法公式运算化简求值...............................................5 【题型9】乘法公式中的几何问题...............................................5 【考点四】整式的除法 【题型10】整式除法运算......................................................7 【题型11】整式除法化简求值..................................................7 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型12】直通中考..........................................................7 【题型13】拓展延伸..........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】幂的运算 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算 （1）； （2）． 【变式1】（24-25九年级上·广东惠州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习） ， ， ． 【题型2】幂的逆运算 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，，则，，的大小关系是 ． 【题型3】幂的运算化简求值 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）化简求值：，其中，． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 【变式2】（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，，，且的值与无关，则 ． 【题型5】整式乘法化简求值 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 【题型6】整式乘法中的几何问题 【例6】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当，时，求这个盒子底面的面积． 【变式1】（22-23七年级下·湖南常德·期中）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知，，则 ． 【题型8】乘法公式运算化简求值 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东日照·期末）已知，则的值为 ． 【题型9】乘法公式中的几何问题 【例9】（24-25八年级上·山东临沂·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，李明用如图1的长方形纸片，它是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请观察图形，解答下列问题： （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：______；方法2：______； （2）观察图2，请你写出三个代数式：，，之间的关系______； （3）结合以上信息，灵活运用公式，已知，，求下列各式的值： ①； ②． 【变式1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式： ；根据图2，可以得到两数差的平方公式： ． 【考点四】整式的除法 【题型10】整式除法运算 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习） （1）计算：． （2）计算：． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【题型11】整式除法化简求值 【例11】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值． （2）已知，求整式的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：；其中、满足． 【链接中考与拓展延伸】 【题型12】链接中考 【例1】（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【例2】（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； （2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） （3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 整式的乘除（8大知识点5大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】幂的运算性质 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加.即： ； （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘.即：； （3）积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘. （4）同底数幂相除：底数不变，指数相减. 【要点说明】以上公式的都可以逆用. 常见的错误：，，，，. 【知识点2】单项式乘以单项式 单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 【知识点3】单项式乘以多项式 单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 【知识点4】多项式乘以多项式 多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 【知识点5】平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：由公式特点：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 【知识点6】完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误： 【知识点7】单项式除以单项式 单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 【知识点8】多项式除以单项式 多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 考点与题型目录 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】幂的运算...........................................................2 【题型2】幂的逆运算.........................................................4 【题型3】幂的运算化简求值...................................................6 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算.....................................................7 【题型5】整式乘法化简求值...................................................9 【题型6】整式乘法中的几何问题..............................................10 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算..............................................12 【题型8】乘法公式运算化简求值..............................................14 【题型9】乘法公式中的几何问题..............................................15 【考点四】整式的除法 【题型10】整式除法运算.....................................................18 【题型11】整式除法化简求值.................................................20 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型12】直通中考.........................................................22 【题型13】拓展延伸.........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】幂的运算 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25九年级上·广东惠州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断． 解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，正确，故此选项符合题意， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习） ， ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，熟练掌握关运算法则是解决此题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则计算即可得解． 解： ， ， ， 故答案为：，，． 【题型2】幂的逆运算 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方逆用，同底数幂相除，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘，积的乘方逆用，同底数幂相除，幂的乘方逆用运算法则逐项判断即可． 解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式． 根据幂的乘方的逆运算变形得到，，进而比较求解即可． 解：∵，，， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【题型3】幂的运算化简求值 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 运用整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 解： , 当，时， 原式 ． 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）化简求值：，其中，． 【答案】，3． 【分析】根据幂的乘方，同底数幂相除等运算对式子进行化简，然后代数求值即可． 解： 将，代入得，原式 【点拨】此题考查了整式的有关计算，涉及了幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及其逆运算，有理数的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则和其逆用是解题的关键．先利用同底数幂的乘法法则得出，求出的值，再利用同底数幂的乘法的逆运算得出，再利用乘法分配律的逆运算得出，即可得． 解：∵， ∴， 即， ∴， ． ∴ ． 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． （1）先单项式乘单项式、单项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可； （2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 【答案】C 【分析】先按照整式乘法法则运算可得，再加括号可得，最后将整体代入即可解答． 解：， ， ， ． 故选C． 【点拨】本题主要考查了代数式求值、整式的乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式运算中的无关型问题，根据题意，列出算式，化简后，根据值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 解： ； ∵的值与无关， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型5】整式乘法化简求值 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘以多项式，根据已知可得，，代入代数式，即可求解． 解：∵，则 ∴，则 即， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型6】整式乘法中的几何问题 【例6】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当，时，求这个盒子底面的面积． 【答案】（1）；（2）63 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减运算，代数式求值，正确化简计算是解题的关键． （1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长2倍的正方形的边长，这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案； （2）把，代入求值即可 解：（1）解：盒子底面的面积为： （2）解：当，时，盒子底面的面积为：． 【变式1】（22-23七年级下·湖南常德·期中）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形，解题的关键是根据图形得到几何图形的面积．根据图形可直接进行求解后作出判断． 解：由图可得： 阴影部分的面积为或或； ∴不能正确表示阴影部分的面积的是C选项； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，正确理解题意并列出代数式化简是解题的关键．根据题意列出代数式，再根据整式的运算法则化简，即得答案． 解： 剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为． 故答案为：． 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算变形，再运用平方差公式以及完全平方公式． （2）运用平方差公式解决此题． （3）运用平方差公式以及完全平方公式化简，然后即可求解． （4）先变形，再运用平方差公式，最后运用完全平方公式并化简． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，同底数幂相乘，同底数幂相除的法则，熟悉相关性质是解题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式，同底数幂相乘，同底数幂相除的法则进行运算，然后再判断即可． 解：A. ，故原答案错误； B. ，故原答案错误； C. ，故原答案错误； D. ，故正确； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知，，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 解：∵，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：19． 【题型8】乘法公式运算化简求值 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把代入得出答案． （2）直接利用完全平方公式和平方差公式计算，进而合并同类项，把代入得出答案． 解：（1）解：原式． 当，即时，原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式 ． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律：先计算，然后再计算所给式子即可得到答案． 解：∵， ∴原式． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东日照·期末）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 【题型9】乘法公式中的几何问题 【例9】（24-25八年级上·山东临沂·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，李明用如图1的长方形纸片，它是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请观察图形，解答下列问题： （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：______；方法2：______； （2）观察图2，请你写出三个代数式：，，之间的关系______； （3）结合以上信息，灵活运用公式，已知，，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1），；（2）；（3）①9；② 【分析】（1）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （2）由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）①由（2）的结论代入计算即可； ②先整理得，再把，分别代入进行计算，即可作答． 本题考查已知式子的值求代数式的值，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键 解：（1）解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即； 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ②∵，，， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式在几何图形中的应用，分别用代数式分别表示“大正方形”，中间“小正方形”以及个长方形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 解：整体上“大正方形”的边长为，因此面积为，中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， 所以有， 即 ， 故选：B． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式： ；根据图2，可以得到两数差的平方公式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景问题，在图1中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得，在图2中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得， 熟练掌握其性质并能通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解决此题的关键． 解：图1中大正方形的面积为， 也可以由一个边长为的小正方形，一个边长为的小正方形和两个长为a，宽为b的长方形的面积的和得到 ∴ 图2中左上角的正方形的面积为， 也可以由一个边长为的大正方形，一个边长为的小正方形，减去两个长为m，宽为n的长方形的面积得到， ∴， 故答案为：，． 【考点四】整式的除法 【题型10】整式除法运算 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习） （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的除法、积的乘方以及整式的加减运算法则，本题属于基础题型． （1）根据整式的除法、积的乘方以及整式的加减运算法则即可求出答案． （2）直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则化简得出答案． 解：（1） ． （2）解：原式 ． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握整式的乘除法运算法则是解题的关键，计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式． 先通过整式的除法求出，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得． 解：∵， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式的法则，进行计算即可． 解：原式 ； 故答案为：． 【题型11】整式除法化简求值 【例11】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值． （2）已知，求整式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键； （1）首先幂的乘方与积的乘方进行计算，将化简为，最后代入求得答案即可 （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后将整体代入，即可求解． 解：（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的除法、积的乘方和代数式求值等知识，熟练掌握单项式的除法法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和单项式的除法法则求出m，n的值，即可求出的值． 解：左边 ， ， ， ，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：；其中、满足． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，因式分解的应用；先根据整式的混合运算法则将所求整式化简，再根据因式分解，根据偶次幂的非负性求出a、b，代入即可作答． 解： ， ∵，即 ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 当，，时 原式， 【链接中考与拓展延伸】 【题型12】链接中考 【例1】（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解： ， 当，时， 原式． 【例2】（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； （2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） （3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①，②，④，③；（2）证明见分析；（3）①2 ②结论仍成立，理由见分析 【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明； （3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可． 解：（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形， 设， ∴，，，， ∴， ， ∴； 故答案为：2； ②成立，证明如下： 由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， 设，， ∴，，，， ∴， ， ∴仍成立． 【点拨】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 解：由知， 即， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$