专题3.2 单项式的乘法重难点题型专训（1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦整式的乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式（系数、同底数幂分别相乘，单独字母连同指数为积的因式）和单项式乘多项式（单项式乘每一项再相加）的法则，为后续多项式乘多项式学习搭建基础支架。 资料通过5大题型（计算、求值、几何应用等）及拓展训练，结合经典例题与自我检测，培养学生运算能力（数学思维）和应用意识（数学语言），如利用单项式乘法解决阴影面积问题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题3.2 单项式的乘法重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 拓展训练一 单项式求值问题综合计算 知识点一：整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 【答案】A 【分析】该题考查了单项式乘法，根据单项式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意小沈这一步做法的依据是“乘法的交换律和结合律”， 故选：A． 2．（25-26七年级下·福建漳州·月考）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期末）计算：（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了积的乘方和单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意积的乘方指数是相乘． 【例2】（2025七年级下·广西崇左·专题练习）_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 【答案】 【分析】按照题意列式，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可； （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， ． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 【例2】（25-26七年级下·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 1．（2026·七年级下河北石家庄）计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山东青岛·月考）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（2026·七年级下 辽宁抚顺）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需根据同类项定义，单项式乘多项式，单项式乘单项式，幂的乘方的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴D正确． 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 3．（25-26七年级下·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·浙江金华·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式与单项式乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简待求式的第一个运算项，再按照新运算规则代入展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 【例2】（25-26七年级下·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：因为 所以， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 4．（2023·七年级下 江苏无锡）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 【拓展训练一 单项式求值问题综合计算】 【例1】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 1．（2024·七年级下 贵州安顺）定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南周口·月考）若单项式和的积为，则ab的算术平方根为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，和同底数幂的乘法法则，求出，再进行计算即可． 【详解】解：， ∴，解得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查单项式乘单项式，以及求一个数的算术平方根．熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 4．（23-24七年级下·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘法运算法则计算各选项即可得到正确结果. 【详解】解：A、∵，∴A错误； B、∵，∴B错误； C、∵，∴C错误； D、∵，∴D正确． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（    ） A． B．对任意有理数m，n，有 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据新运算，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，，则当时，，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，，无法得到，故本选项错误，不符合题意； D、当时，，，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 4．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键． 根据题意列出算式， 求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 9．（25-26七年级下·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 11．（25-26七年级下·北京·开学考试）若，则___________. 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 【详解】解：根据规律可得 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买____元的防水材料． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 【详解】解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， 厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， 每平方米的防水材料a元， 至少需要购买材料费用为：元． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）一个圆会把平面分成两部分（即圆内部分和圆外部分），2个圆最多能把平面分成4个部分，3个圆最多能把平面分成8个部分，4个圆最多能把平面分成14个部分，则6个圆最多能把平面分成_________个部分． 【答案】32 【分析】此题考查的是图形类规律问题，整式乘法运算的应用，根据规律总结公式是解决此题的关键． 根据题意，探索出圆的个数与分成的平面个数的关系，从而得出结论． 【详解】1个圆会把平面分成两部分（即圆内部分和圆外部分）， 2个圆最多能把平面分成4个部分， 3个圆最多能把平面分成8个部分； ∵新增的一个圆与个圆的每一个有2个交点 ∴共有个交点 ∵新增区域和交点的个数相同 ∴新增的圆分成部分 ∴n个圆最多分平面为： ∴6个圆最多能把平面分成个部分． 故答案为：32． 16．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)， (2)，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则对和分别展开，再将上述展开式代入原式，合并同类项后得到化简结果，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式法则对和分别展开，再将上述展开式代入原式，合并同类项后得到化简结果，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式． （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 18．（23-24七年级下·重庆北碚·开学考试）对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 【答案】（1）246是等差数；777是等差数；（2）有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975；理由见解析 【分析】（1）根据新定义“等差数”的定义判断即可； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，则a+c=2b，所以a+b+c=3b为3的倍数，进而得出则能被5整除，从而确定个位数c=0或5，然后分类讨论即可得出结果． 【详解】解：（1）∵2+6=2×4， ∴246是等差数； ∵7+7=2×7， ∴777是等差数； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为， 则a+c=2b， ∴a+b+c=3b为3的倍数，要使能被15整除， 则能被5整除，即c=0或5， 当c=0时，a=2b，则=210，420，630，840； 当c=5时，a+5=2b， ∴， ，，，， ∴综上所述，能被15整除的等差数有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975． 【点睛】本题主要考查了对整除的理解，理清新定义“等差数”是解答本题的关键． 19．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 20．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 单项式的乘法重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 拓展训练一 单项式求值问题综合计算 知识点一：整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 2．（25-26七年级下·福建漳州·月考）计算：___________． 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期末）计算：（  ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·广西崇左·专题练习）_______． 1．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 1．（2026·七年级下河北石家庄）计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 4．（23-24七年级下·山东青岛·月考）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（2026·七年级下 辽宁抚顺）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期末）计算：__________． 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期末）若，则的值是________． 4．（25-26七年级下·浙江金华·月考）计算： (1) (2) 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则____________． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 4．（2023·七年级下 江苏无锡）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【拓展训练一 单项式求值问题综合计算】 【例1】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【例2】（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则________． 1．（2024·七年级下 贵州安顺）定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南周口·月考）若单项式和的积为，则ab的算术平方根为（    ） A． B． C．5 D．10 3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 4．（23-24七年级下·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（    ） A． B．对任意有理数m，n，有 C．当时， D．当时， 4．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 9．（25-26七年级下·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 11．（25-26七年级下·北京·开学考试）若，则___________. 12．（25-26七年级下·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 13．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买____元的防水材料． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）一个圆会把平面分成两部分（即圆内部分和圆外部分），2个圆最多能把平面分成4个部分，3个圆最多能把平面分成8个部分，4个圆最多能把平面分成14个部分，则6个圆最多能把平面分成_________个部分． 16．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 17．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中， 18．（23-24七年级下·重庆北碚·开学考试）对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 19．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 20．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $