专题10单项式的乘法（5知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材浙教版）

专题10 单项式的乘法 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 计算单项式乘单项式】 2 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 4 【题型3 计算单项式乘多项式】 5 【题型4 单项式乘多项式的应用】 7 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 9 【题型6 定义新运算问题】 11 【题型7 化简求值问题】 14 1. 理解单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则，掌握法则的推导逻辑，明确适用条件。 2. 能熟练运用两个法则进行整式乘法运算，规范解题步骤，提升运算准确性。 3. 会运用单项式乘法解决求值、实际应用等问题，能应对定义新运算、化简求值等综合题型。 4. 体会转化的数学思想（将多项式乘法转化为单项式乘法），培养逻辑推理和综合应用能力。03 知识•梳理 知识点1：单项式乘单项式法则 1. 法则内容：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2. 字母表示：（其中、为系数，为底数，、为正整数）。 3. 关键说明：① 系数相乘：遵循有理数乘法法则（注意符号、绝对值相乘）；② 同底数幂相乘：遵循“底数不变，指数相加”；③ 单独字母（只在一个单项式中出现），直接作为积的因式，指数不变。 知识点2：单项式乘多项式法则 1. 法则内容：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 字母表示：（其中为单项式，、、为多项式的项）。 3. 关键说明：① 去乘每一项，不能漏乘（尤其注意常数项）；② 符号处理：单项式与多项式各项相乘时，遵循“同号得正，异号得负”；③ 结果需合并同类项（若有）。 知识点3：单项式乘法的易错点梳理 1. 系数相乘时，忽略符号（如负数乘正数得负）、漏算系数中的分数/小数。 2. 同底数幂相乘，混淆“指数相加”与“指数相乘”；非同类项（不同底数）强行相乘。 3. 单项式乘多项式时，漏乘多项式中的常数项或符号错误。 4. 计算后未合并同类项，或同类项合并错误。 知识点4：化简求值的核心原则 1. 先化简：运用单项式乘法法则将代数式化简为最简形式（无同类项可合并）。 2. 再求值：将已知字母的值代入化简后的式子，计算出结果（代入时注意符号和运算顺序）。 知识点5：定义新运算的解题关键 1. 先读懂新运算的定义，明确运算规则（如“⊗”“⊕”等符号的含义）。 2. 将新运算转化为已学的单项式乘法运算，再按法则计算。 04 题型•汇总 【题型1 计算单项式乘单项式】 解题思路： 1. 分别计算系数的乘积（注意符号、绝对值运算）。 2. 对同底数幂，按“底数不变，指数相加”计算。 3. 将单独字母连同其指数作为积的因式，整理为最简形式。 易错点：① 系数符号错误；② 同底数幂指数计算失误；③ 漏写单独字母。 【典例1】．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 跟随训练1-1．下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式计算原式和各选项结果，然后对比即可得到答案． 【详解】解：先计算原式结果： 、，与原式相同，符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意． 跟随训练1-2．___________． 【答案】 【分析】按照整式运算顺序，先利用积的乘方运算法则化简第一个单项式，再利用单项式乘单项式的运算法则计算最终结果． 【详解】解： ． 跟随训练1-3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式与单项式乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 解题思路： 1. 先按单项式乘单项式法则，化简含字母的式子。 2. 代入已知字母的值（注意符号），按运算顺序计算结果。 易错点：① 化简不彻底就代入；② 代入时符号错误、运算顺序混乱。 【典例2】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 跟随训练2-1．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 跟随训练2-2．如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 跟随训练2-3．若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【题型3 计算单项式乘多项式】 解题思路： 1. 用单项式依次去乘多项式的每一项，注意符号（同号得正，异号得负）。 2. 将每一项的乘积写出，合并同类项（若有），整理为最简形式。 易错点：① 漏乘多项式中的常数项；② 符号判断失误；③ 同类项合并错误。 【典例3】．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】解：． 跟随训练3-1．一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：三角形的面积是． 跟随训练3-2．计算__________ 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式的方法计算即可． 【详解】解： ． 跟随训练3-3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 解题思路： 1. 根据题意，列出含单项式乘多项式的代数式（明确数量关系）。 2. 化简代数式，代入已知数据（注意单位统一），计算结果。 易错点：① 列代数式时数量关系错误；② 代入数据时忽略单位或数据有误。 【典例4】．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 跟随训练4-1．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题，分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图的面积为：； 图的面积为：； 即， 故选：． 跟随训练4-2．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 跟随训练4-3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 解题思路： 1. 先按单项式乘多项式法则，化简代数式（合并同类项）。 2. 代入已知字母的值，或根据已知条件求出字母的值，再计算结果。 易错点：① 漏乘多项式项导致化简错误；② 代入时符号、运算顺序出错。【典例5】．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 跟随训练5-1．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 跟随训练5-2．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 跟随训练5-3．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 【题型6 定义新运算问题】 解题思路： 1. 读懂新运算规则，明确运算符号的含义（转化为单项式乘法）。 2. 根据规则，代入已知单项式或字母，按单项式乘法法则计算。 易错点：① 误解新运算规则；② 转化为单项式乘法时，法则运用错误。 【典例6】．若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义运算，单项式乘法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用单项式乘法法则解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意： ． 故选：A． 跟随训练6-1．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简待求式的第一个运算项，再按照新运算规则代入展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 跟随训练6-2．定义新运算：，则的运算结果为__________ 【答案】/ 【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 跟随训练6-3．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【题型7 化简求值问题】 解题思路： 1. 先运用单项式乘单项式、单项式乘多项式法则，化简代数式（合并同类项至最简）。 2. 代入已知字母的值，按运算顺序计算（优先算乘方，再算乘除，最后算加减）。 易错点：① 化简不彻底，保留同类项；② 代入后运算顺序错误、符号失误。 【典例7】．化简及求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及整式乘法运算、整式加减运算等知识，熟记整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）合并同类项即可得到答案； （2）先由整式乘法运算，再去括号，合并同类项化简，最后将代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：     当时， 原式． 跟随训练7-1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了计算单项式乘多项式及求值，先根据单项式乘多项式运算法则进行化简，然后把代入求值即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当 时， 原式 ． 跟随训练7-2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 跟随训练7-3．先化简：，并求出，时，代数式的值． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的化简求值，在化简过程中要注意运算顺序以及符号的改变．先算乘方，再算乘法，最后代入求出即可． 【详解】解： 当， ， 原式 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项合并、单项式乘多项式、单项式乘单项式、幂的乘方的运算法则逐个判断选项． 【详解】解：A、∵和不是同类项，不能合并，∴A计算错误； B、∵，∴B计算错误； C、∵，∴C计算错误； D、，∴D计算正确． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将系数和同底数幂分别计算，再合并结果即可. 【详解】解：． 3．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式法则求解判断即可． 【详解】解：． 4．[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 5．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 6．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题． 分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 【详解】解：由题意可知，图1的面积为：； 图2的面积为：； 即． 故选：C． 7．已知，则代数式_____． 【答案】4 【分析】本题考查代数式的值问题，掌握代数式的求值方法，会利用整体代入法则求值是解题关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 8．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法的应用，根据长方体的表面积公式，计算长、宽、高的两两乘积的和，再乘以2并化简即可． 【详解】解：长方体的表面积公式为 ，其中，，， 计算： ， ， ， 则， 表面积， 故答案为：． 9．要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 10．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 11．定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解新定义并正确计算是解题的关键． 根据新运算的定义列式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 12．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为________________m． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 13．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂运算法则、幂的乘方运算法则及积的乘方运算法则分别计算，再合并即可； （2）根据多项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 15．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个三角形的面积，再整理得出答案； （2）先将代数式整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， ． 16．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 一题多解法 （2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 17．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． 18．如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 【答案】(1)至少需要买平方米的地板砖； (2)元． 【分析】（1）根据题意求各部分的面积之和即可； （2）求出实际面积，再用实际面积乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， （平方米）， 即至少需要买平方米的地板砖； （2）解：当，时，（平方米）， （元）， 即小明爸爸要花元． 19．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)40，= (2) (3)448 【分析】本题考查了图形的平移，理解平移的性质是解题的关键． （1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 则平方米，平方米； ∴． （2）解：原长方形的长为a米，宽为b米，小路的宽度是1米， ∵原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为a米，宽为米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的耕地的面积是平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 单项式的乘法 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 计算单项式乘单项式】 2 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 4 【题型3 计算单项式乘多项式】 5 【题型4 单项式乘多项式的应用】 7 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 9 【题型6 定义新运算问题】 11 【题型7 化简求值问题】 14 1. 理解单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则，掌握法则的推导逻辑，明确适用条件。 2. 能熟练运用两个法则进行整式乘法运算，规范解题步骤，提升运算准确性。 3. 会运用单项式乘法解决求值、实际应用等问题，能应对定义新运算、化简求值等综合题型。 4. 体会转化的数学思想（将多项式乘法转化为单项式乘法），培养逻辑推理和综合应用能力。03 知识•梳理 知识点1：单项式乘单项式法则 1. 法则内容：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2. 字母表示：（其中、为系数，为底数，、为正整数）。 3. 关键说明：① 系数相乘：遵循有理数乘法法则（注意符号、绝对值相乘）；② 同底数幂相乘：遵循“底数不变，指数相加”；③ 单独字母（只在一个单项式中出现），直接作为积的因式，指数不变。 知识点2：单项式乘多项式法则 1. 法则内容：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 字母表示：（其中为单项式，、、为多项式的项）。 3. 关键说明：① 去乘每一项，不能漏乘（尤其注意常数项）；② 符号处理：单项式与多项式各项相乘时，遵循“同号得正，异号得负”；③ 结果需合并同类项（若有）。 知识点3：单项式乘法的易错点梳理 1. 系数相乘时，忽略符号（如负数乘正数得负）、漏算系数中的分数/小数。 2. 同底数幂相乘，混淆“指数相加”与“指数相乘”；非同类项（不同底数）强行相乘。 3. 单项式乘多项式时，漏乘多项式中的常数项或符号错误。 4. 计算后未合并同类项，或同类项合并错误。 知识点4：化简求值的核心原则 1. 先化简：运用单项式乘法法则将代数式化简为最简形式（无同类项可合并）。 2. 再求值：将已知字母的值代入化简后的式子，计算出结果（代入时注意符号和运算顺序）。 知识点5：定义新运算的解题关键 1. 先读懂新运算的定义，明确运算规则（如“⊗”“⊕”等符号的含义）。 2. 将新运算转化为已学的单项式乘法运算，再按法则计算。 04 题型•汇总 【题型1 计算单项式乘单项式】 解题思路： 1. 分别计算系数的乘积（注意符号、绝对值运算）。 2. 对同底数幂，按“底数不变，指数相加”计算。 3. 将单独字母连同其指数作为积的因式，整理为最简形式。 易错点：① 系数符号错误；② 同底数幂指数计算失误；③ 漏写单独字母。 【典例1】．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．___________． 跟随训练1-3．计算： (1) (2) 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 解题思路： 1. 先按单项式乘单项式法则，化简含字母的式子。 2. 代入已知字母的值（注意符号），按运算顺序计算结果。 易错点：① 化简不彻底就代入；② 代入时符号错误、运算顺序混乱。 【典例2】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 跟随训练2-3．若，则________． 【题型3 计算单项式乘多项式】 解题思路： 1. 用单项式依次去乘多项式的每一项，注意符号（同号得正，异号得负）。 2. 将每一项的乘积写出，合并同类项（若有），整理为最简形式。 易错点：① 漏乘多项式中的常数项；② 符号判断失误；③ 同类项合并错误。 【典例3】．计算：（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．计算__________ 跟随训练3-3．计算 (1)； (2)． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 解题思路： 1. 根据题意，列出含单项式乘多项式的代数式（明确数量关系）。 2. 化简代数式，代入已知数据（注意单位统一），计算结果。 易错点：① 列代数式时数量关系错误；② 代入数据时忽略单位或数据有误。 【典例4】．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 跟随训练4-1．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 跟随训练4-3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 解题思路： 1. 先按单项式乘多项式法则，化简代数式（合并同类项）。 2. 代入已知字母的值，或根据已知条件求出字母的值，再计算结果。 易错点：① 漏乘多项式项导致化简错误；② 代入时符号、运算顺序出错。【典例5】．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 跟随训练5-1．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 跟随训练5-2．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 跟随训练5-3．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【题型6 定义新运算问题】 解题思路： 1. 读懂新运算规则，明确运算符号的含义（转化为单项式乘法）。 2. 根据规则，代入已知单项式或字母，按单项式乘法法则计算。 易错点：① 误解新运算规则；② 转化为单项式乘法时，法则运用错误。 【典例6】．若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．定义新运算：，则的运算结果为__________ 跟随训练6-3．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【题型7 化简求值问题】 解题思路： 1. 先运用单项式乘单项式、单项式乘多项式法则，化简代数式（合并同类项至最简）。 2. 代入已知字母的值，按运算顺序计算（优先算乘方，再算乘除，最后算加减）。 易错点：① 化简不彻底，保留同类项；② 代入后运算顺序错误、符号失误。 【典例7】．化简及求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 跟随训练7-1．先化简，再求值：，其中． 跟随训练7-2．先化简，再求值：，其中，． 跟随训练7-3．先化简：，并求出，时，代数式的值． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 5．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则代数式_____． 8．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是_____． 9．要使成立，则__________，__________． 10．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 11．定义新运算：，则的运算结果是______． 12．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为________________m． 13．计算：． 14．计算下列各式： (1)； (2) 15．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 16．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 17．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值． (2)已知，求代数式的值． 18．如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 19．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $