专题3.1 同底数幂的乘法重难点题型专训（3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“同底数幂的乘法”核心专题，系统梳理同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方3个基础知识点，构建从基本运算到逆用再到综合拓展的学习支架，形成完整知识脉络。 资料以7大题型分层训练结合2大拓展综合题，通过科学记数法应用等实例培养抽象能力与应用意识，逆用题型强化推理思维，即时训练与自我检测助力课中教学效率提升及课后查漏补缺，落实数学核心素养。

专题3.1 同底数幂的乘法重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 同底数幂相乘 题型二 用科学记数法表示数的乘法 题型三 同底数幂乘法的逆用 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 拓展训练一 幂的基本运算综合题 拓展训练二 幂的运算逆用综合题 知识点一：同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 【即时训练】 1．（2026·七年级下 江苏无锡）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将拆分为，代入已知幂的形式，对比指数即可得到等量关系． 【详解】解：， ， 可得， 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加， 得， 知识点二：幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴， ∴． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：______． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 知识点三：积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即时训练】 1．（2026·七年级下 广东珠海）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·上海闵行·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，应用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山东·课后作业）计算：_________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：． 1．（24-25七年级下·山东泰安·月考）下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即（都是正整数）；符号的变化规则是“奇负偶正”，即可求出结果． 【详解】解：A. ，该选项不符合题意     B. ，该选项不符合题意． C. ，该选项不符合题意 D. ，该选项符合题意 2．（2026·七年级下 安徽）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的乘法运算，利用同底数幂相等则指数相等的性质化简等式，即可得到与的关系. 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，进行求解即可． 【详解】解：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （4）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【经典例题二 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将倍数“1000万亿”转化为科学记数形式，再结合太阳质量计算星系团质量即可． 【详解】解：∵万亿，太阳质量约为， ∴该星系团质量为． 【例2】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 1．（2025·七年级下 河北）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·山东济宁·月考）天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 【经典例题三 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则__． 【答案】12 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，将变形为已知幂的乘积，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 2．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（为大于1的整数）的结果是________． 【答案】0 【分析】此题考查了同底数幂的乘法逆运算法则，利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，掌握运算法则是解题关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，题中出现，可以逆用法则得：，再结合题目中数据运算即可． 【详解】解：， ， ． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，把看作一个整体，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】（2026七年级下·江苏·专题练习）______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关公式是解题的关键． 根据指数运算规则，分别计算每个部分的符号和指数，然后相乘． 【详解】解：原式． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将都转化为底数为3的幂，利用幂的乘方法则化简得到各自的指数，再根据底数大于1时，指数越大，幂越大，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，且 ∴ 即． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，则__________． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方法则把原式变为，得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例1】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数变形的思维，根据已知条件进行变形，构造相同的底数关系建立方程，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴,即, ,即 ∴, 即 ∴． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查了幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键，根据计算即可． 【详解】解：因为， 所以原式． 故答案为：2． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）方程，，则（    ） A．1 B．0 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得：，，进而可得，，求出，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵，，即：，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为：，是解决问题的关键． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（　　） A．mn2 B．m2n C． D．m2n2 【答案】D 【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】∵， ∴． ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方的相关法则． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知，，则____________________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是根据已知条件，得到，再根据幂的运算，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法． （1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题六 积的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能正确根据幂的乘方和积的乘方法则进行化简是解此题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方进行化简，再判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故符合题意； 选项D：，故不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期末）________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（2025·七年级下 吉林）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，将变形为，化简计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）若，那么下列哪种情形一定符合要求（    ） A．m为奇数 B．m为偶数且 C．m为奇数且 D．为偶数 【答案】B 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方和同底数幂的乘法计算，再根据任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解： 当m为奇数时，为奇数，，的符号与的符号一致，由，可得，即，故排除A、C选项； 当m为偶数时，为偶数，，，，可得，故排除D选项，B选项一定符合要求， 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 【答案】/四 【分析】本题考查了本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是正确推理计算．首先将表达式分解质因数，然后找出中能整除的整数即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故 ； ∵且为整数， 故的值可以为、、、、、、、； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； 综上，符合条件的为、、、，共个． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方，解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将化简得，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选B 【例2】（25-26七年级下·辽宁盘锦·月考）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算直接计算即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·湖南·期末）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，再逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则简便计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（25-26七年级下·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，涉及逆用同底数幂的乘法运算法则、逆用积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握计算公式． 利用指数运算法则，将原式化为相同指数后合并计算． 【详解】解： 故选：D． 3．（25-26七年级下·浙江台州·月考）计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 4．（25-26七年级下·四川达州·月考）已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及其逆用、积的乘方的逆用、幂的乘方运算法则，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练一 幂的基本运算综合题】 【例1】（25-26七年级下·河南平顶山·月考）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，得到与的关系式． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， 又，可得左边； ∵右边为个相乘，可得右边， ∵， ∴． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为______________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键；将等式两边化简后对照即可得出结论． 【详解】解：， 整理得：， ∴， 即：． 故答案为：． 1．（2026·七年级下 甘肃白银）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则____________，____________． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 4．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【拓展训练二 幂的运算逆用综合题】 【例1】（25-26七年级下·广东揭阳·月考）已知 ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】运用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）计算：______． 【答案】 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】将变形为，根据即可判断甲；根据即可判断乙；根据，，即可判断丙． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； ∵， ， 又∵， ∴， 即，故丙正确； 综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，和同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，准确计算． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）________． 【答案】 2 【分析】将拆分为，再结合积的乘方法则计算. 【详解】解： ． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·北京·月考）2026年我国深空探测领域再获突破，我国某深空探测器奔赴小行星带开展探测，该探测器飞行速度约为米/秒，连续飞行秒，将该飞行器飞行的距离（单位：米）用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程速度时间求出总飞行距离，再整理为标准形式的科学记数法即可得到结果． 【详解】解： 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则与幂的乘方法则，将原式中所有的底全部化为以2为底的幂是解决本题的关键． 将方程中的4和8均转化为以2为底的幂，利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将方程两边化为同底后比较指数求解． 【详解】解：原方程：， 将4和8分别表示为2的幂：， 代入方程得：， 应用幂的乘方法则：， 即， ∴， 即 解得：． 故选：C． 3．（2025·七年级下 河北沧州）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则，进行计算，判断即可． 【详解】解：，，，； 故不同的式子是； 故选D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方．根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选：D． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）下列命题中正确的有（    ） ①为奇数时，一定有等式； ②无论为何值，等式都成立； ③三个等式，，都成立； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据乘方、幂的乘方、积的乘方等知识逐个判断即可解答． 【详解】解：①当为奇数时，一定有等式，故①正确； ②当为奇数时，等式成立，故②错误； ③，，都成立，故③正确； ④若，，由则，即，解得，故④错误． 正确的共有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了乘方、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 6．（2025·七年级下 河南新乡）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法的意义，乘方的意义，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用乘法的意义，乘方的意义以及幂的乘方等运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，以及积的乘方，根据法则进行计算即可； 【详解】解：原式= 故原式可以被5，7，9整除． 故选：D ． 8．（25-26七年级下·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 9．（24-25七年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10．（2025·七年级下 四川泸州）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】等式左边根据合并同类项法则计算，右边根据同底数幂的乘法法则计算，即可得出，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，则值为_________． 【答案】9 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法； 将9和27化为以3为底数的指数形式，利用指数运算法则计算，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 13．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【详解】解：． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 16．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解： ． 17．（25-26七年级下·江西南昌·月考）计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法得到，然后比较求解即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ∴ 解得； （2）解： ∴． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）用两种方法比较若，的大小； （2）结合（1）的经验，解决问题：已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算法则将变形为，再进行比较即可； （2）运用积的乘方把变形为，再供稿计算即可． 【详解】解：（1）， ∵底数，， ∴，即． （2）． 19．（24-25七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 同底数幂的乘法重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 同底数幂相乘 题型二 用科学记数法表示数的乘法 题型三 同底数幂乘法的逆用 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 拓展训练一 幂的基本运算综合题 拓展训练二 幂的运算逆用综合题 知识点一：同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 【即时训练】 1．（2026·七年级下 江苏无锡）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 2．（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 知识点二：幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：______． 知识点三：积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即时训练】 1．（2026·七年级下 广东珠海）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海闵行·期末）计算：_____． 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东·课后作业）计算：_________． 1．（24-25七年级下·山东泰安·月考）下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级下 安徽）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）计算：______（用科学记数法表示）． 1．（2025·七年级下 河北）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东济宁·月考）天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【经典例题三 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则__． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 2．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（为大于1的整数）的结果是________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·江苏·专题练习）______． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，则__________． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例1】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则____________． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）方程，，则（    ） A．1 B．0 C．1.5 D．2 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（　　） A．mn2 B．m2n C． D．m2n2 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知，，则____________________． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【经典例题六 积的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期末）________． 1．（2025·七年级下 吉林）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）若，那么下列哪种情形一定符合要求（    ） A．m为奇数 B．m为偶数且 C．m为奇数且 D．为偶数 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）的值为（    ） A． B．4 C． D． 【例2】（25-26七年级下·辽宁盘锦·月考）计算：________． 1．（25-26七年级下·湖南·期末）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江台州·月考）计算_________ 4．（25-26七年级下·四川达州·月考）已知，，且，求的值． 【拓展训练一 幂的基本运算综合题】 【例1】（25-26七年级下·河南平顶山·月考）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为______________． 1．（2026·七年级下 甘肃白银）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则____________，____________． 4．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【拓展训练二 幂的运算逆用综合题】 【例1】（25-26七年级下·广东揭阳·月考）已知 ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）计算：______． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 2．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）________． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 1．（25-26七年级下·北京·月考）2026年我国深空探测领域再获突破，我国某深空探测器奔赴小行星带开展探测，该探测器飞行速度约为米/秒，连续飞行秒，将该飞行器飞行的距离（单位：米）用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·七年级下 河北沧州）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）下列命题中正确的有（    ） ①为奇数时，一定有等式； ②无论为何值，等式都成立； ③三个等式，，都成立； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·七年级下 河南新乡）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 8．（25-26七年级下·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 9．（24-25七年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 10．（2025·七年级下 四川泸州）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的值为______． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，则值为_________． 13．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知正整数满足，则___________． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则__________． 16．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 17．（25-26七年级下·江西南昌·月考）计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）用两种方法比较若，的大小； （2）结合（1）的经验，解决问题：已知，，用含p，q的式子表示． 19．（24-25七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 20．（25-26七年级下·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 学科网（北京）股份有限公司 $